Нечеткие множества и операции над ними

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа

Нечеткие множества и операции над ними

Цель работы: изучить основные операции над нечеткими множествами.

Операции над обычными (четкими) множествами были изучены в курсе дискретной математики. Напомним определение алгебраической операции, заданной на каком-либо множестве X (например, на множестве действительных чисел).

Двуместной, или бинарной, алгебраической операцией на множестве X называют соответствие, по которому каждой паре (а,b) элементов множества X сопоставляется определенный элемент с множества X.

Например, бинарными алгебраическими операциями на множестве действительных чисел R являются сложение и умножение: для любых двух действительных чисел (а,b) найдется единственное число с, которое является их суммой, и единственное число d, которое является их произведением:

Одноместной, или унарной, алгебраической операцией на множестве X называют соответствие, по которому каждому элементу а множества X сопоставляется определенный элемент b множества X. Например, унарной алгебраической операцией на множестве действительных чисел К является нахождение противоположного числа: для любого числа а найдется единственное противоположное число ?а.

В первую очередь рассмотрим три основные алгебраические операции на множестве всех нечетких подмножеств множества U:

1. дополнение ;

2. пересечение;

3. объединение .

Определения этих операций над обычными и нечеткими множествами, а также геометрические иллюстрации к определениям даны в табл. 1.

Определения операций над нечеткими множествами записаны для случая дискретного универсального множества. Если же U непрерывно, то результаты выполнения этих операций должны быть записаны следующим образом:

1. дополнение

2. пересечение

3. объединение

Рассмотрим пример выполнения этих операций.

Пусть U ={1, 2, ... 10}, А = 0,8/3 + 1/5 + 0.6/6, В = 0.7/3 + 0.5/6.

 = (1 - 0)/1 + (1 - 0)/2 + (1 - 0.8)/3 + (1- 0)/4 + (1 - 1)/5 + (1 - 0.6)/7 + (1 - 0)/8 + (1 - 0)/9 + (1 - 0)/10 = 1/1 + 1/2 + 0.2/3 + 1/4 + 0/5 + 0.4/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10.

Обратим внимание на то, что в записи нечеткого множества А участвуют лишь элементы несущего множества {3, 5, 6}, т. е. подмножества U, на котором значения функции принадлежности . На подмножестве {1, 2, 4, 7, 8, 9, 10} . Следовательно, согласно формулам (см. табл. 1), на этих элементах

Учитывая это замечание, запишем

=1/1+1/2+ 0.3/3 + 1/5 + 0.5/6+1/7+1/8+1/9+1/10.

В соответствии с формулами (см. табл. 1), выполним другие операции над множествами А и В:

Ш;

=1/1 + 1/2 + 0.7/3 + 1/4 + 1/5 + 0.5/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 ? U.

Пересечение нечеткого множества со своим дополнением может не быть пустым (Ш), а объединение _ не составлять универсальное множество ().

В теории нечетких множеств помимо логических операций объединения и пересечения используются дополнительные (альтернативные) операции, позволяющие учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок «И», «ИЛИ»: алгебраические (вероятностные), ограниченные, драстические.

Большой класс подобных операций допускает обобщенное представление на основе так называемых нечетких операторов. Эти операторы действуют на множествах значений функций принадлежности (на интервале [0,1]) и поэтому могут быть непосредственно применены к функциям принадлежности произвольных нечетких множеств. Из многообразия нечетких операторов наибольший интерес представляют треугольные норма и конорма (T-норма, Т-конорма или S-норма).

ПАРЫ НОРМ и КОНОРМ

На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень нечеткого множества А (>0). НМ А определяется следующей ФП:

.

Частными случаями возведения в степень являются:

а) операция концентрации (concentration):

CON(A)=А2; .

б) операция растяжения (dilation):

DIL(A)=А0,5; .

Меры нечеткости множества

Пусть U ? универсальное множество. Очевидно, что «самое четкое» его подмножество ? это обычное множество, функция принадлежности (характеристическая функция) которого принимает значение 0 или 1. «Самое нечеткое» подмножество ? это множество, состоящее из точек перехода, в которых функция принадлежности принимает значение 0.5:

Пусть А ? какое-либо нечеткое подмножество множества U. Если близко к значению 1 или 0, то вклад элемента u0 в нечеткость множества А мал. Если же близко к значению 0.5 или, что то же самое, значительно отличается как от 1, так и от 0, то его вклад в нечеткость А будет значителен. Таким образом, вклад в нечеткость каждого элемента множества определяется близостью значения функции принадлежности на этом элементе к числам 1 и 0 или отдаленностью от них. Естественно определить меру нечеткости всего множества как сумму вкладов каждого его элемента.

Исходя из этих соображений мерой нечеткости множества А является функция, которая множеству А ставит в соответствие определенное действительное число d(А), удовлетворяющее следующим требованиям:

1. d(A) = 0 тогда и только тогда, когда А ? обычное множество;

2. d(А) принимает максимальное значение тогда и только тогда, когда µ(и) = 0.5;

3. если при любом функции принадлежности множеств А и В связаны соотношениями:

то d(А) ? d(B);

4. если , то d(А)=d(B). (Симметричность относительно точки перехода, в которой функции принадлежности принимают значение 0.5.)

Требования 1?4 называют аксиомами меры нечеткости. Чаще всего в качестве меры нечеткости выбирают расстояние от нечеткого множества А до ближайшего к нему обычного множества А0.

Дадим определение понятия «обычное множество, ближайшее к нечеткому». бинарный алгебраический множество нечеткость

Определение 1. Обычным множеством, ближайшим к нечеткому множеству А с функцией принадлежности , называют подмножество A0 множества U, характеристическая функция которого имеет вид:

Геометрический смысл понятия «обычное множество А0, ближайшее к нечеткому множеству А» иллюстрирует рис. 1.

Рис. 1. Значения || при различном расположении точек графиков функций: * ? функция ; ° ? функция

Как видно из рисунка, справедливы неравенства

||<0.5, если>0.5 или <0.5;

||=0.5, если=0.5, независимо от того = 1 или= 0.

Если А ? обычное множество, то оно является ближайшим к самому себе. Это следует непосредственно из определения 1.

Необходимо договориться о том, каким образом определять расстояние между множествами (четкими и нечеткими). Функции принадлежности всех множеств на универсальном множестве U образуют функциональное множество М. Другими словами, М ? это множество всех функций, определенных на U и принимающих значения на отрезке [0,1]. Определить расстояние между элементами множества М означает наложить метрику на это множество. Метрика на каком-либо множестве X ? это функция с(х,у), сопоставляющая каждой паре элементов действительное число и обладающая следующими свойствами (аксиомы метрики):

1) аксиома тождества с(х, у) ? 0, причем с(х, у) =0 тогда и только тогда, когда х = у;

2) аксиома симметрии с (х, у) = с(у, х);

3) аксиома треугольника с(х, у) ? с(х, z) + с(z, у).

Значение с(х,у) называют расстоянием между элементами х и у (). Напомним, что при изучении векторной алгебры рассматривались множества точек плоскости или пространства и для определения расстояний между точками А(х1, у1, z1) и В(х2, у1, z2) использовалась так называемая евклидова метрика:

Строго говоря, правило вычисления расстояний между элементами множества может быть задано любой формулой, лишь бы полученный результат удовлетворял аксиомам метрики. В функциональных пространствах наиболее часто используют два способа вычисления расстояний (табл. 2).

Таблица 2. Некоторые виды метрик функциональных пространств