Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра автоматики у управления

Реферат

по дисциплине «математические основы теории систем»

Выполнил: Исламов А.Ф.

Проверил: Разнополов О. А.

Челябинск 2014

Содержание

Введение

1. Основная часть

1.1 Матрицы и линейные пространства

1.1.1 Основные типы матриц

1.1.2 Простейшие операции с матрицами

1.2 Устойчивость систем управления

1.2.1 Определение и условия устойчивости

1.2.2 Основное условие устойчивости

1.2.3 Необходимое условие устойчивости

1.2.4 Определение области устойчивости

Введение

Что такое дискретная математика? Какими признаками характеризуются входящие в нее разделы? Хотя в целом границы, определяющие дискретную математику, в значительной степени являются условными, все же можно указать признак, позволяющий достаточно четко разделить всю современную математику на две составляющие. Суть этого признака заключена в самом названии «дискретная математика», где дискретность выступает как противоположность непрерывности, обозначающая отсутствие понятия предельного перехода. С этой точки зрения в дискретную математику могут быть включены такие разделы, как теория множеств, теория дискретных автоматов, математическая логика, теория графов и сетей, комбинаторика, векторная и матричная алгебры, теория чисел, теория конечных групп, колец и полей, теория алгебраических систем и многие другие. С позиций «чистой» математики среди этих разделов нет второстепенных. С прикладной же точки зрения не все разделы одинаково важны. Это обстоятельство накладывает определенные ограничения на подбор материала для учебного пособия, чтобы не слишком обременять студентов избыточной информацией, особенно на начальном этапе знакомства с элементами дискретной математики. Эти разделы отличаются наиболее яркой прикладной ориентацией. Их вполне можно рассматривать как общеобразовательные дисциплины, составляющие минимум, обязательный для каждого, кто впервые приступает к изучению основ дискретной математики с целью применения полученных сведений в своей практической деятельности. Первая часть в основном является теоретической. В нее входит теория множеств и булева алгебра (алгебра логики).

Наибольшее внимание уделено булевой алгебре -- важнейшему разделу современной математики. Во-первых, булева алгебра является фундаментом всех без исключения информационных технологий. Во-вторых, с ее помощью решаются самые разнообразные логические задачи (о беспорядках, о расписании, о нахождении всех трансверсалей и др.). В третьих, она находит широчайшее применение в технических областях (логический синтез контактных структур, комбинационных и многотактных электронных схем, их минимизация, анализ работы и др.). Даже с чисто эстетической точки зрения ей нет равных: это самая «красивая» из всех наук современности.

Некоторые из них по содержанию освещены достаточно полно, другие же являются лишь вводно-ознакомительными (подобно разделу «Теория множеств»), носящими пропедевтический характер (пропедевтика -- введение в какую-либо науку, подготовительный курс. От греч. propaideuф -- предварительно обучаю). К ним относятся такие темы, как «Булево дифференциальное исчисление», «Булевы уравнения», «Пороговые функции» и др. Предполагается, что на основе полученных сведений по той или иной теме студент в дальнейшем при необходимости сможет самостоятельно глубже изучить соответствующие вопросы, обратившись к специальной литературе.

Целью настоящей работы является дополнительное знакомство с математическим аппаратом, необходимым для последующих глав. Вообще говоря, приводимые аналитические методы укладываются в рамки линейной алгебры. Точнее, предметом рассмотрения являются матрицы, определители, линейные векторные пространства, линейные преобразования, функции от матриц, а также задачи на собственные значения.

К указанным аналитическим методам при изучении систем приходится прибегать главным образом по той причине, что полное описание сложной системы требует большого количества информации. Эту информацию (которая может состоять из систем дифференциальных или разностных уравнений) удобно представлять при помощи матриц. Тогда анализ систем сводится большей частью к анализу свойств матриц. Применение быстро-действующих вычислительных машин сделало этот подход действенным.

Вопросы ни в коей мере не исчерпывают обширный круг задач линейной алгебры. Более того, выбраны лишь вопросы, непосредственно относящиеся к изучению системы управления. В частности, особое значение имеют разделы, посвященные векторным пространствам и линейным преобразованиям. Так как надлежащий выбор системы координат позволяет проще выявить свойства системы, то в связи с этим представляет интерес нахождение линейного преобразования, приводящего к желаемой системе координат.

Проблема собственных значений является основой матричного анализа линейных систем. При использовании матриц для описания структуры системы их собственные значения (характеристические числа) характеризуют собственные частоты рассматриваемой системы. По-видимому, проблема собственных значений и вопросы о функциях от матриц.

