Пример последовательного соединения элементов показан на рис.1, а. При последовательном соединении элементов вероятность безотказной работы системы за время t при известных вероятностях безотказной работы элементов равна

, (1)

где P₁(t), P₂ (t), …, P_n(t) - вероятности безотказной работы 1, 2, 3, …, n-го элементов системы за время t; n - число элементов системы.

Если известны законы изменения интенсивностей отказов элементов системы, то

. (2)

Расчёт по формуле (1) может выполняться только для момента времени t, для которого известны вероятности P_i(t), а по формуле (2) для любого времени непрерывной работы системы.

При допущении о независимости отказов элементов интенсивность отказов системы равна сумме интенсивностей отказов отдельных элементов

. (3)

Наработка до отказа системы при последовательном соединении элементов равна наработке до отказа того элемента, у которого эта наработка минимальна

Т_с = min(T_i), i = 1, 2, …, n, где n - число элементов системы.

Вероятность отказа системы, состоящей из последовательно соединённых элементов, определяется по формуле

. (4)

3. Параллельная структура. Расчёт надёжности систем с параллельной и смешанной структурами

При параллельном соединении элементов (рис.1, б) отказ системы возникает только в том случае, когда откажут все её элементы. Вероятность отказа системы за время t при параллельном соединении элементов системы определяется зависимостью

Q_c(t) = q₁(t)q₂(t)…q_n(t), (5)

где q₁(t), q₂(t), q₃(t), …, q_n(t) - вероятности отказов 1, 2, 3, …, n-го элементов системы за время t; n - число элементов системы.

Вероятность безотказной работы для этого случая (при условии, что система и каждый элемент системы рассматриваются только в одном из двух состояний - работоспособном и неработоспособном)

. (6)

Вероятность безотказной работы при равнонадёжных элементах и показательном распределении наработки до отказа

, (7)

где l - интенсивность отказа одного элемента.

Наработка на отказ системы при параллельном соединении элементов равна максимальному из значений наработок до отказа элементов

T_c = max (T_i), i = 1, 2, …, n.

Если отдельные составные части системы представляют собой параллельное соединение элементов, а другие - последовательное, то рассчитывают вначале вероятности безотказной работы составных частей системы с параллельным соединением элементов, а затем эти составные части соединяют в систему как последовательные элементы (рис.1, в).

Если структурная схема состоит из k параллельных цепей, а каждая цепь состоит из N звеньев, то вероятность безотказной работы параллельно-последовательной схемы может быть вычислена по уравнению

Для частного случая - экспоненциального закона распределения наработок до отказа - расчётные формулы для последовательного и параллельного соединений можно упростить и представить в виде

. (8)

Для параллельного соединения

. (9)

4. Описание условий работоспособности с помощью функций алгебры логики

Расчёт надёжности структурно сложных систем по приведённым выше зависимостям является чрезвычайно громоздким. Для его упрощения и формализации всех этапов расчёта, а также для удобства разработки алгоритма вычисления на компьютере предложен аналитический метод описания условий работоспособности системы с помощью функций алгебры логики (ФАЛ)¹¹ Рябинин И.А. Расчёт надёжности систем со структурной избыточностью/Надёжность и эффективность в технике: Справочник. В 10 т. М.: Машиностроение, 1988.- Т.5: Проектный анализ надёжности/Под ред. В.И. Патрушева и А.И. Рембезы.-316 с. (С.58-101). .

Прежде всего, для использования данного метода требуется формализация на языке алгебры логики условий работоспособности структурно-сложных схем (УРС). При этом вводятся определённые допущения. Так, например, принимается, что на структурной схеме все элементы системы равноценны, а способ соединения элементов в функциональной схеме раскрывает структуру системы. Структурный элемент системы может не совпадать с физическим элементом реальной системы и заменять в функциональном смысле несколько последовательно соединённых физических элементов.

Каждый элемент системы, как и вся система, может находиться только в одном из двух состояний: полной работоспособности или полного отказа (отказ элемента обозначают x'_i). При этом предполагается, что действие системы детерминировано зависит от действия её элементов.

Функцию алгебры логики y(x₁, x₂, …, x_n), определяющую состояние системы через состояние n её элементов x₁, x₂, …, x_n, называют функцией работоспособности системы (ФРС) или условиями работоспособности системы (УРС). При записи функции работоспособности для указания отношений между элементами используют такие понятия алгебры логики как конъюнкцию (логическое умножение) и дизъюнкцию (логическое сложение).

