Временные динамические ряды. Сглаживание. Прогнозирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Временные динамические ряды. Сглаживание. Прогнозирование

1. ВДР

2. Сглаживание

3. Прогнозирование

Временные ряды

Временными динамическими рядами (ВДР) называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого процесса (явления) во времени.

В качестве фактора в ВДР используются либо даты, либо интервалы времени. В качестве отклика - количественные показатели развития изучаемого процесса во времени.

Основная цель статистического изучения временных динамических рядов (ВДР) состоит в выявлении и оценивании закономерностей их развития.

Основные показатели динамики ВДР

1. Базисный абсолютный прирост (спад) - вычисляется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, принятым за базу сравнения :

2. Цепной абсолютный прирост (спад) - вычисляется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, который ему предшествует:

3. Базисный темп роста, вычисляется делением сравниваемого уровня на уровень, принятый за базу:

4. Цепной темп роста, вычисляется делением сравниваемого уровня на предыдущий:

5. Базисный темп прироста - вычисляется делением базисного абсолютного прироста на уровень, принятый за базу сравнения:

6. Цепной темп прироста - вычисляется как отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню:

7. Средний уровень ВДР (оценка математического ожидания):

§ для интервального ряда:

§ для моментного ряда с равностоящими датами:

§ для момента ряда с неравностоящими датами:

8. Средний абсолютный прирост:

9. Средний темп роста:

10. Средний темп прироста:

Проверка гипотезы о существовании тенденции

1. Проверка разности средних уровней:

Разбиваем анализируемый ряд на две примерно одинаковые выборки, каждая из которых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная совокупность.

Принимаем допущение, что выделенные выборки подчиняются нормальному закону (можно проверить в ППП Statistica). Воспользуемся методикой, разработанной для малых выборок.

Находим средние значения для левой выборки и правой выборки . Примем допущение об однородности дисперсий. Проверка производится по F-критерию Фишера

(где )

число степеней свободы и ;

Принимаем уровень значимости по рекомендации ; если , то гипотезу не отвергаем. В этом случае можно проводить дальнейшую проверку. Выдвигаем гипотезу о равенстве средних и находим критерий Стьюдента:

,

где S - среднее квадратическое отклонение разности средних.

При уровне значимости находим критическое значение критерия Стьюдента для количества степеней свободы;

Если , то гипотеза о равенстве средних отвергается. В этом случае можно проводить прогнозирование.

2. Метод Фостера-Стюарта

Вводятся переменные и , которые находятся сравнением по всем уровням. Переменная принимает значение 1, в случае если сравниваемое значение превышает все предыдущие значения ряда, и 0 в остальных случаях.

;

Переменная принимает значение 1, в случае если сравниваемое значение меньше всех предыдущих значений ряда, и 0 в остальных случаях.

;

Вычисляем:

Показатели и имеют независимые нормальные распределения и существенно зависят от порядка расположения уровней во времени.

Показатель используется для обнаружения тенденций в средней

Показатель используется для обнаружения тенденций в дисперсии ,

где - математическое ожидание величины , определённое для случайного расположения уровней во времени, берётся по таблице; - средняя квадратическая ошибка величины :

- средняя квадратическая ошибка величины :

Сглаживание

Суть сглаживания сводится к замене фактических уровней ВДР расчётными, имеющими меньшие колебания, чем исходные данные.

На практике наиболее часто используют следующие методы:

1. Скользящих средних

2. Взвешенных скользящих средних

3. Экспоненциальный

1. Метод скользящих средних

Выбирается интервал сглаживания - нечётное число , где может меняться как целочисленное значение 1, 2, 3…и расчёт производится для центра интервала:

Так как каждый раз мы добавляем 1 новый член и 1 вычитаем, то другая запись в виде скользящей средней:

Три свойства скользящих средних

1. Уменьшение нерегулярности колебаний в ряде

2. Чем больше , тем больше сглаживание

3. Смещение сглаженных значений

4. Пропадание начальных и конечных значений ряда (концы таблиц)

5. Если требуется сгладить циклические ВДР, то интервал берётся равным или кратным циклу.

Для того, чтобы не пропадали крайние точки, используют сглаживающие формулы:

при

, ;

Для крайних значений:

при

, ;

Для крайних значений:

****

****

2. Взвешенные скользящие средние

Для устранения недостатков предыдущего метода по смещению экстремальных значений (пиков) и потере мелких колебаний используют взвешенные скользящие, в которых каждой переменной, участвующей в сглаживании придается удельный вес, соответствующий её положению относительно вычисляемого значения.

