Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«СМОЛЕНСКИЙ ГОСУДАРСТЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математического анализа

Курсовая работа

На тему:

«Интегрирование симметричных дифференциальных уравнений первого порядка»

Выполнила: студентка 3 курса специальности

"Прикладная математика

и информатика"

группы 41 ПМиИ Малофеева К.И.

Научный руководитель:

доцент Конашенко А.В.

Смоленск

2013 г.



Содержание

Введение

1. Общие понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка

2. Уравнения в полных дифференциалах

3. Интегрирующий множитель

4. Нахождение интегрируемых комбинаций

5. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений

Заключение

Список литературы



Введение

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнение, берутся только по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных.

Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу. Ньютон при создании исчисления «флюксий» и «флюент» ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С современной точки зрения, первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачу нахождения неопределённого интеграла F(x) функции f(x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона как создателя основ математического естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчёт течения этих процессов сводится к решению дифференциального уравнения.

Основное открытие Ньютона, то, которое он счел нужным засекретить и опубликовал лишь в виде анаграммы, состоит в следующем: «Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa». В переводе на современный математический язык это означает: «Полезно решать дифференциальные уравнения». В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет собой трудно обозримый конгломерат большого количества разнообразных идей и методов, в высшей степени полезный для всевозможных приложений и постоянно стимулирующий теоретические исследования во всех отделах математики.

1. Общие понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-ого порядка называется соотношение вида: (1),

где - независимая переменная; - искомая функция переменной;

- производные искомой функции; - известная функция своих аргументов.

Считается, что производная на самом деле входит в выражение (1), а величины могут и не входить в него.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения, n, называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Пример.

- уравнение первого порядка;

- уравнение второго порядка;

- уравнение пятого порядка.

Определение 3. Всякая функция , которая, будучи подставленная вместо y в выражение (1), обращает это выражение в тождество, называется решением дифференциального уравнения (1).

Если - решение, то по определению

(2)

Пример.

- решение, так как



У рассматриваемого уравнения есть еще такое решение:

где С - произвольная постоянная.

Это значит, что это уравнение имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра (С).

Можно показать, что уравнение n-ого порядка имеет семейство решений, зависящих от произвольных независимых друг от друга постоянных.

Пример.

Уравнение имеет решение:

.

Определение 4. Процесс разыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Определение 5. Решение дифференциального уравнения (1), содержащее n независимых между собой произвольных постоянных, называется его общим решением.

, (3)

Замечание. Дифференциальное уравнение может иметь не одно, а несколько общих решений. Например, для уравнения функции и являются общими решениями, причем разными, так как первая из них обращается в нуль (С=0), а вторая - никогда в нуль не обращается.

Определение 6. Соотношение

, (4)

связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и n произвольных постоянных, называется общим интегралом уравнения (1). Следовательно, в общем интеграле решение задано в неявном виде.

Пример.

Рассмотрим уравнение: . Отсюда или . Поэтому , где С - произвольная постоянная.

- общий интеграл; - общее решение.

Определение 7. Решение, полученное из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Пример. Уравнение . Его общее решение . Положим С=2, тогда - частное решение.

Определение 8. Особым решением по отношению к данному общему решению называется такое решение, которое не может быть получено ни при каких значениях произвольных постоянных, входящих в общее решение.

Пример. Уравнение имеет два общих решения:

1) 2)

Решение: есть частное по отношению к первому и особое по отношению ко второму общему решению.

Определение 9. График частного решения называется интегральной кривой рассматриваемого дифференциального уравнения. Уравнение этой линии есть уравнение (3) и (4) при фиксированных .

Таким образом, общее решение (или общий интеграл) определяет семейство интегральных кривых, каждая из которых соответствует определенному набору значений произвольных постоянных.

Пример. . Общее решение .

Рассмотрим лишь обыкновенные дифференциальные уравнения.

Начнем с дифференциальных уравнений первого порядка. Это уравнения, в которые входит лишь первая производная неизвестной функции. Это уравнение может быть записано в виде

F(x,y,y) = 0. (1)

Здесь x _ независимая переменная, y _ её неизвестная функция, _ производная функции y, F _ заданная функция трех переменных. Функция F может быть задана не для всех значений её аргументов, поэтому можно говорить об области B определения функции F координатного пространства, то есть о множестве точек координатного пространства трех переменных x,y,y.

Приведем примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

y - x4 = 0; xsiny - lny = 0; xcosy + (y - y2)sinx = 0.