Всякая ФАЛ, записанная через конъюнкцию и дизъюнкцию, позволяет определить функцию работоспособности системы с помощью так называемых кратчайших путей успешного функционирования и минимальных сечений отказов системы.

Кратчайший путь успешного функционирования системы (КПУФ) представляет собой такую конъюнкцию её элементов, когда ни одну из компонент нельзя изъять, не нарушив функционирования системы. Эту конъюнкцию можно представить в виде следующей ФАЛ

, (10)

где K_Pl означает множество номеров, соответствующих данному пути; x_i соответствует работоспособному состоянию i -го элемента; L знак конъюнкции.

Иначе говоря, кратчайший путь успешного функционирования системы описывает один из возможных самостоятельных вариантов выполнения задачи, стоящей перед системой. Этот вариант отличается от других тем, что содержит минимальный набор работоспособных элементов, абсолютно необходимых для осуществления данного варианта работы системы.

Минимальное сечение отказов системы (МСО) представляет такую конъюнкцию из отрицаний её элементов, когда ни одну из компонент нельзя изъять, не нарушив условий неработоспособности системы. Такую конъюнкцию можно записать в виде следующей ФАЛ

, (11)

где x'_i соответствует неработоспособному состоянию i-го элемента;

K_Sl означает множество номеров, соответствующих данному сечению.

Другими словами, минимальное сечение отказов системы описывает один из возможных способов нарушений работоспособности системы с помощью минимального набора отказавших элементов.

С учётом введённых понятий можно по-разному записать условия работоспособности системы:

в виде дизъюнкции всех имеющихся кратчайших путей успешного функционирования

,

где d -число кратчайших путей.

через конъюнкцию отрицаний всех минимальных сечений отказов

,

где m- число минимальных сечений.

Таким образом, условия работоспособности реальной системы можно представить в виде условий работоспособности некоторой эквивалентной (в смысле надёжности) системы, структура которой представляет параллельное соединение кратчайших путей успешного функционирования. Эти же условия работоспособности можно выразить в виде УРС другой эквивалентной системы, структура которой представляет последовательное соединение отрицаний минимальных сечений.

Рассмотрим на примере составление условий работоспособности системы теплоснабжения потребителей от двух водогрейных котлов. Производительность каждого из них полностью обеспечивает нужды потребителей (рис.2).

Потребители обеспечиваются теплом в случае исправности котла ВК №1, аккумулятора №1, теплотрассы №1 и распределительного устройства (РУ). Но бесперебойное теплоснабжение будет обеспечено также при исправности котла ВК №1, перемычки П, аккумулятора №2, теплотрассы №2, и РУ. Возможен и такой вариант теплоснабжения: котёл ВК №2, аккумулятор №2, теплотрасса №2, и распределительное устройство. От котла ВК №2 можно также подать теплоноситель через аккумулятор №2, перемычку П, аккумулятор №1, теплотрассу №1 и распределительное устройство РУ.

Приведённое выше словесное описание условий бесперебойного теплоснабжения потребителей можно компактно записать на языке алгебры логики. Функция работоспособности рассмотренной системы с помощью кратчайших путей успешного функционирования запишется в виде матрицы

Рис.5.2. Схемы системы теплоснабжения: а - принципиальная схема; б - схема расчёта надёжности; ВК- водогрейный котёл; К- коллектор (аккумулятор);РУ - распределительное устройство

. (12)

В формуле (12) каждая строчка матрицы представляет собой конъюнкции логических символов, а столбцы - их дизъюнкции. К логическим матрицам применимы все известные преобразования алгебры логики, и, кроме того, эти матрицы можно обрабатывать при помощи аппарата линейной алгебры как обычные матрицы. В случае сложных схем применяют формализованные приёмы составления ФРС и их обработки методами алгоритмов разрезания, ортогонализации и других. Конечная цель вычислений - это получение вероятностной функции (ВФ), которая представляет собой вероятность истинности ФАЛ

Для простейшего случая, показанного на рис.2, вероятностную функцию можно получить без помощи указанных алгоритмов путём использования формул (8), (9).

Для структурно сложных технических объектов при наличии множества параллельных связей между элементами логико-вероятностные методы расчёта структурной надёжности позволяют не только получить количественные оценки показателей надёжности, но и оценить важность отдельных элементов при синтезе систем с заданной надёжностью. Кроме того, этими методами могут решаться задачи расчёта надёжности восстанавливаемых объектов длительного использования, а также рассчитываться их живучесть и безопасность.

Алгоритмы подобных расчётов формализованы и приспособлены к использованию на современных вычислительных средствах.