Устойчивость динамических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО»

Кафедра радиофизики и нелинейной динамики

КУРСОВАЯ РАБОТА

Устойчивость динамических систем

Студента 1 курса 121 группы

Гарькавого Андрея Николаевича

Научный руководитель профессор,

доктор физ.-мат. наук, доцент В.С. Анищенко

Саратов 2015

Содержание

1. Введение

2. Понятие динамической системы. Классификация динамических систем

3. Линейный анализ устойчивости

4. Бифуркации динамических систем. “Мягкие” и “жесткие” бифуркации

5. Заключение

1. Введение

Основное содержание теории динамических систем -- это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятия теории динамических систем -- устойчивость - способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии и грубость - сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы; «грубая система -- это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров»

2. Понятие динамической системы

Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции. Динамические системы -- это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.

Пространство всех возможных состояний динамической системы называется фазовым пространством системы. Любому состоянию динамической системы соответствует точка в фазовом пространстве, при том двум различным состояниям не может соответствовать одна и та же точка.

Так же все динамические системы делятся на две большие группы - консервативные и диссипативные. В консервативных системах начальный запас энергии остаётся постоянным, т.е. энергия ни на что не затрачивается и ниоткуда не поступает. Отличительной чертой консервативно системы является то, что фазовый объём сохраняется под действием оператора эволюции. Если в системе имеются потери энергии или наоборот подкачка, то такая система является диссипативной. Диссипация энергии эквивалентна сжатию фазового объёма под действием оператора эволюции.

Исследование реальных систем сводится к изучению математических моделей, совершенствование и развитие которых определяются анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же динамическую систему в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели. Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (ко- ординаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции. В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели.

Классификация динамических систем.

Если динамическая система задана уравнением x' = F (x )то постулируется, что каждому x(t0) в фазовом пространстве ставится в соответствие состояние x(t), t > t0, куда за время t ? t0 переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с уравнением x' = F (x ).В операторной форме x' = F (x ) можно записать в виде

x(t) = Tt x(t0),

где Tt - закон (оператор) эволюции. Если этот оператор применить к начальному состоянию x(t0), то мы получим x(t), то есть состояние в момент времени t > t0. Так как x(t0) и x(t) принадлежат одному и тому же фазовому пространству динамической системы, то,математики говорят в данной ситуации: оператор Tt отображает фазовое пространство системы на себя. В соответствии с этим можно называть оператор Tt оператором отображения или просто отображением.

Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции: T[x(t) + y(t)] = Tx(t) + Ty(t). Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной. Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и дискретным временем. Системы, для которых отображение x(t) с помощью оператора T может быть определено для любых t > t0 (непрерывно во времени), называют также потоками по аналогии со стационарным течением жидкости. Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют каскадами или системами с дискретным временем. Способы задания оператора отображения T так- же могут различаться. Оператор T можно задать в виде дифференциального или интегрального преобразования, в виде матрицы или таблицы, в виде графика или функции.

3. Линейный анализ устойчивости

Любая динамическая система ассоциируется в нашем представлении с эволюцией во времени. Предвидя возражения, укажем, что стационарное состояние, при котором скорость изучаемого процесса равна нулю, тем более состояние равновесия, также можно трактовать как предельный случай эволюции системы во времени. В естествознании типичной моделью динамической системы является обыкновенное дифференциальное уравнение

dx (t) /dt = xя= F(x, µ ), (1)

где x(t) - переменная состояния, F - некоторая функция состояния, характеризующая закон эволюции, µ - параметр системы. Если задано начальное состояние x(t0), то существует единственное решение уравнения dx(t) /dt = xя= F(x, µ ), которое предсказывает будущее состояние x(t) для любых t > t0. Если число переменных состояния равно двум или более, то моделью будет система двух или более уравнений:

xя1=F1(x1, x2, µ); (2)

xя2 = F2(x1, x2, µ ).

Число параметров также может быть больше, чем один.

