Теория положения точек в пространстве и теория множеств

Размещено на http://www.allbest.ru/

Государственное казенное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

Кафедра таможенной статистики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математический анализ»

на тему «Понятие линейной, неотрицательной и выпуклой комбинации точек плоскости и n-мерного пространства. Понятие расстояния. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные. Замкнутость. Компактные множества »

Выполнила: А.Ю. Соколовская,

студентка 1-го курса очной формы

обучения экономического факультета,

группа Э112Б

Люберцы, 2011



Содержание

Введение

Глава 1. Понятие линейной, неотрицательной и выпуклой комбинации точек плоскости и n-мерного пространства

1.1 Выпуклая комбинация

1.2 Линейная комбинация

Глава 2. Неравенство Коши-Буняковского

2.1 Неравенство Коши-Буняковского

2.2 Неравенство треугольника

Глава 3. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные

3.1 Множества связные, несвязные

3.2 Множества ограниченные, неограниченные

Глава 4. Замкнутость

Глава 5. Компактные множества

Заключение

Используемая литература



Введение

В любом из современных курсов экономики в той или иной степени используется математический аппарат: анализируются графики различных зависимостей, проводится математическая обработка тех или иных статистических данных и т.д. Касаясь вопроса о сильных и слабых сторонах математических методов в экономике, отметим несколько моментов.

Первое - это то, что математика по самой ее сути не может оперировать с нечетко, а тем более некорректно определенными понятиями. Следовательно, если мы хотим использовать математические методы, то должны с самого начала четко сформулировать задачу. Иначе говоря, применение математики с самого начала вызывает необходимость в уточнении понятий. Это, безусловно, ценное качество математических методов исследования.

Другой, сильной стороной в применении математики является глубокая продвинутость математических теорий ( ведь математика - одна из древнейших наук). Линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, корреляционный и регрессионный анализ, дифференциальные уравнения, математическое программирование - эти и другие разделы математики предоставляют к нашим услугам очень мощный и развитый математический аппарат.

В математике существуют нестандартные методы решения.

Нестандартными методами являются методы, в основу которых положено использование известных в математике численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши--Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.

Цель данной работы-изучить теорию положения точек в пространстве и теорию множеств. Для достижения данной цели поставлены следующие задачи:

· Определить понятие плоскости и n-мерного прстранства

· Рассмотреть понятие расстояние

· Рассмотреть неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника

· Рассмотреть множества связанные,несвязанные,ограниченные,неограниченные

· Изучить компактные множества линейной,неотрицательной и выпуклой кобинации точек

Поставленне цели позволяют определить обьект-математические основы в экономике.Предмет математических основ экономики включает в себя определения плоскости,расстояния, неравенства Коши-Буняковского и неравенство треугольника,различные множества.

Начать исследования необходимо с изучения имеющихся источников информации по данной тематике. Наиболее полно тема рассматривалась в работах по математическому анализу. Среди самых известных ученых, исследовавших данную проблематику, можно выделить таких как Геворкян П.C.,Ильин В.А., Позняк Э.Г., Солодовников А.С. и Соболева Т.С.

Полученные в результате их работ данные позволили сформулировать структуру курсовой работы.

Основная часть курсовой работы включает 5 глав.Первая глава называеся «Понятие линейной,неотрицательной и выпуклой комбинации точек плоскости и n-мерного пространства и включает в себя две подразделы «Выпуклая комбинация» и «линейная комбинация».Вторая глава называется «неравенство Коши-Буняковского» и включает подразделы, которые описывают само неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника. В третьей главе будем разбирать «множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные». Глава четвертая описывает «Замкнутость». Пятая глава объясняет компактные множества.

Заключение включает в себя общие выводы по поставленной проблеме.



Глава 1. Понятие линейной, неотрицательной и выпуклой комбинации точек плоскости и n-мерного пространства

Перед тем, как начать разбирать данную тему, хотелось бы пояснить, что является евклидовым пространством, а что является плоскостью.

Евклидовым пространством является конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением, а также непосредственным обобщением обычного трёхмерного пространства. Плоскость это поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки. В трехмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, ?r₀? является радиусом-вектором точки ?P₀?, заданной на плоскости, и допустим, что n - это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка ?P? с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от ?P₀? к ?P?, перпендикулярен n.????????????????????

1.1 Выпуклая комбинация точек

Рассмотрим n - мерное евклидово пространство и пусть ? точка в этом пространстве.