(Этот вес определяется МНК с требованием, чтобы сумма квадратов отклонений вычисленных значений от исходных была минимальной.) необязательная фраза.

для :

для :

3. Экспоненциальные средние

Основа: чем ближе переменная находится к расчётной точке, тем сильнее она должна на неё влиять.

,

где - коэффициент сглаживания, характеризующий вес текущего наблюдения, .

Средняя формируется под влиянием всех предыдущих значений, но вес каждого из них с каждым шагом уменьшается в раз, т. е. для расчётного значения это ; ближайшая переменная ; затем и т. д.… …

Прогнозирование

Для прогнозирования можно использовать методы, рассмотренные нами для сглаживания.

1. Метод скользящего среднего для прогнозирования значений, выходящих за ВДР из чисел, например для :

2. Метод взвешенного скользящего среднего

3. Экспоненциальное прогнозирование

4. Метод Бокса-Дженкинса (процедура ARIMA) (АРПСС).

Зависимость прогнозируемых значений рассматривается в виде составляющей из двух переменных.

AR - авторегрессионный процесс - т. е. зависимость от своих прошлых значений.

MA - как скользящее среднее текущего и предыдущих значений случайных членов.

ARIMA процесс,

- порядок AR-части;

- порядок MA-части;

- порядок разностей, взятых из исходного ряда для достижения его стационарности.

ARIMA по Боровикову В.

- регулярный параметр авторегрессии;

- сезонный параметр авторегрессии;

- регулярный параметр скользящего среднего;

- сезонный параметр скользящего среднего.

лать заключение о его успешном функционировании.

Временное прогнозирование результативных показателей эффективности функционирования ОАО «ICL - КПО ВС»

Статистические методы прогнозирования

В данной работе реализован стандартный подход к прогнозированию, основанный на оценке показателей, непосредственно влияющих на результат прогноза по принципу «дальше, как раньше» [18].

Рассматриваются статистические методы прогнозирования, которые получили наибольшее распространение на практике - определение зависимости между элементами временного динамического ряда (ВДР) на основе предыдущих значений и переноса этих зависимостей на будущее. Выбор сделан в их пользу в силу того, что они опираются на аппарат статистического анализа, практика применения которого имеет достаточно длительную историю [1, 6].

Наиболее распространенным и простым путем выявления тенденции развития и прогнозирования на ее основе является сглаживание или механическое выравнивание динамического ряда.

Суть различных приемов, с помощью которых осуществляется сглаживание и прогнозирование, сводится к замене фактических уровней ВДР y_j, расчетными , , имеющими значительно меньшую изменяемость, чем исходные данные. Уменьшение изменяемости позволяет тенденции общего развития проявить себя более отчетливо. В ряде случаев сглаживание ряда может рассматриваться как важное вспомогательное средство, облегчающее применение других методов статистической обработки данных [1].

Как правило, после сглаживания производят прогнозирование со значениями , . В некоторых работах [18] рекомендуется, чтобы интервал прогнозирования не превышал одной трети количества имеющихся значений прогнозируемого ВДР, т.е.

(5.1.1)

Возьмем первые 20 значений имеющихся ВДР за 2000-2004 г за интервал времени для прогнозирования, тогда r - n требуется взять не более 6 кварталов, т.е. полтора года. Будем прогнозировать деятельность предприятия на четыре квартала 2005 года, т.е. r = 24 и т.к. на первые три квартала из них q = 3 имеются фактические данные, то их будем использовать для оценки качества прогнозирования. Его будем оценивать по формуле:

, (5.1.2)

где y_ij - фактическое значение j-ой переменной на i-ом интервале времени;

- среднее значение по фактическим данным, вычисляемое по формуле:

. (5.1.3)

Наиболее конструктивный показатель, не зависящий от размерности элементов ВДР по отношению стандартной ошибки к среднему прогнозируемому значению

(5.1.4)

Отметим, что в инженерной практике стандартная ошибка вычисляется по другой формуле. Приведём её:

.

В данной работе для вычисления стандартной ошибки использована формула (5.1.2).

Проведём прогнозирование тремя известными и применяемыми на практике методами прогнозирования [1]: скользящего среднего, экспоненциальным и авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, по которым имеются стандартные процедуры прогнозирования в ППП Excel 2003 [13] и Statistica 6.0. [5]. Дополнительно проведем прогнозирование на нейронной сети Neuro Pro и сравним результаты прогнозирования по этим четырем методам.