Решением уравнения (1) называется такая функция y = (x), определенная на некотором промежутке (x1, x2), что при подстановке её вместо y в уравнение (1) получается верное равенство на всем промежутке (x1, x2). Очевидно, что подстановка y = (x) возможна только тогда, когда функция (x) на промежутке (x1, x2) имеет первую производную. Необходимо также, чтобы при любом значении переменной x из промежутка (x1, x2) точка с координатами x, y, y принадлежала множеству B, на котором определена функция F. Совокупность всех решений дифференциального уравнения называется его общим решением.

В некоторых случаях уравнение (1) определяет переменную y как функцию независимых переменных x и y:

y = f(x,y). (2)

Тогда дифференциальное уравнение (2) равносильно дифференциальному уравнению (1) и называется разрешенным относительно производной.

Рассмотрим свойства решений уравнения (2). Введем в рассмотрение координатную плоскость XY переменных x и y. Мы будем рассматривать лишь такие уравнения, у которых область определения правой части есть некоторая открытая область G в плоскости XY (область называется открытой, если каждая точка входит в неё вместе с некоторой своей окрестностью). Пусть функция y = (x) - решение уравнения (2). Тогда график этой функции называется интегральной линией или интегральной кривой. Эта кривая лежит в области G. Если точка (x0, y0) принадлежит области G, то интегральная кривая проходит через эту точку. Интегральная кривая в рассматриваемой точке имеет касательную, угловой коэффициент которой равен



(x0) = f(x0, (x0))

Таким образом, в каждой точке области G можно установить положение касательной к графику решения уравнения (2), проходящему через эту точку.

Можно себе представить, что в каждой точке области G построен короткий отрезок касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Тогда получится чертеж, который называется полем направлений, задаваемым уравнением (2). Пример приведен на рисунке 1. Таким образом, каждое дифференциальное уравнение вида (2) задает на плоскости XY в области G поле направлений. Интегральные линии этого уравнения касаются направления, задаваемого полем в этой точке.

2. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x , y) , т.е. если M(x , y)dx + N(x , y)dy = du(x , y) .

Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет вид u(x , y) = C .

ТЕОРЕМА 1.

Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в области D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные частные производные

Для того чтобы выражение M(x , y)dx + N(x , y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции u(x , y) , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось условие

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Способы нахождения функции u(x , y):

1) используя алгоритм, предложенный в доказательстве теоремы 1;

2) используя одну из следующих формул:

где (x0 ,y0) - любая точка области D непрерывности функций M(x , y), N(x , y).

3) методом интегрируемых комбинаций.

Суть метода интегрируемых комбинаций: выделить в M(x , y)dx + N(x , y)dy выражения, являющиеся дифференциалами известных функций («интегрируемые комбинации») и привести его таким образом к виду du(x , y) .

Примеры интегрируемых комбинаций:

3. Интегрирующий множитель

Функция m(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения

M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0, (1)

если после его умножения на m(x,y) левая часть уравнения становится полным дифференциалом некоторой функции.

Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в области D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные частные производные

ТЕОРЕМА 1 (о существовании интегрирующего множителя вида m(x) или m(y)).

Пусть

1) Если = (x), то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель m(x), который является решением уравнения

2) Если = (y), то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель m(y), который является решением уравнения

4. Нахождение интегрируемых комбинаций

Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений

(1)

состоит в следующем: с помощью проходящих арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (I) образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. достаточно просто решаемые уравнения вида

где -- некоторая функция от искомой функции . Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл. Если найдено независимых первых интегралов системы (1), то ее интегрирование закончено; если же найдено независимых первых интегралов, где , то система (1) сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.

Пример 1. Решить систему

(2)

Решение. Складывая почленно оба уравнения, получаем

откуда или

Вычитая почленно оба уравнения, получаем

откуда

Итак, найдены два первых интеграла данной системы

которые являются независимыми, так как якобиан отличен от нуля:

Общий интеграл системы (2)

(3)

Разрешая систему (3) относительно неизвестных функций, получаем общее решение системы (2):



Пример 2. Решить систему

(4)

Решение. Вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем , откуда первый интеграл системы (4)

(5)

Подставив (5) во второе и третье уравнения системы (4), получим систему с двумя неизвестными функциями

(6)

Из второго уравнения системы (6) находим

(7)

Подставляя (7) в первое уравнение системы (6), будем иметь

Итак,

Отсюда находим общее решение системы (4):

приближенные методы интегрирования

Пример 3. Найти частное решение системы удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Запишем данную систему в виде или

Складывая почленно последние уравнения, получаем

или

Отсюда находим первый интеграл . Так как , то второе уравнение системы примет вид , откуда . Итак,

откуда получаем общее решение

Полагая в этих равенствах, найдем , т.е. , и искомым частным решением будет

Пример 4. (разложение вещества). Вещество разлагается на два вещества и со скоростью образования каждого из них, пропорциональной количеству неразложившегося вещества. Найти закон изменения количеств и веществ и в зависимости от времени , если при имеем , а через час , где -- первоначальное количество вещества .