Рассмотрим две точки и , принадлежащие .Множество точек , которые могут быть представлены в виде

(в координатах это записывается так:

,

называется выпуклой комбинацией точек и , или

отрезком, соединяющим точки и . Сами точки и называются концами отрезка. В случаях n =2 и n =3 это ? отрезок в обычном понимании этого слова на плоскости или в пространстве. Заметим, что при ? =0 , а при ? =1 , т.е. при ? =0 и ? =1 получаются концы отрезка. ( рис.1)

Рис.1

Пусть в заданы k точек Точка

, где все и называется выпуклой комбинацией точек .

Пусть есть некоторая область в пространстве (другими словами,

G есть некоторое множество точек из

Определение. Множество (область) называется выпуклым, если из того, что и следует, что для ? ? [0,1]. Другими словами, G ? выпуклое множество, если оно, вместе с любыми двумя своими точками, содержит в себе отрезок, соединяющий эти точки.

(На этих рисунках "а" и "б" - выпуклые множества, а "в" не является выпуклым множеством, так как в нём есть такая пара точек, что соединяющий их отрезок не весь принадлежит этому множеству.)

Теорема 1. Пусть G ? выпуклое множество. Тогда любая выпуклая комбинация точек, принадлежащих этому множеству, также принадлежит этому множеству.

Доказательство:

Пусть ? точки, принадлежащие множеству G .

Докажем теорему методом математической индукции. При k =2 теорема верна, так как она просто переходит в определение выпуклого множества.

Пусть теорема верна для некоторого k. Возьмём точку и рассмотрим выпуклую комбинацию

,

где все и

Представим в виде

Но коэффициенты и

,

и, раз мы считаем, что для k теорема верна, то точка

.

Но тогда является выпуклой комбинацией точек

и и, по определению выпуклого множества, .

Теорема доказана.

Теорема 2. Допустимая область задачи линейного программирования является выпуклым множеством.

Доказательство.

1. В стандартной форме в матричных обозначениях допустимая область G определяется условием

Пусть и принадлежат G , т.е.

Таким образом, допустимая область в задаче линейного программирования является выпуклым множеством. По аналогии с двумерным или трехмерным случаями, при любом n эту область называют выпуклым многогранником в n - мерном пространстве

Теорема 3. Множество оптимальных планов задачи линейного программирования выпукло (если оно не пусто).

Доказательство

Если решение задачи линейного программирования единственно, то оно выпукло по определению ? точка считается выпуклым множеством Пусть теперь и два оптимальных плана задачи линейного программирования. точка комбинация множество неравенство

Тогда и .

Рассмотрим в силу выпуклости области

допустимых значений Но для этого плана

т.е. есть также оптимальный план и, в силу этого, множество оптимальный планов выпукло. Теорема доказана.

Теорема 4. Для того, чтобы задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы целевая функция на допустимом множестве была ограничена сверху (при решении задачи на максимум) или снизу (при решении задачи на минимум).

1.2 Линейная комбинация

Система уравнений вида

(1)

относительно неизвестных величин , называется системой линейных алгебраических уравнений.

Пусть - столбцы матрицы А.

Тогда соотношения (1) равносильны равенству между векторами 

(2)

Выражение называется линейной комбинацией

Векторов , а числа называются коэффициентами линейной комбинации. Множество всевозможных линейных комбинаций векторов .

называется линейной оболочкой векторов .

Таким образом, равенство (2) означает, что

(3)

Другими словами, система (1) имеет решение (совместна) тогда и только тогда, когда правая часть b принадлежит линейной оболочке (является линейной комбинацией) столбцов матрицы коэффициентов.



Глава 2. Неравенство Коши- Буняковского

2.1 Неравенство Коши-Буняковского

Рассмотрим неравенство Коши в пространстве R_n.

Для начала дадим определение n-мерного евклидового пространства R_n

n-мерное точечное пространство, в котором расстояние между точками определено по данной формуле

,

называется n-мерным евклидовым пространством и обозначается R_n.

Ясно, что тогда и только тогда, когда x = y, т. е. когда

при всех i = 1, 2, .,n. Также ясно, что .Докажем, что для любых трех точек

(2)

Это неравенство в двумерном или трехмерном пространстве выражает тот элементарный геометрический факт, что сумма двух сторон треугольника не меньше третьей стороны, и потому называется неравенством треугольника. Также

данное неравенство является одним из аксиом метрического пространства и называется аксиомой треугольника

Предварительно установим важное неравенство Коши

, (3)

справедливо для любых вещественных чисел a_i и b_i.