Сглаживание и прогнозирование методом скользящего среднего

Метод скользящего среднего (СС) является наиболее простым из известных методов, он позволяет сгладить периодические и случайные колебания в ВДР и тем самым выявить наличие имеющейся тенденции его изменения. В центрированном сглаживании данные усредняются слева и справа от выбранной точки. Такой вид сглаживания имеет существенный недостаток: сигнал об изменении тенденции существенно запаздывает во времени. Однако необходимо как можно раньше определить момент изменения тенденции, чему способствует использование нецентрированного СС. В существующих ППП [5,13] для сглаживания и прогнозирования применяется нецентрированное СС.

В нецентрированном СС усредненная величина заменяет не центральный член интервала усреднения, а его последний член

, (5.2.1),

где y_i - фактическое значение переменной на i-ом интервале времени;

- сглаженное, или спрогнозированное значение переменной на j-ом интервале времени;

m - интервал усреднения.

Для прогнозирования, начиная со значения n+1 и по r, спрогнозированные значения вычисляются по формуле

. (5.2.2)

Сводные результаты сглаживания и прогнозирования методом скользящего среднего при изменении интервала сглаживания m приведены в таблице 5.2.1.

По результатам таблицы 5.2.1 были сделаны следующие выводы:

1. Изменение фактора сглаживания m: 3, 5, 7, 9 с целью выявления наилучшего значения, обеспечивающего минимальную ошибку прогнозирования, существенных результатов по улучшению достоверности не дало. Для каждого показателя деятельности предприятия наилучшие спрогнозированные значения были получены при различных значениях интервала усреднения.

2. Наименьшая ошибка прогнозирования методом скользящего среднего составила 0,235388066, наибольшее значение ошибки прогнозирования - 68,36838773.

3. Лучшие результаты прогнозирования методом скользящего среднего приведены в таблице 5.2.2.

Таблица 5.2.1. Сводная таблица ошибок прогноза при изменении параметра m

Код	Ошибка прогноза	Среднее значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению
	m=3	m=5	m=7	m=9		m=3	m=5	m=7	m=9
y1	60777,52327	78801,4937	100870,9	84564,5	142797,6667	0,425619863	0,551840205	0,706390539	0,592198062
y2	105234,0577	66755,5734	79183,36	65346,28	112090,6667	0,938829796	0,595549793	0,706422444	0,582976972
y3	3158,40561	1647,33399	1989,803	1468,194	6237,333333	0,506371143	0,264108698	0,319015081	0,235388066
y4	15439,08137	10759,2706	14191,6	12037,04	21675,66667	0,712277118	0,496375532	0,654725148	0,555324792
y5	1546,507894	1601,37733	5763,453	6631,376	3645,333333	0,424243204	0,43929517	1,581049762	1,81914113
y6	1615,945016	693,359003	1366,403	898,5244	2608,666667	0,619452472	0,265790571	0,523793483	0,344438177
y7	955,030715	509,144498	517,6526	373,48	705,6666667	1,35337371	0,7215085	0,73356538	0,529258772
y8	186,9580068	166,191616	159,3092	235,1568	612,67	0,305154527	0,271259439	0,260025866	0,383825069
y9	19408,54989	17416,9543	18885,03	19457,92	36853	0,52664776	0,472606146	0,512442125	0,527987279
y10	20178,76	18861,773	20389,55	20910,41	37726	0,534876848	0,499967477	0,540464231	0,554270455
y11	16180,51843	21135,1669	20422,66	18790,70	236,6666667	68,36838773	89,30352225	86,29291756	79,39731151
y12	13634,32043	19178,1621	22971,09	24010,34	665	20,50273748	28,83934148	34,54298844	36,10576784
y13	214,8190544	139,875658	181,888	156,4402	237,8227432	0,903273806	0,588150888	0,764805069	0,657801759
y14	2,576856041	2,60473278	10,55362	12,48477	6,072491704	0,424349043	0,428939701	1,737938657	2,055954619

Таблица 5.2.2. Результаты прогнозирования методом скользящего среднего с минимальными значениями ошибок прогнозирования

