Размещено на http://www.allbest.ru

Измерено давление в 80 пневматиках. В таблице приведены отклонения давления от номинального (в 10³ Па).

Цель работы

математический ожидание дисперсия интервал доверительный

Работа посвящена наиболее важным методам обработки экспериментальных данных, а именно оцениванию распределений и их параметров и проверке в распределениях.

Содержание работы

Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.

Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии соответствующие заданной доверительной вероятности.

Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал.

Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности.

Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.

Найти и построить доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(X), соответствующие заданной области.

Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.

Используя критерии согласия ч² и Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного распределения с истинным законом при заданном уровне значимости.

Решение

Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100.

Рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1-б)=0.75 . Тогда по формуле

и таблице Лапласа находим е_б=1.152 и, следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

-4.53<MX<-1.81 93.95<DX<135.86

3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал . Т.к. в этот интервал попало m=4 экспериментальных значения, то искомая оценка будет равна:

4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р(х), оцененной в предыдущем пункте. Пусть в этом случае доверительная вероятность равна (1-б)=0,9. Тогда е_б=1.65, а искомый интервал имеет вид

5. Для построения гистограммы Г(х) заключаем все экспериментальные данные в интервал (-30,21) и разбиваем его на 10 равных разрядов, каждый из которых длинной 5. Затем рассчитываем следующую таблицу:

График гистограммы представлен на рис.1 Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле

Ее график представлен на рис. 2

6. Находим доверительные области для распределения f(х) и функции распределения F(х).

В данном случае общее число разрядов r равно 10 плюс два полубесконечных разряда, т.е. r=12. Если теперь выбрать доверительную вероятность (1-б) равную 0,85 то получим е_б=2,5.

Результирующие доверительные границы для плотности f(х) на каждом разряде гистограммы представлены в таблице, а их графическое изображение на рис.2

Далее по таблице распределения величины л_б (распределение Колмогорова) находим ее величину, соответствующую коэффициенту доверия (1-б)=0,95. Она равна л_б=1,4

Затем по формуле

рассчитываем доверительную область для функции распределения F(х).

График этой области представлен на рис.3

7. На формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть экспоненциальное распределение с функцией

и с плотностью

где- оценка неизвестного значения л_б.

Т.к. , то и, следовательно

Возможен случай, когда из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией

и с плотностью

где F(u)- функция Лапласа. - исправленная дисперсия.

Для проверки гипотезы H₀:F(x)=F_Г (х) выбираем например уровень значимости б=0,05 и используем вначале критерий согласия ч². Его экспериментальное значение, согласно формуле

равно ч²_э=137.

А его гипотетическое значение при выбранном уровне значимости б=0,05 и числе степеней свободы s=12-1-1=10 согласно условию

равно ч²_б=18,3. Таким образом и следовательно гипотеза Н₀ по критерию согласия ч² не является правдоподобной.

Теперь проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения в этом случае равно (см. рис. 4)

откуда получаем экспериментальное значение критерия Колмогорова:

Гипотетическое значение того же самого критерия при уровне значимости б=0,05 (см. табл. Колмогорова) равно л_б=1,4. Таким образом и, следовательно, гипотеза Н₀ не является правдоподобной так же по критерию Колмогорова.

Размещено на Allbest.ru