Математическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Содержание работы

дисперсия распределение математический

1.Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины X

2.Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности

3.Оценить вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал

4.Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности

5.Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины X

6.Найти и построить доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x), соответствующие заданной доверительной вероятности

7.Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения

8.Используя критерий согласия ч2 и Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при заданном уровне значимости

В ста случаях зарегистрировано время (в сек.) обнаружения цели оператором радиолокационной станции с момента её появления в зоне РЛ:

Таблица 1.

Требуется выполнить пункты 1-8, указанные в разделе «Содержание работы».

Решение.

1. Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100, по формулам:

;

2. Рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии по формулам:

для математического ожидания

для дисперсии

В этих формулах верхний знак относится к нижней границе доверительного интервала, а нижний знак - к верхней границе. Величина находится из условия:

где - функция Лапласа.

Заданное значение доверительной вероятности . Тогда получим:

= 0,95/2 = 0,475.

Таким образом, зная значение функции Лапласа, по таблице значений функции Лапласа определяем =1,96. И следовательно искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины X в интервал по формуле:

Так как в этот интервал попало m = 10 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:

= 0,01.

4. Рассчитаем доверительный интервал для вероятности P, оценённой в предыдущем пункте по формуле:

В этом случае доверительная вероятность равна = 0,9. Тогда по формуле (6) и таблице функций Лапласа получим = 1,65, и искомый интервал имеет вид:

5. Графической оценкой плотности распределения f(x) является гистограмма Г(x). Строится она следующим образом. На ось абсцисс наносятся экспериментальные точки, заполняющие в совокупности некоторый интервал (X0, Xr). Этот интервал делится на более мелкие интервалы (Xi-1,Xi), i = 1,2, ... , r, называемые класс-интервалами или разрядами. Далее на каждом разряде по оси ординат откладывают величину , где n - число экспериментальных точек, попавших в этот разряд (Xi-1,Xi), а - его длина. В нашем случае заключаем все экспериментальные данные в интервал (0,160) и разбиваем его на десять равных разрядов, каждый длиной 16.

Частота попадания экспериментальных точек в разряд гистограммы:

После соответствующих расчетов получаем следующую таблицу:

Таблица 2.

По данным таблицы 2 строим график гистограммы (см. рис.1).

Графической оценкой функции распределения F(x) является эмпирическая функция распределения:

где nx - число экспериментальных точек, лежащих левее x;

n - общее число экспериментальных точек.

По формуле (10) рассчитываем соответствующую эмпирическую функцию, и полученные значения сводим в таблицу:

Таблица 3.

По данным таблицы 3 строим эмпирическую функцию распределения (см. рис.2).

6. Определим доверительную область для плотности распределения f(x).

На каждом разряде (Xi-1, Xi) находим доверительную область (Pi1, Pi2) для вероятности

Pi = P(Xi-1< X <Xi) попадания исходной величины X в этот разряд по формуле:

Верхний знак относится к нижней границе доверительного интервала, а нижний знак - к верхней границе. Величина определяется из условия:

Заданная доверительная вероятность , а , таким образом по формуле (12) получим:

по таблице = 2,84.

После этого каждую найденную доверительную область делят на длину разряда , на котором она построена, и тем самым получают доверительную область для плотности распределения f(x) на этом разряде, соответствующую доверительной вероятности :

Для полноты картины необходимо построить также доверительные области и на двух полубесконечных разрядах и .

= 0,373;

= 0,646.

= 0,096;

= 0,312.

= 0,068;

= 0,265.

= 0,037;

= 0,205.

= 0,003;

= 0,108.

= 0,007;

= 0,123.

= 0,0;

= 0,075.

= 0,001;

= 0,092.

= 0,001;

= 0,092.

= 0,001;

= 0,092.

Полученные значения делим на 16, и результаты сводим в таблицу 4.

Результирующие доверительные границы для плотности f(x) на каждом разряде гистограммы представлены в таблице 4, а их графическое изображение на рис.1.

Таблица 4.

Определим доверительную область для функции распределения F(x).

Доверительная область для функции распределения F(x), соответствующая доверительной вероятности , определяется неравенством:

F1(x) < F(x) < F2(x),

где , (14)

а величина находится из условия: .

По таблице распределения величины (распределение Колмогорова) находим её величину, соответствующую коэффициенту доверия . Она равна = 1,8. Затем по формуле (14) рассчитываем доверительную область для функции распределения F(x):

.

График этой области представлен на рис.2.

7. Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть экспоненциальное распределение с функциями:

, (15)

, (16)

где - оценка неизвестного истинного значения. Так как , то и, следовательно, формулы (15) и (16) примут вид:

,

.

Используя данные формулы и различные значения x, получим две таблицы с данными для построения сглаживающих кривых и .

Для гистограммы:

Таблица 5.

Полученные точки наносим на график (см. рис.1) и строим сглаживающую кривую для гистограммы.

Для эмпирической функции распределения:

Таблица 6.

Полученные точки наносим на график (см. рис.2) и строим сглаживающую кривую для эмпирической функции распределения.

8. Для проверки гипотезы выберем уровень значимости и используем вначале критерий согласия . Экспериментальное значение определяем по формуле:

, (17)

где n - общее число экспериментальных точек;

r - число разрядов гистограммы (включая полубесконечные разряды);

- экспериментальная частота попадания величины x в i-ый разряд (см. ф-лу (9));

Pi - вероятность попадания величины x в i-ый разряд при гипотезе H0.

Для экспоненциального закона распределения Pi определяется по формуле:

, (18)

Получим значение .

Гипотетическое значение при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы , согласно условию > ) = равно =14,7.

Таким образом, < и, следовательно, гипотеза H0 по критерию согласия является правдоподобной.

Теперь проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения в этом случае равно:

,

откуда получаем экспериментальное значение критерия Колмогорова:

.

Гипотетическое значение того же самого критерия при уровне значимости (по таблице Колмогорова) равно . Таким образом, < и, следовательно, гипотеза H0 по критерию Колмогорова также является правдоподобной.

Размещено на Allbest.ru