Код переменной	Квартал	Фактическое значение	Прогнозируемое значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению	m
y1	1/2005	83098	237165,6667	0,425619863	3
	2/2005	106481	222477,3333
	3/2005	238814	142797,6667
y2	1/2005	63636	150601,8889	0,582976972	9
	2/2005	85730	154314,6667
	3/2005	186906	163593,2222
y3	1/2005	3958	5858	0,235388066	9
	2/2005	6161	6353,333333
	3/2005	8593	6913,777778
y4	1/2005	12950	24837,4	0,496375532	5
	2/2005	14928	26756,4
	3/2005	37149	29021
y5	1/2005	2554	2880,666667	0,424243204	3
	2/2005	2216	3061,333333
	3/2005	6166	3645,333333
y6	1/2005	1428	2431,8	0,265790571	5
	2/2005	2487	2886,8
	3/2005	3911	3386,8
y7	1/2005	283	887,8888889	0,529258772	9
	2/2005	716	930,3333333
	3/2005	1118	1036,555556
y8	1/2005	673	468,2857143	0,260025866	7
	2/2005	400	521,2857143
	3/2005	765	625,2857143
y9	1/2005	47586	30194,4	0,472606146	5
	2/2005	10864	31269
	3/2005	52109	38280,8
y10	1/2005	48991	30427	0,499967477	5
	2/2005	9633	31182,8
	3/2005	54554	38482,8
y11	1/2005	67	24527,66667	68,36838773	3
	2/2005	199	13876
	3/2005	444	236,6666667
y12	1/2005	465	21483,33333	20,50273748	3
	2/2005	459	11217,66667
	3/2005	1071	665
y13	1/2005	139,6605042	321,453728	0,588150888	5
	2/2005	177,7646077	333,7849497
	3/2005	396,0431177	359,9255947
y14	1/2005	4,292436975	4,93971937	0,424349043	3
	2/2005	3,699499165	5,200760323
	3/2005	10,22553897	6,072491704

Результаты сглаживания и прогнозирования для интервала усреднения m = 3, при котором получены лучшие результаты для y₁ и y₂ и для m = 5, при котором получены лучшие результаты для y₁₃, представлены на рис. 5.2.1-5.2.3.

Рис. 5.2.1. Прогнозируемое значение выручки (нетто) от продажи товаров, продукции, работ, услуг

Рис. 5.2.2. Прогнозируемое значение прибыли от продаж

Рис. 5.2.3. Прогнозируемое значение дохода на одного работника

Экспоненциальное сглаживание и прогнозирование

В основу экспоненциального сглаживания и прогнозирования положен принцип введения различных удельных весов для усредняемых значений ВДР, так называемый принцип «взвешивания». Чем дальше отстоит элемент ВДР от точки сглаживания или прогнозирования, тем меньшее влияние на вычисляемый элемент он должен иметь. Таким образом, влияние прошлых наблюдений должно затухать по мере удаления от момента, для которого определяется средняя. Поставленная задача может быть решена с помощью применения специальной системы весов, а именно информации приписывается вес, соответствующий степени ее новизны.

Один из простейших приемов сглаживания ряда с учетом «устаревания» данных заключается в расчете специальных показателей, получивших название экспоненциальных средних.

Экспоненциальная средняя

, (5.3.1)

где - экспоненциальная средняя (сглаженное значение уровня ряда) на момент j;

y_j - фактическое значение на момент времени j;

- коэффициент сглаживания, характеризующий вес текущего наблюдения при расчете экспоненциальной средней, .

Средняя формируется под влиянием всех предыдущих значений, но вес каждого из них с каждым шагом уменьшается в (1 - ) раз, т.е. для расчетного значения это ; ближайшая переменная (1 - ); затем (1-)² и т.д..., для i-го элемента (1 - )ⁱ…

; (5.3.2)

;

;

.

Очевидно, результат сглаживания зависит от коэффициента сглаживания - . Если равно 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если равно 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения между 0 и 1 дают промежуточные результаты.

Соответственно этому выражению средний уровень ряда на момент времени j равен линейной комбинации двух величин: фактического уровня для этого же момента и среднего уровня, рассчитанного для предыдущего периода. Таким образом, средняя здесь формируется под влиянием всех предшествующих уровней ряда от его начала и до момента времени j включительно. временный ряд сглаживание прогнозирование

Следовательно, средняя для момента времени j представляет собой линейную комбинацию значений всех наблюдений от y₁ до y_j.

При расчете прогнозируемых значений ВДР методом экспоненциального сглаживания используется следующая формула:

(5.3.3)

В дополнении к простому экспоненциальному сглаживанию, были предложены более сложные модели, включающие сезонную компоненту и тренд. Общая идея таких моделей состоит в том, что прогнозы вычисляются не только по предыдущим значениям (как в простом экспоненциальном сглаживании), но и с некоторыми задержками, что позволяет независимо оценить тренд и сезонную составляющую.

Экспоненциальное сглаживание и прогнозирование проведено с помощью ППП Statistica 6.0 [6].

Сводные результаты сглаживания и прогнозирования методом экспоненциального сглаживания при изменении параметра приведены в таблице 5.3.1.