1. Основная часть

1.1 Матрицы и линейные пространства

Матрица образует некоторое множество связей между переменными х₁, х₂, .... х_п и у, у₂, у_т- Эти связи, или линейное преобразование переменных х в переменные у, полностью характеризуется упорядоченным набором коэффициентов а_{i j}. Если указанное множество коэффициентов обозначить через А то, как будет показано, посредством введения определения «произведение Ах» систему линейных уравнений можно записать как «Ах = у». Несомненно, приведенное выражение по виду значительно проще, чем соответствующая система линейных уравнений. Это одна из основных причин использования матриц.

Матричное уравнение или система матричных уравнений содержат в компактной форме большой объем информации. Если не прибегать к указанному компактному обозначению, то анализ системы линейных уравнений оказывается достаточно громоздким.

Рассмотрим теперь прямоугольную таблицу, составленную из упорядоченных элементов выражения. Элементами таблицы могут быть действительные или комплексные числа или функции от заданных переменных.

Матрицей называется прямоугольная таблица указанного вида, которая, в отличие от обычной прямоугольной таблицы, подчиняется определенным правилам сложения, вычитания, умножения и равенства. Элементы матрицы а_11, а₁₂ ...а_{i j} записываются при помощи двойного индекса. Первый индекс указывает строку таблицы, на которой расположен элемент, а второй -- ее столбец. Матрицы обозначаются¹ здесь жирными буквами А, В, а, b и т. д. или посредством написания общего элемента a _{i j}, заключенного в квадратные скобки. Столбцы матрицы называются векторами столбцами, а строки матрицы -- векторами-строками. Матрица, содержащая m строк и n столбцов, называется (m X n)-матрицей, или как говорят матрица порядка m на n. Квадратная матрица (m=n) является матрицей n-ого порядка.

1.1.1 Основные типы матриц

Матрица-столбец.

Матрица m*1 называется матрицей-столбцом или вектором - столбцом, т.к. она состоит из одного столбца и m строк

Матрица-строка.

Диагональная матрица

Единичная матрица

Нулевая матрица.

Все элементы, которой тождественно равны нулю

Транспонированная матрица.

Матрица у которой строки и столбцы поменяны местами, обозначается как А^т .

i-го столбца матрицы А равен элементу i-й строки j-ro столбца А^т. Если А -- матрица (m*n), то А^т -- матрица (m*n).

Специальные типы матриц, (а) Симметрическая матрица. Квадратная матрица с действительными элементами называется симметрической, если она равна своей транспонированной, т. е. если

А = А^т или а_ij -- a_ji (i j = 1,…,n).

Кососимметрическая матрица. Действительная квадратная матрица называется кососимметрической, если

А = -- А^тилиа_ij = -- а_ji(i j = 1, ..., n).

Отсюда, конечно, следует равенство нулю элементов, лежащих на главной диагонали.

Комплексно сопряженная матрица.

Если элементы матрицы А комплексные (а_ij= а_ij + iB_ij), то комплексно сопряженная матрица В содержит элементы B b_ij= . Это записывается в форме В = А*.

Сопряженная матрица.

Матрица, сопряженная по отношению к А, является транспонированой и комплексно сопряженной по отношению к А, т. е. равна (А*)^т.

Действительная матрица.

Если А = А*, то матрица является действительной.

Мнимая матрица.

Если А = --А*, то матрица А мнимая.

Эрмитова матрица.

Если матрица равна своей сопряженной, то она называется эрмитовой, т. е. если А=(А*)^т, то А -- эрмитова матрица.

Косоэрмитова матрица.

Если А = -- (А*)^т, то А -- косоэрмитова матрица.

1.1.2 Простейшие операции с матрицами

Сложение матриц. Если матрицы А и В одного порядка (m*n), где m и n -- два заданные (не обязательно различные) целые числа, то суммой этих двух матриц служит матрица С = А+В, элемент которой определяется как

cij = aij + bij.

Сложение матриц коммутативно и ассоциативно, т. е.

А + В = В + А(коммутативность),

А + (В + С) = (А + В) + С (ассоциативность).

Вычитание матриц. Разность матриц одного порядка, скажем (m*n), где m и n -- два заданные не обязательно различные целые числа, равна матрице D = A--В, элемент которой определяется как

dij -- ciij b-ij.

Пример. Вычислить разность указанных матриц.

Равенство матриц. Две матрицы А и В одинакового порядка равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом, А= В только и если только аij = bij.

Умножение матриц. Определение произведения двух матриц А и В непосредственно следует из аппарата линейных преобразований. Рассмотрим линейное преобразование

y₁= a₁₁x₁+a₁₂x₂

y₂ = a₂₁x₂+a₂₂x₂

Элементы у₁ и у₂ можно рассматривать как составляющие вектора у. Подобным образом x₁ и х₂ могут рассматриваться как составляющие вектора х. Тогда уравнение может трактоваться как преобразование матрицей А вектора х в вектор у. Это преобразование можно записать в виде y = Ах.

