Использование теории множеств в различных отраслях знаний

Использование математики в задачах информационной безопасности. Понятие множества, его применение. Методы принятия решений в неопределенных условиях в основе теории множеств. Примеры применения теории множеств в отрасли программирования и в жизни.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 21.09.2017
Размер файла 1,3 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

9

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "МЭИ"

Инженерно-экономический институт

Кафедра информационной и экономической безопасности

Проект по дисциплине "Математическая логика и теория алгоритмов" на Тему: Использование теории множеств в различных отраслях знаний

Работу выполнила:

Студентка группы ИЭ-42-16

Кулаевская К.Ю.

Москва 2017 г.

Содержание

  • 1. Теория множеств: что такое множества и где они применяются
  • 2. Примеры применения теории множеств в различных отраслях знаний
  • 2.1 Программирование
  • 2.2 Практическое применение множеств в повседневной жизни ИБ
  • Выводы
  • Информационные источники

1. Теория множеств: что такое множества и где они применяются

В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое".

Изначально введём понятие, которое нам пригодится:

Нечёткое множество - определение, введённое Лотфи Заде в 1965 году, в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция множества (названная Заде функцией принадлежности для нечеткого множества) может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только значения 0 или 1. Является базовым понятием нечёткой логики.

Теория нечетких множеств представлена в разделе прикладной математики, который посвящен методам проведения анализа неопределенных данных, описывающих неопределенности реальных событий и процессов с использованием понятий о множествах без четких границ. Классическая теория множеств определяет принадлежность конкретного элемента определенной совокупности. При этом под принадлежностью принимаются понятия в бинарном выражении, т.е. присутствует четкое условие: рассматриваемый элемент или принадлежит, или не принадлежит множеству. Теория множеств относительно нечеткости предусматривает градуированное понимание принадлежности рассматриваемого элемента конкретному множеству, а степень его принадлежности подлежит описанию с помощью соответствующей функции. Другими словами, переход от принадлежности заданному множеству некоторых элементов к непринадлежности происходит не резко, а постепенно с использованием вероятностного подхода.

Достаточный опыт зарубежных и отечественных исследователей свидетельствует о ненадежности и неадекватности вероятностного подхода, используемого в качестве инструмента решения задач слабоструктурированного типа. Использование методов статистики при решении такого типа задач приводит к существенному искажению исходной постановки задачи. Именно недостатки и ограничения, связанные с применением классических методов решения задач слабоструктурированной формы, являются следствием "принципа несовместимости", который сформулирован в теории нечетких множеств, разработанной Л.А. Заде. Поэтому некоторые зарубежные и отечественные исследователи разработали методы оценивания риска инвестиционных проектов и эффективности с использованием инструментов теории нечетких множеств. В них на замену метода распределения вероятностей пришло распределение возможностей, которое описывается функцией принадлежности числа нечеткого типа.

Основы теории множеств базируются на инструментах, которые имеют отношение к методам принятия решений в неопределенных условиях. При их использовании предполагается формализация исходных параметров и показателей эффективности целевой направленности в качестве вектора нечеткого интервала (интервальных значений). Попадание в каждый такой интервал может быть охарактеризован степенью неопределенности. Используя арифметику при работе с такими нечеткими интервалами, экспертами может быть получен в результате нечеткий интервал для конкретного целевого показателя. Основываясь на исходной информации, опыте и интуиции, эксперты могут дать качественную и количественную характеристики границ (интервалов) возможных значений области и параметров их возможных значений.

Теория множеств может быть активно использована на практике и в теории управления системами, в финансах и экономике для решения задач при условии неопределенности основных показателей. Например, такая техника, как фотоаппараты и некоторые стиральные машины, оборудована нечеткими контроллерами. В математике теория множеств, предложенная Л.А. Заде, позволяет описать нечеткие знания и понятия, оперировать ими и делать нечеткие выводы. Благодаря основанным на данной теории методам построения нечетких систем с помощью компьютерных технологий значительно расширяются области применения компьютеров. В последнее время управление нечеткими множествами является одной из результативных областей исследований. Полезность нечеткого управления проявляется в определенной сложности технологических процессов с позиции анализа с использованием количественных методов. Также управление нечеткими множествами применяется при качественной интерпретации различных источников информации.