В связи с тем что проблема устойчивости связана с анализом реакции системы на малое возмущение ее состояния, на первом этапе она может быть исследована в рамках линейного приближения. Поясним это. Пусть x0(t) есть некоторое частное решение уравнения (1).Устойчивость этого решения (состояния) мы хотим исследовать. Введем в рассмотрение переменную y(t), которая задает малое отклонение от частного решения:

y(t) = x(t) ? x0 (t), (3)

Наша задача состоит в исследовании эволюции во времени малого возмущения y(t), которая подчиняется уравнению (1). Разложим функцию F в степенной ряд в окрестности частного решения

F(y) = dF/dx | x=x0 (t ) ? y (t) d^2F/ dx^2| x=x0(t) ? y^2(t)+… (4)

Производные функции F должны вычисляться в точках, соответствующих частному решению. Перепишем уравнение (1) для возмущения y(t) с учетом (4):

yя( t)= F (y, µ ) = dF/dx |x=x0(t ) ? y (t) + Ц (y ), (5)

где

Ц(y) = d^2F/dx^2 |x=x0 (t) ? y^2 (t) +…

Слагаемые Ц(y) включают все члены с y^n (n >= 2), то есть учитывают нелинейные добавки. По определению, переменная y(t) есть малое отклонение от частного решения. Поэтому нелинейными членами в уравнении (5) в первом приближении можно пренебречь. Таким образом, для эволюции малого возмущения мы получаем линейное уравнение

yя = A (t)y, где A (t) = dF/dx |x= x0 (t). (7)

Если одномерное уравнение (1) описывает эволюцию исключительно в окрестности стационарных состояний, то уравнение (2) может иметь в качестве решения не только стационарные, но и периодические решения. С увеличением размерности исходной системы (1) в общем случае усложняются и типы возможных решений. Это создает определенные проблемы в исследовании устойчивости: ведь для решения уравнений для возмущений типа (7) необходимо знать частное решение x0 (t)! С применением современных компьютеров эти трудности легко преодолимы.

4. Бифуркации динамических систем

Если внимательно присмотреться к окружающей нас природе, то можно сделать следующее интересное наблюдение. Жизнь на планете Земля возможна лишь благодаря тепловому излучению Солнца, которое служит источником энергии. Летом северное полушарие получает световой энергии больше, чем зимой. И картина летней природы при этом заметно отличается от зимней. Можем рассмотреть в качестве примера объем воды в озере. Количественной мерой привносимой солнечной энергии является температура воды. Летом вода в озере теплая и можно купаться. С наступлением осени температура воды постепенно уменьшается. Купаться уже не хочется, однако вода и при более низкой, но плюсовой температуре остается водой! Глубокой осенью верхний слой воды в озере остывает до нулевой температуры и вдруг превращается в лед! Далее и при ?20°C лед остается льдом. При прохождении температуры через нуль вода резко изменила свои свойства: она из жидкого состояния перешла в твердое. И не плавно, а скачком. Если рассматривать температуру воды как некий параметр системы, то хорошо известно, что с изменением параметра вода резко меняет свои свойства при переходе через 0°С, через 100°C, когда вода превращается в пар. Есть и другие особые значения температуры воды. Оказывается, что большинство интересных физических задач при их математическом описании при- водят к дифференциальным уравнениям, зависящим от одного или нескольких параметров.

В качестве другого примера рассмотрим уравнения колебаний обыкновенного маятника или (что с математической точки зрения полностью идентично) параллельного RLC-контура:

xяя+бxя щ0^2x = 0

Уравнение содержит два параметра: б - параметр затухания, характеризующий трение, и щ0 - параметр, определяющий частоту колебаний. Если потери энергии отсутствуют (параметр затухания б = 0), то решением уравнения будут гармонические незатухающие колебания. При малом трении 0 < б < 1 движение системы будет колебательным с амплитудой, которая уменьшается во времени по экспоненциальному закону. Наконец, при достаточно большом трении (б > 1) движение маятника будет апериодическим, затухающим во времени. Уже в этом простом примере выделяются два особых значения параметра б = 0 и б = 1, отклонения от которых качественно меняют свойства системы.

Изменение параметра в уравнении может вызвать потерю устойчивости одного состояния (или режима функционирования) системы и переход ее в другое, отличное от первого состояние. Это явление, как сказано выше, называется бифуркацией (от слова раздвоение), а значение параметра, при котором оно происходит, - точкой бифуркации. Состояние системы ниже точки бифуркации и выше ее при изменении параметра все- таки меняется. Ясно, что вода при температуре +3 и +22°C - это разные состояния. Но при этом вода остается водой! В математике и физике существует понятие грубости или структурной устойчивости. Суть этого понятия в том, что при малом изменении параметра грубая система хоть и изменяет в деталях режим функционирования, но не принципиально. С этой точки зрения для грубых систем переход через точку бифуркации означает смену одного структурно устойчивого режима на другой. При этом в точке бифуркации система не является грубой: малое изменение параметра в ту или иную сторону приводит к резким изменениям состояния.