Умножение транспонированных матриц.

Произведение двух транспонированных матриц В^т и А^т равно транспонированному произведению исходных матриц В и А, взятых в обратном порядке, т. е.

В^тА^т= (АВ)^т.

матрица линейный пространство устойчивость

Это легко показать, транспонируя матрицу С = АВ.

Умножение на диагональную матрицу.

Умножение справа матрицы А на диагональную матрицу D эквивалентно операции со столбами А. При умножении слева матрицы А на диагональную матрицу D операции производятся со строками А. Очевидно,, что умножение слева или справа, на единичную матрицу I не (изменяет исходную матрицу, т. е.

IА = АI=А.

1.2 Устойчивость систем управления

Устойчивость является одним из основных требований к системам автоматического управления (САУ). Поэтому важно уметь определять (исследовать) и соответствующим выбором структуры и параметров системы управления обеспечивать ее устойчивость.

Определение устойчивости, условия и различные критерии устойчивости.

1.2.1 Определение и условия устойчивости

Если на систему управления действуют два внешних воздействия -- задающее воздействие д и возмущение, -- то в общем случае она описывается уравнением

Определение устойчивости. Назначением систем управления является поддержание некоторого заданного режима, называемого невозмущенным движением.

Если на систему действует возмущение, то фактическое движение (которое называется возмущенным движением) будет отличаться от невозмущенного движения.

Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, если после окончания действия возмущения возмущенное движение y(t) с течением времени стремится к невозмущенному движению y(t) y_н (t) при t .

Линейная система управления называется устойчивой или асимптотически устойчивой, если любое ее невозмущенное движение, определяемое задающим воздействием, асимптотически устойчиво.

Общее решение уравнения имеет вид

y(t) = y_в(t) +yс(t),

где y_в(t) -- частное решение уравнения, y_с(t) -- общее решение однородного уравнения.

Частное решение yB(t) можно представить (в силу принципа суперпозиции) в виде

y_в(t) = y_g(t)+y_f(t),

где y_g(t) -- частное решение уравнения при (t) = 0, y_f(t) -- частное решение этого уравнения при (t) = 0.

Общее решение y_c(t) однородного уравнения описывает свободное движение системы управления (т. е. движение при отсутствии внешних воздействий), определяемое только начальными условиями. Частное решение y_b(t) описывает вынужденное движение, определяемое внешними воздействиями. В частности, при отсутствии возмущающего воздействия ( ) частное решение y_b(t) = y_g(t) описывает невозмущенное движение: y_b(t) = y_b(t). Таким образом, если после начального момента to возмущение перестает действовать, решение можно записать в виде

y(t)=y_н(t)+y_с(t) (t>=t₀).

Возмущение, которое действует до начального момента t₀, влияет на начальные условия, от которых зависит только свободное движение. Поэтому для того чтобы возмущенное движение было асимптотически устойчиво (т.е. для y(t) --У y_b(t) при t --> оо), необходимо и достаточно, чтобы lim y_c(t) = 0.

Это соотношение можно принять за математическое определение устойчивости (асимптотической устойчивости) линейных стационарных систем управления.

1.2.2 Основное условие устойчивости

Характеристическое уравнение системы управления, которая описывается уравнением, совпадает с характеристическим уравнением дифференциальных уравнений и имеет вид. Левая часть этого уравнения называется характеристическим полиномом. Характеристический полином получается из собственного оператора системы

По правилу Лопиталя можно показать, что при тогда и только тогда, когда действительная часть корня отрицательна: < 0. Поэтому правая часть в будет стремиться к нулю при, т. е. будет выполнено (необходимое и достаточное) условие устойчивости.

Это условие является основным условием устойчивости. Оно непосредственно вытекает из математического определения устойчивости.

Основное условие устойчивости. Для того чтобы система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть.

На комплексной плоскости корни, имеющие отрицательную вещественную часть, располагаются в левой полуплоскости и поэтому называются левыми; корни, имеющие положительную вещественную часть, располагаются в правой полуплоскости и называются правыми; а корни, расположенные на мнимой оси, называются нейтральными.

Таким образом, основное условие устойчивости можно также сформулировать следующим образом: для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (нули характеристического полинома) были левыми.

Согласно основному условию устойчивости определение устойчивости сводится к исследованию корней характеристического уравнения. Однако для этого нет необходимости вычислять эти корни. Существуют различные критерии устойчивости, которые позволяют судить о том, находятся ли корни полинома в левой полуплоскости, не вычисляя их.

1.2.3 Необходимое условие устойчивости

Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения были строго одного знака.