теория множество программирование

2. Примеры применения теории множеств в различных отраслях знаний

2.1 Программирование

5 Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы сейчас разберём. Кроме того, на основе теории множества создана концепция реляционных баз данных, а на основе операций над множествами - реляционная алгебра и её операции - используемые в языках запросов к базам данных, в частности, SQL.

Пример (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе.

Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты). И формируем подмножества: магазины "Солнышко", "Ветерок", "Огонёк", а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств. Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее). Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком "плюс": A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее).

2.2 Практическое применение множеств в повседневной жизни ИБ

Можно смело констатировать, что мы - будущие безопасники-аналитики, поэтому математика является частью нашей повседневной деятельности. В данном примере я постараюсь показать вам практическое применение математики в деятельности, так скажем, вашего абстрактного подразделения. Надеюсь, что данный прагматичный подход позволит расширить применение математики в вашей будущей деятельности.

Часть 1: теория множеств, диаграмма Венна и IP-адреса.
Сегодня безопасники осуществляют мониторинг с помощью различных индикаторов, размещенных в различных процессах. Хорошими примерами этих индикаторов являются списки или множества (то есть, уникальные наборы данных) IP-адресов, доменных имен, URL, сигнатур файлов и т.п. Поиск элементов данных множеств в лог-файлах, сетевом трафике, предупреждениях IDS, является очень распространенной задачей. Большинство этих действий являются простым набором операций, которые могут быть формализованы с помощью диаграмм Венна и выполнены с помощью программных средств. Наборы операций также могут быть эффективны при сравнении наборов данных, полученных в разные временные периоды для поиска соответствий или различий в этих наборах данных.
Пример 1: пересечение множеств.
Начнем с простого примера: поиск IP-адресов, находящихся в двух различных наборах данных. Фактически это операция пересечения множеств, которая показана на диаграмме.
В этом примере мы будем искать IP-адреса клиентов, которые подключались к нашим серверам в будни и на выходных. Мы имеем два набора внешних IP-адресов:
А - подключавшиеся в выходные дни; В - подключавшиеся в будние дни.
Примеры наборов:

НАБОР A

НАБОР B

10.11.11.1

172.17.12.1

192.168.31.11

10.11.11.1

172.16.44.1

10.253.11.1

10.253.11.1

10.0.0.11

10.131.11.19

192.168.23.23

10.144.244.233

Ниже приведен пример команды для поиска пересечения множеств с помощью утилиты rwsettool из набора SiLK tools:

[bash] $ rwsettool - -intersect seta. set setb. set | rwsetcat 10.11.11.1 10.253.11.1

Файлы seta. set и setb. set сгенерированы на основе приведенной выше таблицы с помощью утилиты rwset. Результат данной операции аналогичен результату выполненного над этими множествами SQL-запроса:

SELECT A. IP FROM IPSETA A INNER JOIN IPSETB B ON A. IP=B. IP; "10.11.11.1" "10.253.11.1"

Пример 2: Разность (дополнение) множеств.
Предположим, мы хотим получить список IP-адресов, которые подключаются к серверам только в выходные. Нам следует получить набор элементов, которые входят в множество B, но не входят в множество A. В теории множеств данная операция называется разностью множеств или дополнением множества A до множества B.
Воспользуемся утилитой rwsettool:
[bash] $ rwsettool - -difference seta. set setb. set | rwsetcat 10.131.11.19 172.16.44.1 192.168.31.11
Аналогичный SQL-запрос:
SELECT A. IP FROM IPSETA A LEFT OUTER JOIN IPSETB B ON A. IP=B. IP WHERE B. IP is null; "192.168.31.11" "172.16.44.1" "10.131.11.19"
Пример 3: симметрическая разность множеств A и B
Теперь мы хотим получить перечень IP-адресов, которые подключались к нам либо в будние дни, либо в выходные. Данная операция называется симметрической разностью множеств.
Воспользуемся пакетом утилит SiLK tools и выполним нашу задачу по формуле "симметрическая разность двух множеств есть разность между объединением данных множеств и их пересечением":
[bash] $ rwsettool - -union seta. set setb. set > setab. set [bash] $ rwsettool - -intersect seta. set setb. set | rwsettool - -difference setab. set stdin | rwsetcat 10.0.0.11 10.131.11.19 10.144.244.233 172.16.44.1 172.17.12.1 192.168.23.23 192.168.31.11
Аналогичный SQL-запрос зависит от конкретной платформы, на которой вы его выполняете, так как для решения задачи нам потребуется оператор full outer join, который присутствует в Postgres, MS SQL и Oracle, но отсутствует в Sqlite и MySQL:
select a. ip,b. ip from ipsetb b full outer join ipseta a on a. ip=b. ip where a. ip is null or b. ip is null; IP IP - ------------ - ------------ - 172.17.12.1 10.0.0.11 192.168.23.23 10.144.244.233 10.131.11.19 172.16.44.1 192.168.31.11