Простое доказательство этого неравенства основывается на следующем замечании: если квадратный трехчлен Ax²+2Bx+C с вещественными коэффициентами неотрицателен при всех вещественных x, то его дискриминант *.

Составим вспомогательную функцию от вещественной переменной x, сводящуюся к квадратному трехчлену:

,

где

Из определения видно, что при всех x.

Тогда, на основании предыдущего замечания,

это и есть иначе записанное неравенство Коши.

Далее из неравенства (3) выведем еще одно неравенство

(4)

(a_i и b_i - любые вещественные числа), которое тоже называют неравенством Коши. Для доказательства неравенства (4) извлечем квадратные корни из обеих частей неравенства (3), затем удвоив обе части полученного нового неравенства и прибавим к ним выражение

. В результате получим

Это неравенство можно переписать и так:

Извлекая, квадратные корни из обеих частей последнего неравенства, получим (4).Теперь уже легко доказать неравенство треугольника (2).

Пусть

Полагая в неравенстве (4)

мы получим неравенство (2).

Теперь приведем некоторые примеры метрических пространств.

Пусть множество l состоит из всех бесконечных числовых

последовательностей удовлетворяющих условию

Таким образом, l - метрическое пространство

Обозначим через l² множества всех таких последовательностей

вещественных чисел, для которых , и положим

.

Прежде всего нужно проверить, что конечно (т. е. что ря в правой части сходится) для любых x и y из l². А для этого сначала покажем, что неравенство Коши (4) справедливо и для бесконечных последовательностей чисел a_i и b_i (i=1, 2, .). Действительно, беря произвольное натуральное n, запишем неравенство (4), а затем перейдем в нем к пределу при . Получим неравенство

, (5)

которое мы будем называть неравенством Коши для бесконечных

последовательностей. Аналогичным образом из неравенства (3) выводится и другое неравенство Коши для бесконечных последовательностей:

. (6)

Из неравенства (5), в частности, следует, что если

и , то и последовательность , т.е. .

Теперь проверка выполнения в l² аксиом метрического

пространства может быть произведена совершенно так же, как это сделано для R_n.

Пространство l² иногда называют бесконечномерным евклидовым пространством.

2.2 Неравенство треугольника.

Если x и y -произвольные векторы, то по

аналогии с элементарной геометрии вектор x+y естественно называть

третьей стороной треугольника, построенного на векторах x и y.

Используя неравенство Коши-Буняковского, мы получаем

или

(7)

(8)

Неравенства (7)-(8) называются неравенствами треугольника. Геометрически они означают, что длина любой стороны всякого треугольника не больше, чем сумма длин двух других сторон, и не меньше, чем абсолютная величина разности длин этих сторон.



Глава 3. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные

3.1 Множества связные несвязные

Понятия относящиеся к множествам точек в .

Пусть -- отрезок на вещественной оси , переменная на которой обозначается буквой . Рассмотрим функций

, заданных на отрезке . Каждому соответствует тогда точка пространства . Получаем отображение

сопоставляющее каждому соответствующую точку . Это отображение называется вектор-функцией, заданной на отрезке .

Пусть теперь все функции , задающие вектор-функцию , непрерывны на отрезке  . Тогда и вектор-функцию будем называть непрерывной. Для такой непрерывной вектор-функции, при изменении на отрезке точка непрерывно перемещается из положения в положение .

Определение. В описанной выше ситуации будем называть отображение

заданное формулой , непрерывным путём, или просто путём, соединяющим точку с точкой пространства .

Рис.

Множество всех точек будем называть непрерывной линией в , соединяющей точки и , а ту вектор-функцию , которая порождает линию -- параметризацией этой линии. Заметим, что одна и та же линия может иметь разные параметризации. Например, на плоскости с координатами отрезок оси можно параметризовать, положив либо , либо (разумеется, формулы , при любом задают ещё бесконечное множество различных параметризации той же линии ).

Определение : Множество называется связным, если любые две точки и этого множества можно соединить непрерывной линией , целиком лежащей в множестве , то есть если существует путь , начинающийся в и заканчивающийся в , такой что при всех .

Примеры связных областей на плоскости.

Связными областями являются:

1) всё пространство ;

2) замкнутые и открытые шары;

3) гиперплоскости;

4) замкнутые и открытые полупространства;

5) замкнутые и открытые параллелепипеды;

6) положительный и неотрицательный октанты.

3.2 Множества ограниченные, неограниченные

Ограниченное множество -- множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Ограниченное числовое множество

Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху, если существует число ?b?, такое что все элементы ?X? не превосходят ?b?:?????????????????????????????????