Таблица 5.3.1. Сводная таблица ошибок прогноза при изменении параметра alpha (delta=0,100; lag=4)

Код	Ошибка прогноза	Среднее значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению
	alpha=0,2	alpha=0,4	alpha=0,6	alpha=0,8		alpha=0,2	alpha=0,4	alpha=0,6	alpha=0,8
y1	38341,0552	42085,5413	48242,96	54720,48	142797,6667	0,268499171	0,294721491	0,337841355	0,383202922
y2	29079,5659	34037,9663	41381,09	48127,33	112090,6667	0,259428967	0,303664589	0,369175164	0,429360727
y3	811,639186	1388,67414	2077,875	2631,703	6237,33	0,130125992	0,222639077	0,333135182	0,421927592
y4	6685,6415	7109,65678	7469,075	7888,403	21675,66667	0,308439948	0,328001758	0,344583404	0,363928978
y5	2303,93178	1663,40198	1545,68	3237,102	3645,33	0,632022252	0,45630998	0,424015193	0,888012577
y6	1332,1064	1479,26759	1458,08	1421,655	2608,666667	0,510646461	0,567058879	0,558936934	0,544973636
y7	227,224502	229,372177	381,5196	551,6347	705,6666667	0,321999767	0,325043236	0,540651326	0,78172141
y8	156,904051	281,977886	311,2799	271,1022	612,6666667	0,256100193	0,460246822	0,508073904	0,442495466
y9	420304,804	36112,8909	44832,28	84275,83	36853	11,40490065	0,979917262	1,216516356	2,286810484
y10	30115,7989	31271,5872	33697,3	36463,81	37726	0,798277021	0,828913407	0,893211691	0,966543289
y11	19356,6999	14607,9703	8682,66	4619,337	236,6666667	81,78887273	61,72381808	36,68729565	19,51832489
y12	23410,9955	19330,226	17347,26	19096,68	665	35,20450448	29,06800896	26,08609931	28,7168064
y13	74,4604795	77,5113267	85,90946	93,10522	237,8227432	0,313092341	0,325920581	0,361233168	0,391489971
y14	4,46463244	2,52296944	2,993029	2,922797	6,072491704	0,735222485	0,415475156	0,492883187	0,481317589

По результатам таблицы 5.3.1, были сделаны следующие выводы:

1. Изменение коэффициента сглаживания от 0,2 до 0,8 с шагом 0,2 при прогнозировании методом экспоненциального сглаживания показало, что наиболее близкие к фактическим прогнозируемые значения достигаются в большинстве случаев при значении =0,2.

2. Наименьшая ошибка прогнозирования методом экспоненциального сглаживания составила 0,130125992, а наибольшая - 81,78887273.

3. Наиболее достоверные результаты, полученные при прогнозировании методом экспоненциального сглаживания по результативным показателям y_j, , представлены в таблице 5.3.2.

Таблица 5.3.2. Наилучшие результаты прогнозирования методом экспоненциального сглаживания

Код	Квартал	Фактическое значение	Прогнозируемое значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению	alpha
y1	1/2005	83098	81561,3	0,268499	0,2
	2/2005	106481	169571,6
	3/2005	238814	218142,3
y2	1/2005	63636	64693,4	0,259429	0,2
	2/2005	85730	134700,4
	3/2005	186906	175173,8
y3	1/2005	3958	4249,84	0,130126	0,2
	2/2005	6161	6901,81
	3/2005	8593	7434,42
y4	1/2005	12950	13568,10	0,30844	0,2
	2/2005	14928	24277,83
	3/2005	37149	30345,18
y5	1/2005	2554	1142,08	0,424015	0,6
	2/2005	2216	4374,69
	3/2005	6166	6882,86
y6	1/2005	1428	-215,322	0,510646	0,2
	2/2005	2487	1220,687
	3/2005	3911	2901,314
y7	1/2005	283	358,425	0,32	0,2
	2/2005	716	532,207
	3/2005	1118	778,259
y8	1/2005	673	543,879	0,2561	0,2
	2/2005	400	613,117
	3/2005	765	656,531
y9	1/2005	47586	32643,5	0,979917	0,2
	2/2005	10864	66747,1
	3/2005	52109	75904,5
y10	1/2005	48991	8613,54	0,798277	0,2
	2/2005	9633	38280,2
	3/2005	54554	38125,9
y11	1/2005	67	6133,17	19,51832	0,2
	2/2005	199	3947,58
	3/2005	444	4072,29
y12	1/2005	465	29843,7	26,0861	0,2
	2/2005	459	3791,2
	3/2005	1071	6416,1
y13	1/2005	139,6605042	121,089	0,313092	0,2
	2/2005	177,7646077	305,379
	3/2005	396,0431177	397,687
y14	1/2005	4,292436975	2,36924	0,415475	0,4
	2/2005	3,699499165	5,44379
	3/2005	10,22553897	6,71059

Результаты сглаживания и прогнозирования для коэффициента сглаживания = 0,2, при котором получены наиболее достоверные результаты прогнозирования y₁ и y₁₃ и для = 0,6, при котором получены наиболее достоверные результаты прогнозирования для y₅, представлены на рис. 5.3.1. - 5.3.3.