Выводы

Заключение №1

Использование математики в повседневных задачах информационной безопасности может помочь в анализе и поиске аномалий в потоке данных. В этой серии постов я расскажу также о других областях математики, таких как статистика и теория вероятностей, а также коснусь алгебры и теории чисел, которые могут быть просто и со вкусом использованы в повседневной работе.

Применение нечетких множеств в бизнесе, экономике и финансах.

Еще до самого последнего времени применение нечетких формализмов в ходе решения экономических задач рассматривалось традиционными экономистами как некоторое новомодное излишество. Но сегодня можно говорить о переломе в оценке этои? научнои? ситуации.

Можно себе представить, с каким затруднением находили себе место в экономическом анализе субъективные вероятности, обоснованные многими учеными. И не приходится сомневаться, что первые попытки внедрить субъективные вероятности в экономическии? обиход попали под огонь убии?ственнои? критики в несостоятельности и в слабои? математическои? обоснованности. Аналогичным образом невежды от науки пытались смешать с грязью в свое время и работы Лотфи Заде. И лишь практика использования субъективных вероятностеи? в военных и энергетических приложениях, практика построения нечетких контроллеров и другие исследования со столь же впечатляющим выходом заставили злые языки замолчать.

В ходе исследования экономисты прибегают к способу визуализации своих исследований, в нашем случае это пенташкала, где построенная система функций принадлежности носителя соответствует нечетким подмножествам, и гистограмма.

Заключение №2.

Россия находится только в самом начале периода полноценных экономических исследовании? своеи? рыночнои? экономики (да и сам рынок в России существует всего лишь порядка 20 лет). Начинают появляться информационные ресурсы, в рамках которых агрегируется информация о деятельности нескольких тысяч россии?ских корпорации?. Весь этот накопленныи? объем данных всерьез еще никем не исследовался, - да и не было представления о том, как все это многообразие количественнои? и качественнои? информации можно анализировать в одном ключе. Сегодня такои? подход к анализу экономических данных наконец сформировался - подход Fuzzy Economics. Дело лишь за тем, чтобы на основе разработаннои? методологии создать интеллектуальные информационные системы, производящие анализ данных и выработку оптимальных экономических решении?.

Применение теории нечетких множеств для подбора скважин с целью геолого-технологических мероприятии? на нефтяных месторождениях.

За время эксплуатации нефтяных месторождении? в результате выполнения ряда исследовании? и промышленных разработок в мире накоплен огромныи? опыт увеличения нефтеотдачи пластов. Исходя из принципа оптимального управления фондом скважин, для принятия решения, позволяющего достичь наилучшего экономического результата, с учетом имеющихся ограничении? и фактора времени, необходимо прогнозировать последствия применения каждого метода на каждои? скважине, что практически нереализуемо на крупных месторождениях. Поэтому создан подход, сводящии? рассматриваемую проблему к решению двух основных задач. Первая - автоматизированныи? выбор скважин-кандидатов для проведения геолого-технических мероприятии? (ГТМ) и вторая - выбор наилучшего по технико-технологическим и экономическим показателям метода воздеи?ствия из числа известных. Пример посвящен решению первои? из этих задач.

В данном проекте описано практическое применение одного из методов интеллектуального анализа данных (ИАД), основанного на современном математическом аппарате - теории нечетких множеств (ТНМ). В отличие от классическои? теории множеств, в которои? используется бинарная система оценки (элемент либо принадлежит, либо не принадлежит множеству), в теории нечетких множеств используется непрерывная оценка степени принадлежности, которая изменяется постепенно и описывается функциеи? принадлежности (ФП). Этот аппарат является наиболее удобным при обработке реальных геологических и эксплуатационно-технологических данных, которые могут иметь значительные погрешности и неточности.

В ходе математических вычислений получаем данный график:

Как видно из рис.2, диапазон изменения комплексного критерия (КК) для высокодебитных скважин (заполненные квадратики) от 0,6 до 1, наиболее плотное облако в раи?оне 1. По остальным скважинам (пустые круги) КК меняется от 0,1 до 1. Согласно сформированным лингвистическим переменным, скважины, у которых КК стремится к 1, располагаются в наилучших геологических условиях. Граничныи? КК рассчитывался как разность сумм двух наборов скважин.