Множество вещественных чисел называется ограниченным снизу, если существует число ?b?, такое что все элементы ?X? не меньше :?b?:

?????????????????????????????????

Множество , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество , не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

Примеры:

Примером ограниченного множества является отрезок

,

неограниченного -- множество всех целых чисел

,

ограниченного сверху, но неограниченного снизу -- луч ?x < 0?,???????????

ограниченного снизу, но неограниченного сверху -- луч ?x > 0?.???????????



Глава 4. Замкнутость

Совокупность всех предельных точек произвольного множества Е договоримся обозначать символом Е1,а сумму, или объединение двух множеств А и В будем обозначать символом А+В или A[JB 2). Договоримся далее называть замыканием произвольного множества Е множество , обозначаемое символом Е и равное сумме Е+Е1.

Очевидно, что для любого замкнутого множества F справедливо равенство F=F.

Совокупность всех внутренних точек произвольного множества E будем обозачать символом int E 3)

1) В частности множество, не имеющее предельных точек, замкнуто (ибо пустое множество содержится в любом множестве)

2) Суммой или объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из точек, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

3) Символом int образован от французского слова interieur (внутренняя часть)

Очевидно, что для любого открытого множества G справедливо равенство int G=G.

Для совершенно произвольного множества E множество int E является открытым, а множество Е|-замкнутым.

Остановимся на простейших свойствах открытых и замкнутых множеств.

(1.) Если множество F замкнуто,то его дополнение CF открыто.

Доказательство: Любая точка х множества CF не принадлежит F и (в силу замкнутости F) не принадлежит множеству F' предельных точек F. Но это означает, что некоторая окрестность V(x) точки х не принадлежит F и поэтому принадлежит CF.

(2.) Если множество G открыто, то его дополнение CG замкнуто.

Доказательство: Любая предельная точка x множества CG заведомо принадлежит этому множеству, ибо в противном случае x принадлежала бы G, а поскольку G -открытое множество, то и некоторая окрестность V(x) точки x принадлежала бы G и не принадлежала бы CG, т.е. точка х не являлась бы предельной точкой CG.

(3.) Сумма любого числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство: Пусть множество Е представляет собой сумму какого угодно числа открытых множеств Ga, ( индекс a вообще говоря, не является номером), и пусть х - произвольная точка Е. Тогда (по определению суммы множеств) x принадлежит хотя бы одному из множеств Ga, и поскольку каждон множество G, является открытым, то найдется некоторая окрестность V(x) точки х также принадлежащая указанному множеству Ga, а стало быть, и множеству Е.

(4.) Пересечение любого числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство: Пусть множество E является пересечением открытых множеств Gi, Gz. . ., Gn, и пусть x -любая точка Е. Тогда для любого к (к = 1,2, ...,в) точка x принадлежит Gk, и поэтому найдется некоторая окрестность Vk (x) = (x-еk, x+еk), Ek>0, точки х, также принадлежащая Gk. если е = min {e1,e2, ...,en}, то окрестность V(x)=(x-e,x+e) точки х принадлежит всем Gk и вследствие этого принадлежит Е. 

(5.) Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство: Пусть множество Е представляет собой пересечение какого угодно числа замкнутых множеств Fa ( индекс a, вообще говоря, не является номером). Заметим, что дополнение СЕ представляет собой сумму всех дополнений CFa, каждое из которых, согласно (1), представляет собой открытое множество.

Согласно (3.) множество СЕ является открытым, а поэтому на основании (2.) множество Е является замкнутым.

(6.) Сумма конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство: Пусть Е представляет собой сумму замкнутых множеств F1, F2, ...,Fn. Тогда СЕ представляет собой пересечение множеств CF1,CF2,...,CFn, каждое из которых в силу (1.) является открытым. Согласно (4.) множество СЕ является открытым, а поэтому на основании (2.) множество Е является замкнутым.

(7.) Если множество F замкнуто, а множество G открыто, то множество F\G замкнуто, а множество G\F открыто.

Доказательство. Достаточно заметить, что множество F\G является пересечением замкнутых множеств F и CG, а множество G\F является пересечением открытых множеств G и CF.



Глава 5. Компактные множества

Определение: Множество в метрическом пространстве называется компактным, если из всякой бесконечной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу .

Определение: Множество, лежащее в некотором метрическом пространстве , называется предкомпактным, или относительно компактным (компактным относительно), если его замыкание в компактно.

