Математическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Исходные данные

В ста измеренных эталонах фиксировались ошибки измерительных приборов данного типа. Результаты измерения сведены в таблицу:

Табл. 1

1. Используя табличные значения необходимо найти математическое ожидание и дисперсию (Mx, Dx).

2. Найти доверительный интервал для Mx, Dx, соответствующий доверительной вероятности (1 - )=0,95.

3. Оценить вероятность попадания случайной величины X в интервал

(0,7 1) .

4. Для этой вероятности (3) найти интервал, соответствующий коэффициенту доверия (1 - )=0,9.

5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

6. Найти и построить доверительные области для f(x), соответствующую коэффициенту доверия (1- )=0,95; и F(x), соответствующую коэффициенту доверия (1- )=0,8.

7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.

8. Используя критерий согласия и критерий Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при уровне значимости =0,1.

2. Решение

Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100.

Выборочное среднее:

Выборочная дисперсия:

Исправленная дисперсия:

Рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1-б)=0,95. Тогда по формуле:

По таблице Лапласа находим еб=1,92.

Доверительный интервал для математического ожидания:

Mx1 = 0,825- 1,92МMx2=0,825+1,92М

Доверительный интервал для дисперсии:

Dx1 = = 0,795Dx2= =1,380.

следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

0,631 MX 1,0190,795 DX 1,380

3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал . Т.к. в этот интервал попало m=9 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:

4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р(х), оцененной в предыдущем пункте. Пусть в этом случае доверительная вероятность равна (1-б)=0,9. Тогда еб=1,65, а искомый интервал имеет вид:

5. Построим гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.

1) Для построения гистограммы Г(х) заключаем все экспериментальные данные в интервал (-1,85 ; 3,95) и разбиваем его на 8 равных разрядов, каждый из которых длинной 0,725.

Значение гистограммы Г(x) находим по формуле:

,

где - число экспериментальных точек, попавших в этот разряд ;

- его длина.

величина интервала:

количество разрядов:k = 8

величина разряда:

Затем рассчитываем следующую таблицу:

Табл. 2

График гистограммы представлен на рис. 1:

Рис. 1

2) Построение эмпирической функции распределения случайной величины.

Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:

,

где - число экспериментальных точек, лежащих левее Х.

Таблица значений F (x):

Табл. 3

График эмпирической функции распределения случайной величины представлен на рис. 2:

Рис. 2

Находим доверительные области для распределения f(х) и функции распределения F(х).

1) Построение доверительной области для плотности распределения f (x) соответствующей заданной доверительной вероятности (1-)=0,95

- для каждого разряда находим частоту попадания случайной величины Х:

,

где ni - число экспериментальных точек, попавших в i-ый разряд

Это было определено в (5) пункте.

- находим доверительную вероятность (1-б1) для построения доверительной области на каждом разряде:

(1-б1) = 1 - б/r, r = 10 - число разрядов, включая полубесконечные.

(1- б)=0,95 б=0,05

(1-б1) = 1 - б/r=1-0,05/10=0,995

- находим величину еб из условия: 2Ц(еб) = 1 - б1, Ц(еб) - функция Лапласа:

Ц(еб) = (1 - б1)/2 = 0,995/2=0.4975

По таблице для функции Лапласа находим еб = 2,81

- для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для вероятности попадания случайной величины в этот разряд по формулам в (4) пункте.

- для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для плотности распределения:

и (для полубесконечных разрядов считаем, что они лежат в доверительной области)

Рассчитываем и строим следующую таблицу.

Табл. 4

Гистограмма с доверительной областью изображена на рис. 3:

Рис. 3

2) Построение доверительной области для функции распределения F (x):

- (1 - б) = 0,80 по таблице Колмогорова = 1,08

- максимальное расхождение D истинной функции распределения и эмпирической функции:

D =

- искомая область выражается следующим образом:

F (x)

Функция распределения является вероятностью, следовательно, доверительная область для нее не может распространяться ниже нуля и выше единицы.

Рассчитываем доверительную область для функции распределения F(х).

Табл. 5. Таблица доверительных границ для F(x)

График эмпирической функции распределения F(x) с доверительной областью представлен на рис. 4:

Рис. 4

7. Сглаживание гистограммы и эмпирической функции распределения подходящим законом распределения.

Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией:

где Ф(u) - функция Лапласа.

и с плотностью:

где - исправленная дисперсия.

1) Определим Fг(Х) для каждого Х, полученные результаты занесем в таблицу:

Табл. 6

Эмпирическая F(X) и гипотетическая Fг(Х) функции распределения представлены на рис. 5:

Рис. 5

2) Определим fг(x) для каждого Х

Табл. 7

График для плотности распределения представлен на рисунке 6:

Рис. 6

дисперсия гистограмма точечный

Используя критерии согласия ч2 и Колмогорова проверим правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного распределения с истинным законом при заданном уровне значимости =0,1.

1) Для проверки гипотезы H0:F(x)=FГ (х) выбираем например уровень значимости б=0,1 и используем вначале критерий согласия ч2. Его экспериментальное значение, согласно формуле:

Табл. 8

ч2э= 3,27629

А его гипотетическое значение при выбранном уровне значимости б=0,1 и числе степеней свободы s=10-1-2=7 согласно условию равно ч2б=12,017. Таким образом, и, следовательно, гипотеза Н0 по критерию согласия ч2 является правдоподобной.

2) Теперь проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения в этом случае равно (см. рис. 5).

откуда получаем экспериментальное значение критерия Колмогорова:

Гипотетическое значение того же самого критерия при уровне значимости б=0,01 (см. табл. Колмогорова) равно лб=1,63. Таким образом и, следовательно, гипотеза Н0 является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.

Размещено на Allbest.ru