Если условие не выполняется, то система неустойчива; если оно выполняется, система может быть устойчивой.

Так как коэффициент а₀ всегда можно сделать положительным, дальше, если не оговаривается противное, в качестве необходимого условия устойчивости будем рассматривать условие и критерий устойчивости будем формулировать для случая а₀ > 0.

Покажем справедливость необходимого условия устойчивости. Для этого представим характеристический полином в виде разложения.

Действительному отрицательному корню в разложении соответствует множитель. Паре комплексно-сопряженных; корней с отрицательной вещественной частью соответствует множитель, представляющий собой полином второй степени с положительными коэффициентами. Следовательно, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то характеристический полином может быть представлен как произведение полиномов первой и второй степени с положительными коэффициентами, и соответственно все его коэффициенты при а₀ > 0 будут положительными и при а₀ < 0 -- отрицательными.

Теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. Как отмечалось, практически все системы управления являются нелинейными, а линейные системы управления следует рассматривать как приближенные, линеаризованные модели нелинейных систем.

Линеаризация производится относительно заданного номинального режима y°(t), называемого в теории устойчивости невозмущенным движением. Невозмущенное движение y°(t) нелинейной системы называется асимптотически устойчивым, если существует некоторая окрестность вокруг невозмущенного движения такая, что любое возмущенное движение y(t), начинающееся в момент to окончания действия возмущения в этой окрестности, в дальнейшем не выходит из этой окрестности и y(t) y°(t).

Возникает вопрос: можно ли судить об асимптотической устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы на основании исследования устойчивости ее линеаризованной модели? Впервые этот вопрос был поставлен и решен А.М. Ляпуновым в 1892 г. в его диссертационной работе.

Теоремы Ляпунова. 1. Если все корни характеристического уравнения линеаризованной модели являются левыми, то невозмущенное движение соответствующей нелинейной системы асимптотически устойчиво.

2.Если среди корней характеристического уравнения линеаризованной модели имеется правый корень, то невозмущенное движение соответствующей нелинейной системы неустойчиво.

3.Случай, когда среди корней характеристического уравнения линеаризованной модели имеются нейтральные корни (корни на мнимой оси), но нет правых корней, называют критическим. В критическом случае по линеаризованной модели нельзя судить об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы.

1.2.4 Определение области устойчивости

Структура системы определяется составом элементов звеньев и связями между ними. Поэтому изменить структуру системы -- это значит изменить состав ее элементов или связи между ними.

При заданной структуре какие-либо параметры могут быть не фиксированными, т.е. их можно изменять. Такие параметры называют варьируемыми. При наличии варьируемых параметров возникает проблема определения области устойчивости. Областью устойчивости в пространстве параметров называют множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива.

Если существует область устойчивости в пространстве параметров, т.е. существуют такие значения варьируемых параметров, при которых система устойчива, то она называется структурно устойчивой или структурно устойчивой относительно заданных варьируемых параметров. В противном случае, т.е. если нет таких значений варьируемых параметров, при которых система устойчива, она называется структурно неустойчивой или структурно неустойчивой относительно заданных варьируемых параметров.

Область устойчивости можно определить с помощью алгебраических критериев устойчивости. Рассмотрим это на примере.

Пример. Передаточная функция разомкнутой системы

Определить область устойчивости замкнутой системы на плоскости параметров (K,Т).

Эта система неравенств определяет область устойчивости.

Разработан специальный метод определения области устойчивости, названный методом 12-разбиения.

Метод D-разбиения. Если имеются варьируемые параметры, то корни характеристического уравнения зависят от этих параметров, и пространство параметров можно разбить на области, которым соответствует фиксированное количество левых корней. Область, которой соответствует к левых корней характеристического уравнения, обозначим D(k). В общем случае все пространство параметров можно разбить на области D(0), D(l),..., D(n). Область D(n) является областью устойчивости, так как при значениях параметров из этой области п корней (т. е. все корни) являются левыми.

В частном случае какие-либо области могут отсутствовать. Если система структурно неустойчива, то будет отсутствовать область устойчивости D(n). Разбиение пространства параметров на все возможные области D(k) называется D-разбиением. Кривая, разделяющая области D(k) с различными индексами к, называется кривой D-разбиения. Так как во время движения в пространстве параметров при пересечении кривой .D-разбиения происходит переход из области D(k') с числом левых корней к -- к1 в область D(k") с числом левых корней к = к", то часть левых корней становятся правыми (к'>к") или часть правых корней становятся левыми (к' < к"). Но так как переход корней на комплексной плоскости из одной полуплоскости в другую происходит только через мнимую ось (включающую и бесконечно удаленную точку), то уравнение кривой D-разбиения получается из характеристического уравнения.

Размещено на Allbest.ru