Определение: Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре с центром в точке , то есть существует такая постоянная , такая, что для любого выполняется неравенство

В курсе теории метрических пространств доказывалось, что любое компактное множество является ограниченным. Докажем, что любое относительно компактное множество также является ограниченным.

Теорема: Множество , лежащее в некотором метрическом пространстве , и относительно компактное, является ограниченным.

Доказательство. Замыкание множества М является компактным, следовательно, ограниченным. Но , а подмножество ограниченного множества также ограничено.

В конечномерном пространстве выполняется также обратное утверждение.

Теорема: В конечномерном пространстве всякое ограниченное подмножество относительно компактно.

Эта теорема следует из теоремы Больцано-Вейерштрасса для пространства : в этом пространстве всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Можно доказать также более общую теорему.

Теорема: В конечномерном нормированном пространстве всякое ограниченное подмножество относительно компактно.

Доказательство:

Пусть - ограниченное подмножество n-мерного пространства , т. е. существует такая константа , что для всех . Каждому сопоставляем вектор , координаты которого равны соответствующим координатам в разложении элемента по некоторому фиксированному базису. Тогда справедливо следующее неравенство: (1), где - наименьшее значение на единичном шаре , . Возьмем любую последовательность . По неравенству (1) соответствующие этим элементам векторы образуют ограниченное множество, а в ограниченные множества относительно компактны, следовательно, из последовательности , можно выделить частичную , сходящуюся к некоторому пределу.

Сходимость в есть сходимость по координатам, следовательно, и последовательность сходится по координатам. Но тогда эта последовательность сходится к некоторому пределу и по норме (в силу непрерывности суммы и произведения в нормированных пространствах). Тем самым относительная компактность доказана.

Определение: Семейство функций называется равностепенно непрерывным, если для любого найдется такое , что , для любой функции , для любых , таких, что .

Определение: Семейство функций , определенных на некотором отрезке, называется равномерно ограниченным, если существует такое число , что , для любого

Теорема Арцела: Для того чтобы семейство непрерывных функций, определенных на отрезке , было предкомпактно в , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Теорема: Образом компактного множества при непрерывном отображении является компактное множество.

Докажем аналогичную теорему для относительно компактных множеств.

Теорема: Образом относительно компактного множества при непрерывном отображении является относительно компактное множество.

Доказательство. Пусть - непрерывное отображение, - относительно компактное множество. Рассмотрим последовательность точек из множества : , . Так как множество относительно компактно, то существует подпоследовательность . Так как отображение - непрерывное, то . Значит, для множества выполнено условие относительной компактности.

Примеры компактных и некомпактных множеств

1. В пространстве всякий отрезок будет компактен. (Так как пространство конечномерно, а данный отрезок является замкнутым и ограниченным множеством).

2. В пространстве шар с центром в и радиусом , то есть множество точек , таких, что , является компактным. (Аналогично по доказанной теореме).

3. В пространстве множество будет компактным, поскольку какую бы мы ни взяли бесконечную последовательность его элементов, из неё всегда можно будет выделить подпоследовательность, состоящую из одного элемента множества, которая, очевидно, будет сходящейся к этому элементу множества (определение).

4. В пространстве рассмотрим множество элементов , , … (у последовательности единица стоит на -м месте, а на остальных местах нули). Оно ограничено и замкнуто, но никакая подпоследовательность последовательности не фундаментальна и, значит, не сходится, поскольку при . Множество некомпактно.



Заключение

Математическое обоснование экономических процессов в наше время приобретает все большую актуальность. Расмотрение неравенств, множеств, комбинаций точек плоскости и n-мерного пространства помогают более явно иллюстрировать экономические процессы и описывать изменения,происходящие в экономике в современном мире. В математике существуют нестандартные методы решения, в основу которых положено использование известных в математике численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши--Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.



Используемая литература

· Высшая математика. Основы математического анализа: учебник для вузов, Геворкян П.С.

· Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть II: учебник для вузов, Ильин В.А., Позняк Э.Г.

· Курс математического анализа. В 3 т. Т. 2: Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных: учебник для вузов, Кудрявцев Л.Д.

· Курс математического анализа. В 3 т. Т. 2: Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных: учебник для вузов, Кудрявцев Л.Д.

· Математика в экономике: учебник: Ч. 1, Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г.

· Задачи и упражнения по функциональному анализу, Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С.

· Матричный анализ и линейная алгебра: учебное пособие, Тыртышников Е.Е.

Размещено на Allbest.ru