Рис. 5.3.1. Прогнозируемое значение выручки (нетто) от продажи товаров, продукции, работ, услуг

Рис. 5.3.2. Прогнозируемое значение прибыли от продаж

Рис. 5.3.3. Прогнозируемое значение дохода на одного работника

Прогнозирование методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего

Прогнозирование на ВДР, в которых наряду с общей тенденцией изменения переменных во времени, требуется учитывать и, так называемую, «сезонную» составляющую, весьма успешно проводится методом Бокса-Дженкинса [2], называемого АРПСС - авторегрессионным и проинтегрированным скользящим средним.

Общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом [2], включает как параметры авторегрессии, так и параметры скользящего среднего. Вводится три типа параметров модели: параметры авторегрессии (p), порядок разности (d), параметры скользящего среднего (q). В обозначениях Бокса и Дженкинса [2] модель записывается как АРПСС (p, d, q). Например, модель (0,1,2) содержит 0 (ноль) параметров авторегрессии (p) и два параметра скользящего среднего (q), которые вычисляются для ряда после взятия разности с лагом 1.

Мультипликативная сезонная АРПСС представляет естественное развитие и обобщение обычной модели АРПСС на ВДР, в которых имеется периодическая сезонная компонента. В дополнении к несезонным параметрам - общей тенденции изменения ВДР, в модель вводятся сезонные параметры для определения лага (устанавливаемого на этапе идентификации модели). Аналогично параметрам простой модели АРПСС, эти параметры называются: сезонная авторегрессия (ps), сезонная разность (ds) и сезонное скользящее среднее (qs). Таким образом, полная сезонная АРПСС может быть записана как АРПСС (p, d, q)(ps, ds, qs). Например, модель (0, 1, 2)(0, 1, 1) включает 0 регулярных параметров авторегрессии, 2 регулярных параметра скользящего среднего и 1 параметр сезонного скользящего среднего. Сезонный лаг, используемый для сезонных параметров, определяется на этапе анализа характеристик ИСД.

Для учета имеющейся авторегрессии требуется выделить элементы, которые последовательно зависят друг от друга. Такую зависимость можно выразить следующей математической зависимостью:

, (5.4.1)

где - константа (свободный член);

- параметры авторегрессии;

- случайное воздействие.

Можно заметить, что каждое наблюдение есть сумма случайной компоненты (случайного воздействия ) и линейной комбинации предыдущих наблюдений.

Результаты прогнозирования методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего представлены в таблицах 35 - 48 приложения 1.

Сводные результаты прогнозирования методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего при изменении интервала сезонности приведены в таблице 5.4.1.

По результатам таблицы 5.4.1, были сделаны следующие основные выводы:

1. Изменение интервала сезонности (Seasonal Lag = 3; 4; 6; 8) при прогнозировании методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего показало, что наиболее близкие прогнозируемые значения к фактическим значениям достигаются в большинстве случаев при значении Seasonal Lag=6.

2. Наименьшая ошибка прогнозирования методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего составила 0,070643338, а наибольшая - 78,14655803.

3. Наиболее точные результаты, полученные при прогнозировании методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, представлены в таблице 5.4.2.

Таблица 5.4.1. Сводная таблица ошибок прогноза при изменении параметра Seasonal Lag