Исходя из результатов исследования, геологи составляют прогноз последствий применения каждого подхода работы на каждой скважине.

Применение нечетких множеств для формирования психологического портрета личности.

Самореализация человека в существующей социальной реальности возможна только при учете всех аспектов личности, в связи с этим становится важным не только определить уровень образования и профессионализма, но и составить психологический портрет человека.

Частные и коммерческие структуры уделяют особое внимание получению новых и совершенствованию существующих методов сбора и обработки информации для составления психологического портрета личности, повышению надежности и качества полученных характеристик.

Существуют различные методы составления психологического портрета. Все эти методы достаточно хорошо проработаны, однако они обладают следующими недостатками: полученный психологический портрет содержит субъективную оценку исследователя, требуют больших временных затрат как тестируемого, так и эксперта.

Одним из методов повышения достоверности психологического портрета является Графологическая экспертиза. Почерк, как и отпечатки пальцев, сетчатка глаза, набор ДНК, является уникальным источником данных, позволяющим не только идентифицировать конкретного человека, но и при правильном применении с 90% достоверностью выявить его психологические характеристики. Но в современной практике данный метод не находит широкого применения в связи с недостатком квалифицированных специалистов. В то же время, набор параметров почерка позволяет охарактеризовать его владельца с психологической стороны, основываясь не на субъективном восприятии индивидуума, а на объективных параметрах, отраженных в письме.

Типичная задача автоматического распознавания образов формулируется так: все множество подлежащих обработке изображений некоторым способом разбивается на конечное число классов, называемых образами. Автоматическому устройству предъявляется изображение. Устройство должно решить, к какому классу оно относится - именно таким образом формируется психологический портрет личности.

Информационные источники

1. http://function-x.ru/sets1.html

2. http://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-teorii-nechetkih-mnozhestv-dlya-podbora-skvazhin-s-tselyu-geologo-tehnologicheskih-meropriyatiy-na-neftyanyh

3. http://howtoshka.ru/obrazovanie/184365-teorija-mnozhestv-sfery-ee-primenenija.html

4. https: // ru. wikipedia.org/wiki/Нечёткое_множество

5. https: // books. google.ru/books? id=BcxmAAAAQBAJ&pg=PA102&lpg=PA102&dq=применение+множеств&source=bl&ots=nhR_Tv2x4f&sig=meg7KYK5zPoK0PN8-OOBw1ZaXbk&hl=ru&sa=X&ved=0ahUKEwjVnvbUwvXTAhWCjSwKHY9YCxA4ChDoAQgyMAM#v=onepage&q&f=false

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Краткое историческое описание становления теории множеств. Теоремы теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Определение основных понятий, таких как мощность, счетные, замкнутые множества, континуальное множество.

    дипломная работа [440,3 K], добавлен 30.03.2011

  • Понятие множества и его элементов. Обозначение принадлежности элемента множеству. Конечные и бесконечные множества. Строгое и нестрогое включение. Способы задания множеств. Равенство множеств и двухсторонее включение. Диаграммы Венна для трех множеств.

    презентация [564,8 K], добавлен 23.12.2013

  • Понятия множеств и их элементов, подмножеств и принадлежности. Способы задания множеств, парадокс Рассела. Количество элементов или мощность. Сравнение множеств, их объединение, пересечение, разность и дополнение. Аксиоматическая теория множеств.

    курсовая работа [1,5 M], добавлен 07.02.2011

  • Мономорфные стрелки. Эпиморфные стрелки. Изострелки. КатегориЯ множеств. Мономорфизм в категории множеств. Эпиморфизм в категории множеств. Начальные и конечные объекты в категории множеств. Произведение в категории множеств.

    дипломная работа [144,3 K], добавлен 08.08.2007

  • Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.

    дипломная работа [191,8 K], добавлен 08.08.2007

  • Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.

    курсовая работа [358,3 K], добавлен 07.12.2012

  • Нахождение полинома Жегалкина методом неопределенных коэффициентов. Практическое применение жадного алгоритма. Венгерский метод решения задачи коммивояжера. Применение теории нечетких множеств для решения экономических задач в условиях неопределённости.

    курсовая работа [644,4 K], добавлен 16.05.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.