Мы условились, что в уравнении (8) параметры a и b положительны. Устойчивость определяется знаком производной правой части уравнения (8) в стационарной точке, то есть знаком величины л (10). При положительных значениях параметров a и b эта производная всегда отлична от нуля. А что, если мы будем уменьшать значение параметра a? Как видно из (10), при a = 0 (независимо от величины b > 0) величина л обращается в нуль, возмущение y не нарастает и не затухает. Мало того, при a = 0 в системе (2) оба стационарных состояния как бы сливаются в одно (x = 0)! Далее, если a < 0, то стационарных состояний нет вовсе.

Приведем теперь результаты математического анализа этой бифуркации, которая известна как бифуркация “двукратное равновесие”. Вновь рассмотрим уравнение (8). Пусть x0 (a) есть грубое состояние равновесия, то есть л(a) 0. Это означает, что при малой вариации параметра a состояние x0 (a) продолжает существовать как устойчивое или неустойчивое стационарное состояние.

При некотором значении параметра a = a* собст- венное число л(a*) в стационарном состоянии может обратиться в нуль:

л(а ) = dF/dx |x0 = 0, a=a*. (13)

Для реализации бифуркации “двукратное равновесие” необходимо, чтобы вторая производная была отлична от нуля:

d2F/ ?x^2 |x0 ? 0

Значение параметра a*, при котором выполняется условие (13), является точкой бифуркации. До точки бифуркации a < a* мы имеем два стационарных состо- яния. В точке бифуркации a = a* они сливаются в одно, далее при a > a* этих состояний в системе не будет. В нашем случае (8) a* = 0.

Результаты можно представить графически

Бифуркация “двукратное равновесие”

При a > 0 в системе (8) два стационарных состояния и при a = 0 они сливаются в одно, и при a <0 стационарные состояния исчезают x1 0 x

“Мягкие” и “жесткие” бифуркации.

Несмотря на многолетнюю историю существования и развития классической теории устойчивости и бифуркаций, наступил момент, когда к этой теории было вдруг привлечено всеобщее внимание. Причиной тому послужили популярно изложенные версии работ французского математика Рене Тома по так называемой теории катастроф. Теория катастроф в начале 70-х годов стала модной, понятной для неспециалистов и универсальностью своих претензий стала напоминать псевдонаучные теории прошлых времен. Появление теории катастроф Р. Тома специалистами не было воспринято как новое открытие, хотя некоторые результаты этой теории заслуживают самого глубокого уважения. Но принципиального научного открытия здесь нет.

Речь шла все о тех же бифуркациях, но при этом выбирался один из типов - так называемые жесткие бифуркации. Для пояснения рассмотрим два простых примера. В первом случае (рис. 2) в результате бифуркации исходное стационарное состояние теряет устойчивость и рождаются два новых устойчивых стационарных состояния. При этом вновь появившиеся два стационарных состояния расположены в непосредственной близости от исходного состояния,

бифуркация динамический система устойчивость

которое потеряло устойчивость. Бифуркации такого типа называют мягкими, имея в виду, что вновь родившийся режим функционирования системы как бы появляется из режима, потерявшего устойчивость, и сосуществует рядом с ним.

Другой пример бифуркации качественно представ- лен на рис. 3. При µ < µ* (рис. 3, 1) шарик находится в устойчивом стационарном состоянии. При этом существует еще одно, неустойчивое состояние. В точке бифуркации µ = µ* устойчивое и неустойчивое состояния сливаются в одно. Далее они исчезают, и система выбирает новый режим на который существенно отличается от предыдущего и не находится в непосредственной близости от исходного режима.

Такой тип бифуркаций называют жестким, и именно жесткие бифуркации явились предметом анализа в теории катастроф.

5. Заключение

В результате качественного описания проблемы устойчивости и бифуркаций динамических систем можно тем не менее сделать определенные выводы. Эволюция любых систем сопровождается потерей устойчивости одними режимами функционирования и бифуркационными переходами их в новые. Эти “фазовые переходы” могут осуществляться плавно, мягко, а могут происходить скачкообразно, в виде катастроф. Строгий математический анализ устойчивости и бифуркаций позволяет сегодня практически рассматривать широкий спектр проблем, связанных с исследованиями бифуркационных переходов в различных динамических системах. Но при этом необходимо опираться на строгие математические результаты и использовать обоснованные методы теоретического и качественного анализа.

Список литературы

· В.С. Анищенко "Знакомство с нелинейной динамикой".

· Кузнецов С. П. "Динамический хаос(курс лекций)".

Размещено на Allbest.ru