Код	Ошибка прогноза	Среднее значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению
	Seasonal Lag = 3	Seasonal Lag = 4	Seasonal Lag = 6	Seasonal Lag = 8		Seasonal Lag = 3	Seasonal Lag = 4	Seasonal Lag = 6	Seasonal Lag = 8
y1	46474,61891	39049,32	11989,94753	26460,06	142797,6667	0,325457831	0,27345908	0,08396459	0,185297569
y2	41655,7104	23815,43466	13940,08	24734,48194	112090,6667	0,371625146	0,212465813	0,124364368	0,220664955
y3	1121,677531	1275,985453	839,0179399	1114,758949	6237,333333	0,179832866	0,204572272	0,134515488	0,178723645
y4	6369,603852	7326,434238	1531,241457	5082,332101	21675,66667	0,293859651	0,338002718	0,070643338	0,234471778
y5	2337,371948	562,9341764	1378,388796	1183,868058	3645,333333	0,64119567	0,154425981	0,378124212	0,324762635
y6	735,0432271	908,2633089	476,6327079	941,9936854	2608,666667	0,281769701	0,34817147	0,182711235	0,361101592
y7	129,2396622	300,5284023	116,3265935	337,0688531	705,6666667	0,183145483	0,425878699	0,164846377	0,47766016
y8	146,7765349	134,9460847	224,7361612	174,6281152	612,6666667	0,23956997	0,220260204	0,366816368	0,285029568
y9	14472,31684	17932,38083	17857,57454	19884,8689	36853	0,3927039	0,486592159	0,484562303	0,539572596
y10	15264,22032	20293,12173	20320,55941	21574,82296	37726	0,404607441	0,53790812	0,538635408	0,57188207
y11	18494,6854	17021,99555	16057,13	6378,745252	236,6666667	78,14655803	71,92392486	67,8470481	26,95244473
y12	9919,482688	12618,9629	8214,842355	3140,474034	665	14,91651532	18,97588407	12,3531464	4,722517344
y13	85,97	66,65081156	26,60926051	63,12594969	237,8227432	0,361506275	0,280254153	0,111886946	0,265432771
y14	3,75849488	1,097240894	3,717206986	2,505916653	6,072491704	0,618937837	0,18069039	0,612138668	0,412666954

Таблица 5.4.2. Наилучшие результаты прогнозирования методом АРПСС

Код	Квартал	Фактическое значение	Прогнозируемое значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению	Seasonal Lag
y1	1/2005	83098	78300,7	0,08396459	6
	2/2005	106481	91333,3
	3/2005	238814	225442,0
y2	1/2005	63636	52599,8	0,124364368	6
	2/2005	85730	69642,8
	3/2005	186906	172679,9
y3	1/2005	3958	4079,87	0,134515488	6
	2/2005	6161	7376,24
	3/2005	8593	9380,53
y4	1/2005	12950	11372,07	0,070643338	6
	2/2005	14928	17035,74
	3/2005	37149	37467,82
y5	1/2005	2554	2433,69	0,154425981	4
	2/2005	2216	2748,99
	3/2005	6166	6973,55
y6	1/2005	1428	1271,393	0,182711235	6
	2/2005	2487	2354,344
	3/2005	3911	3111,367
y7	1/2005	283	444,804	0,164846377	6
	2/2005	716	833,369
	3/2005	1118	1092,709
y8	1/2005	673	668,6615	0,220260204	4
	2/2005	400	632,8516
	3/2005	765	784,8159
y9	1/2005	47586	41634,55	0,3927039	3
	2/2005	10864	23177,88
	3/2005	52109	31102,04
y10	1/2005	48991	38029,41	0,404607441	3
	2/2005	9633	15372,10
	3/2005	54554	31189,59
y11	1/2005	67	533,59	26,95244473	8
	2/2005	199	4694,88
	3/2005	444	10525,39
y12	1/2005	465	1004,164	4,722517344	8
	2/2005	459	3177,860
	3/2005	1071	5751,260
y13	1/2005	139,6605042	148,9521	0,111886946	6
	2/2005	177,7646077	222,5744
	3/2005	396,0431177	390,5746
y14	1/2005	4,292436975	3,0673	0,18069039	4
	2/2005	3,699499165	2,3334
	3/2005	10,22553897	10,7201

Результаты сглаживания и прогнозирования для интервала сглаживания Seasonal Lag = 6, при котором получены наиболее достоверные результаты прогнозирования y₁ и y₁₃ и для Seasonal Lag = 4, при котором были получены наиболее достоверные результаты прогнозирования для y₅, представлены на рис. 5.4.1 - 5.4.3.

Рис. 5.4.1. Прогнозируемое значение выручки (нетто) от продажи товаров, продукции, работ, услуг

Рис. 5.4.2. Прогнозируемое значение прибыли от продаж

Рис. 5.4.3. Прогнозируемое значение дохода на одного работника

Прогнозирование на нейронных сетях

В последние десятилетия в мире усиленно развивается новая прикладная область математики, специализирующаяся на нейронных сетях (НС) [10]. Нервная система и мозг человека состоят из нейронов, соединенных между собой нервными волокнами. Нервные волокна способны передавать электрические импульсы между нейронами. Все процессы передачи раздражений от нашей кожи, ушей и глаз к мозгу, процессы мышления и управления действиями - все это реализовано в живом организме как передача электрических импульсов между нейронами.

Рассмотрим строение биологического нейрона. Каждый нейрон имеет отростки нервных волокон двух типов - дендриты, по которым принимаются импульсы, и единственный аксон, по которому нейрон может передавать импульс. Аксон контактирует с дендритами других нейронов через специальные образования - синапсы, которые влияют на силу импульса.