Решение. В момент времени количество неразложившегося вещества равно . В силу условия задачи будем иметь

(8)

Разделив почленно второе уравнение на первое, получим

откуда

При имеем , поэтому из последнего уравнения находим , а значит

(9)

Подставив (9) в первое уравнение системы, получим уравнение

общее решение которого

Используя начальное условие , найдем , так что

(10)

Подставляя (10) в (9), будем иметь

(10')

Для определения коэффициентов и примем за единицу времени час. Учитывая, что при , из (10) и (10') найдем

откуда

так что , и искомое решение системы (8)

Пример 5. (равновесие газов в сообщающихся сосудах). Пусть имеются для сосуда объемов и соответственно, наполненные газом. Давление газа в начальный момент времени равно в первом сосуде и -- во втором. Сосуды соединены трубкой, по которой газ перетекает из одного сосуда в другой. Считая, что количество газа, перетекающего в одну секунду, пропорционально разности квадратов давлений, определить давления и в сосудах в момент времени .

Решение. Пусть -- количество газа, перетекающего в единицу времени при разности давлений, равной единице. Тогда в течение времени из одного сосуда в другой протечет количество газа . Это количество равно убыли газа за время в одном сосуде и прибыли за то же время -- в другом. Последнее выражается системой уравнений

(11)

где -- постоянный коэффициент.

Вычитая почленно уравнения системы (II), получаем

откуда

(12)

Умножим обе части первого уравнения системы (11) на , а второго -- на и сложим почленно:

(13)

Учитывая (12) и деля обе части (13) на , будем иметь

где

Обозначив ,получаем

откуда

или

(14)

Подставляя в (14) вместо величину , получаем

(15)

В начальный момент времени имеем , так что из уравнения (12) имеем

(16)

а из уравнения (15)

(17)

Из уравнений (12) и (15) находим искомые давления и в любой момент времени , при этом постоянные и определяются формулами (16) и (17).



5. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений

Для нахождения интегрируемых комбинаций при решении системы дифференциальных уравнений (1) иногда бывает удобно записать ее в симметричной форме

(18)

В системе дифференциальных уравнений, записанной в симметрической форме, переменные равноправны, что в некоторых случаях упрощает нахождение интегрируемых комбинаций.

Для решения системы (18) либо берут пары отношений, допускающие разделение переменных, либо же используют производные пропорции

(19)

где коэффициенты производные и их выбирают так, чтобы числитель был дифференциалом знаменателя, либо равен нулю.

Пример 6. Найти общее решение системы уравнений

(20)

Решение. Первая интегрируемая комбинация . Разделяя переменные и интегрируя, найдем первый интеграл

(21)



Вторую интегрируемую комбинацию получим, используя производные пропорции (19). Для этого сложим числители и знаменатели дробей системы (20):

здесь . Отсюда ,или и, значит,

Первые интегралы (21) и (22) дают общий интеграл системы (20)

из которого находим общее решение системы

Пример 7. Решить систему уравнений

(23)

Решение. Умножая в системе (23) числители и знаменатели дробей соответственно на 3, 4, 5 и складывая числители и знаменатели, получаем в силу (19)

здесь . Отсюда



или

а значит -- это первый интеграл системы (23).

Умножая в системе (23) числители и знаменатели дробей соответственно на и складывая числители и знаменатели, получаем в силу (19)

отсюда

или

и, значит, второй первый интеграл будет .

Совокупность первых интегралов, которые являются независимыми, дает общий интеграл системы (23):

Итак, система (23) решена.



Заключение

Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости. Ни одна серьезная разработка в любой отрасли науки и производства не обходится без трудоемких математических расчетов.

Решения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров. Все эти вопросы изучает теория дифференциальных уравнений.



Список литературы

1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В “Дифференциальные уравнения”, 2004 -352с (сер МГТУ-VIII )

2. Денисов А.М., Разгулин А.В. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», Часть 1, М: 2009г.

3. В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. М. 1959 г.

4. Н.М. Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск 1974 г.

5. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Учебник. Часть 2. Издательство «Проспект», Москва, 2006.

6. Князев П.Н. Интегральные преобразования. Издательство «Высшая школа», Минск, 1969.

7. А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. М. 1989 г

Размещено на Allbest.ru