Методы оптимизации в примерах и задачах
Составление обобщенной функции Лагранжа. Необходимые условия экстремума первого порядка. Анализ выполнения достаточных условий экстремума. Нахождение минимума функции методом Нелдера–Мида. Определение вершин многогранника сопряженных направлений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.10.2017 |
| Размер файла | 59,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача № 1
функция экстремум многогранник
Условие:
Решение
По алгоритму решения (стр. 83), представленного в книге А.В. Пантелеев, Т.А. Летова “ Методы оптимизации в примерах и задачах”, решим данную задачу, решение которой представлено ниже:
1. Составим обобщенную функцию Лагранжа:
2. Выпишем необходимые условия экстремума первого порядка:
а)
б)
в)
3. Решим систему для двух случаев.
В первом случае . Тогда из условие “а” следует, что . Это противоречит требованию утверждения о существовании ненулевого вектора Рассмотрим два варианта удовлетворения условия “б”:
Во втором случае . Поделим систему, приведенную в п.2, на и заменим на . Обобщенная функция Лагранжа при этом заменяется классической:
а)
б)
в)
Из условия “б” дополнительной нежесткости следует:
1) (фактически решается задача поиска безусловного экстремума).
Тогда и условие “б” выполняется. Выполняются необходимые условия и для минимума, и для максимума.
2) . Тогда из системы:
получаем:
Так как , то необходимое условие максимума не выполняется, но выполняется необходимое условие минимума. Таким образом, имеем две условно-стационарные точки.
Проверим выполнение достаточных условий экстремума
В точке ограничение является активным, так как , поэтому достаточные условия первого порядка выполняются. Так как при , то в точке регулярный локальный условный минимум, совпадающий в данной задаче с безусловным. С другой стороны, функция выпуклая и множество также выпуклое. Поэтому в точке достигается глобальный условный минимум, а достаточные условия первого и второго порядка можно было и не проверять.
В точке ограничение является активным, так как , но , поэтому достаточное условие первого порядка не выполняется. Проверим условие второго порядка. Имеем:
Следовательно, при Так как в этой точке , То достаточное условие максимума выполняется. Проверим необходимое условие максимума второго порядка. Так как при любых , то необходимое условие максимума не выполняется, поэтому в точке максимума нет.
Ответ: в точке - условный минимум.
Задача № 2
Условие:
деформированного многогранника, сопряженных направлений, Розенброка.
Решение
Найдем минимум функции методом Нелдера - Мида.
1. Так как , зададим начальный треугольник с вершинами Положим
20. Так как то
30. Найдем центр тяжести вершин и (середину стороны, противостоящей вершине ):
.
40. Так как то процесс продолжается.
50. Выполним отражение:
.
60. Так как выполним растяжение:
Так как то вершина заменяется на . Новый многогранник содержит вершины . Положим и перейдем к шагу 2.
2. Имеем вершины
3. Найдем центр тяжести вершин и :
4. Так как
5. Выполним отражение:
6. Так как выполним растяжение:
Так как то вершина заменяется на . Новый многогранник содержит вершины . Положим и перейдем к шагу 2.
22. Имеем вершины
32. Найдем центр тяжести вершин и :
42. Так как
52. Выполним отражение:
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.
контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014Сущность сопряженных направлений, знакомство с основными алгоритмами. Особенности поиска минимума функции методом Пауэлла. Разработка приложений с графическим интерфейсом. Исследование квадратичных функций, решение задач методом сопряженных направлений.
курсовая работа [2,8 M], добавлен 14.07.2012Нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию. Практический пример нахождения точки максимума и минимума функции. Главные особенности метода множителей Лагранжа.
презентация [112,6 K], добавлен 17.09.2013Численные методы поиска безусловного экстремума. Задачи безусловной минимизации. Расчет минимума функции методом покоординатного спуска. Решение задач линейного программирования графическим и симплексным методом. Работа с программой MathCAD.
курсовая работа [517,9 K], добавлен 30.04.2011Рассмотрение эффективности применения методов штрафов, безусловной оптимизации, сопряженных направлений и наискорейшего градиентного спуска для решения задачи поиска экстремума (максимума) функции нескольких переменных при наличии ограничения равенства.
контрольная работа [1,4 M], добавлен 16.08.2010Нахождение производных функций. Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Область определения функции. Определение интервалов возрастания, убывания и экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Производные второго порядка.
контрольная работа [98,4 K], добавлен 07.02.2015Многие переменные, минимизация их функций. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции. Условия существования экстремумов функции многих переменных. Квадратичная форма, принимающая, как положительные, так и отрицательные значения.
реферат [70,2 K], добавлен 05.09.2010Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.
курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013