Алгоритм решения задачи газовой динамики методом Лакса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

"Челябинский Государственный Университет"

Миасский филиал

Курсовая работа

по курсу: "Уравнения математической физики"

Выполнил: студент группы МПМ-301

Туров К.В.

Проверил: Тюлькин Б.М.

Миасс - 2012 г.

Содержание

1. Постановка задачи

2. Алгоритм решения задачи методом Лакса

3. Блок-схема для расчета по схеме Лакса

4. Процедура расчета по схеме Лакса

5. Описание программы

6. Результаты расчета

Заключение

1. Постановка задачи

Рассмотрим одномерную задачу газовой динамики - "задачу о поршне с непроницаемыми границами, используя для ее решения разностную схему "Лакса". В данной работе будет исследоваться процесс формирования и распространения ударной волны в трубе длиной один метр, заполненной идеальным газом. Система уравнений газовой динамики для невязкого нетеплопроводного сжимаемого идеального одноатомного газа в форме Эйлера будет иметь вид:

(1) или:

(2)

Система (1) эквивалентна системе (2).

В данной системе имеется 4 переменных:

U - скорость

- плотность

P - давление

Е - полная энергия единицы объема

Для того чтобы разрешить систему, необходимо добавить к ней еще уравнение:

- уравнение состояния газа, где е - внутренняя энергия единицы массы газа, а - показатель адиабаты газа. Кроме того, добавим к системе соотношение:

.

В данной задаче мы будем считать, что газ одноатомный, поэтому .

Отрезок трубы, рассматриваемый в задаче, мы разбиваем на 100 равных частей, где Сm - коэффициент сглаживания, который выбирается на интервале [0.3,0,7].

Начальные условия выберем следующие:

2. Алгоритм решения задачи методом Лакса

Разностная схема Лакса имеет первый порядок точности. Формулы вычисленияи газодинамических параметров на новом временном слое имеет вид:

Здесь индекс n относится к временной координате, а индекс i к пространственной. газодинамический лакс математическое delphi

Скорость и давление газа будут находиться по формулам:

(3) ,

(4)

Алгоритм:

1. Определяем начальные условия для левой и правой половины отрезка.

2. Начинаем цикл по времени:

2.1. Вычисляем газодинамические параметры .

2.2. Ставим граничные условия для на концах отрезка для непроницаемой границы.

2.3. Считаем используя формулы (3) и (4).

2.4. Считаем скорость звука в каждой точке по формуле:

.

2.4. Находим значение для нового приближения, и увеличиваем значение временной переменной.

2.5. Если заданное количество шагов не исчерпано, то переходим к шагу 2.1.

3. Выводим полученные в ходе вычисления данные на экран в виде отчета и графика. газодинамический лакс математическое delphi

3. Блок-схема для расчета по схеме Лакса

4. Процедура расчета по схеме Лакса

begin

t:=t+1;

iter:=iter+1;

j:=0;

for j:=1 to BndlCount do

begin

if (j<>1) and (j<>BndlCount) then

begin

Ro [t+1,j]:=(Ro [t,j+1]+Ro [t,j-1])/2-dt*(RoU [t, j+1]-RoU [t,j-1])/(2*dx);

RoU [t+1,j]:=(RoU [t,j+1]+RoU [t,j-1])/2-dt*((Ro [t, j+1]*U [t, j+1]*U [t, j+1]+P [t,j+1])-(Ro [t,j-1]*U [t,j-1]*U [t,j-1]+P [t,j-1]))/(2*dx);

E [t+1,j]:=(E [t,j+1]+E [t,j-1])/2-dt*((U [t, j+1]*(E [t, j+1]+P [t, j+1]))-U [t,j-1]*(E [t,j-1]+P [t,j-1]))/(2*dx);

end;

//Граничные условия

if (j=BndlCount) then

begin

Ro [t+1,j]:=Ro [t+1,j-1];

RoU [t+1,j]:=-RoU [t+1,j-1];

E [t+1,j]:=E [t+1,j-1];

end;

//Конец граничных условий

end;

j:=1;

Ro [t+1,j]:=Ro [t+1,j+1];

RoU [t+1,j]:=-RoU [t+1,j+1];

E [t+1,j]:=E [t+1,j+1];

//Вычисляем скорость и давление

max:=abs(U [t+1,1])+C [t+1,1];

for j:=1 to BndlCount do

begin

U [t+1,j]:=RoU [t+1,j]/Ro [t+1,j];

P [t+1,j]:=(E [t+1, j]- RoU [t+1,j]*U [t+1,j]/2)*(Gamma-1);

C [t+1,j]:=sqrt(abs(Gamma*P [t+1, j]/Ro [t+1, j]));

if max<(abs(U [t+1,j])+C [t+1,j]) then

max:=abs(U [t+1,j])+C [t+1,j];

end;

//вычисляем dt

dt:=cr*dx/max;

if (t=99) then

begin

t:=0;

for j:=1 to BndlCount do

begin

Ro [1,j]:=Ro [100,j];

U [1,j]:=U [100,j];

E [1,j]:=E [100,j];

RoU [1,j]:=RoU [100,j];

P [1,j]:=P [100,j];

C [1,j]:=C [100,j];

end;

end;

CalculNextPoint;

tim:=tim+dt;

5. Описание программы

Программа расчета газодинамических параметров выполнена в среде Delphi 7. Программа имеет следующий вид:

1. Панель ввода начальных данных

2. Кнопка запуска итерационного процесса

3. Кнопка остановки программы

4. Задание скорости вычисления

5. Панель для вывода графика.

В панели управления сосредоточены все возможные команды, которые необходимы для проведения расчетов. Для вывода графика был использован объект TChart. Каждый из графиков (плотность, скорость давление) имеют свой цвет. Отображение графиков можно отключить, сняв соответствующий флажок.

6. Результаты расчета

Рис. Итерация: 1, Время:0

Рис. Итерация: 11, Время: 0,059

Рис. Итерация: 54, Время 0,283

Рис. Итерация: 116, Время 0,615

Рис. Итерация: 195, Время 1,123

Заключение

В ходе работы была разработана программа на языке программирования Delphi7, производящая расчеты газодинамических параметров одномерного движения ударной волны по схеме Лакса. При помощи данной программы можно проанализировать движение ударной волны и её последующее отражение от непроницаемой стенки.

Схема Лакса имеет первый порядок точности, что даёт неплохие результаты, если при её использовании важна скорость вычисления, а не точность. Для более глубокого исследования движения ударной волны лучше использовать другие разностные схемы.

Плюсы Схемы Лакса:

+ легко реализовать на любом языке программирования;

+ небольшое количество формул и расчетов, по сравнению с другими разностными схемами;

+ высокая скорость работы.

Минусы:

- точность расчетов.

Размещено на Allbest.ru