Рис. 5.5.1. Строение биологического нейрона

Можно считать, что при прохождении синапса сила импульса меняется в определенное число раз, которое мы будем называть весом синапса. Импульсы, поступившие к нейрону одновременно по нескольким дендритам, суммируются. Если суммарный импульс превышает некоторый порог, нейрон возбуждается, формирует собственный импульс и передает его далее по аксону. Важно отметить, что веса синапсов могут изменяться со временем, а значит, меняется и поведение соответствующего нейрона.

Можно построить математическую модель описанного процесса. На рисунке 5.5.2 изображена модель нейрона с тремя входами (дендритами), причем синапсы этих дендритов имеют веса w₁, w₂, w₃. Пусть к синапсам поступают импульсы силы x₁, x₂, x₃ соответственно, тогда после прохождения синапсов и дендритов к нейрону поступают импульсы w₁x₁, w₂x₂, w₃x₃. Нейрон преобразует полученный суммарный импульс x=w₁x₁+w₂x₂+w₃x₃ в соответствии с некоторой передаточной функцией f(x). Сила выходного импульса равна y=f(x)=f(w₁x₁+w₂x₂+w₃x₃). Таким образом, нейрон полностью описывается своими весами w_i , и передаточной функцией f(x). Получив набор чисел (вектор) x_i на вход, нейрон выдает некоторое число y на выходе, являющееся функцией от входных сигналов.

Рис. 5.5.2. Модель искусственного нейрона с тремя входами и одним выходом

Искусственной нейронной сетью называют некоторое устройство или его программную реализацию, которое состоит из большого количества параллельно работающих процессорных элементов - нейронов, соединенных адаптивными линиями передачи информации - связями или синапсами.

Некоторые входы нейронов помечены как внешние входы сети, а некоторые выходы - как внешние выходы сети. Подавая любые числа на входы сети, мы получаем какой-то набор чисел на выходах сети. Таким образом, работа нейросети состоит в преобразовании входного вектора в выходной вектор, причем это преобразование задается весами сети.

Теперь, когда стало ясно, что именно мы хотим построить, мы можем переходить к вопросу «как строить такую сеть». Этот вопрос решается в два этапа:

1. Выбор типа (архитектуры) сети.

2. Подбор весов (обучение) сети.

На первом этапе следует определить, какие нейроны мы хотим использовать (число входов, передаточные функции), каким образом следует соединить их между собой, что взять в качестве входов и выходов сети.

Эта задача на первый взгляд кажется весьма сложной, но она упрощается, т.к. нам необязательно придумывать нейросеть с нуля - существует несколько десятков различных нейросетевых архитектур, причем эффективность многих из них доказана математически [10]. В данной работе использован наиболее популярный и свободно распространяемый по сети Интернет программный продукт Neuro Pro, представляющий собой менеджер обучаемых искусственных нейронных сетей, работающий в среде MS Windows XP.

Для решения поставленной задачи наиболее подходит многослойная нейронная сеть с последовательными связями, в которой нейроны объединяются в слои. Слой содержит совокупность нейронов с едиными входными сигналами. Число нейронов в слое может быть любым и не зависит от количества нейронов в других слоях. Внешние входные сигналы подаются на входы нейронов входного слоя, а выходами сети являются выходные сигналы последнего слоя. Кроме входного и выходного слоев в многослойной нейронной сети есть один или несколько скрытых (внутренних) слоев.

1. Количество нейронов во входном слое будем менять: 3, 4, 6, 8, т.к. для прогнозирования будем использовать три, четыре, шесть или восемь последних значений.

2. Количество выходов (выходной слой) = 1, значение переменной, следующей за последними тремя, четырьмя, шестью, восемью значениями.

3. Количество нейронов внутреннего слоя. Для более точной аппроксимации и лучшей сходимости ряда возьмем количество скрытых слоев, равное 3, а количество нейронов в каждом из скрытых слоев равное 10 [10].

В качестве активационной функции нейронов скрытых слоев возьмем наиболее часто используемый на практике сигмоид [10], который имеет следующий вид:

. (5.5.1)

Основное достоинство этой функции в том, что она дифференцируема на всей оси абсцисс и имеет сравнительно простую производную:

f'(x)=a*f(x)(1-f(x)). (5.5.2)

Кроме того, она обладает свойство усиливать слабые сигналы лучше, чем большие, и предотвращать насыщение от больших сигналов, т.к. они соответствуют областям аргументов, где сигмоид имеет пологий наклон.

На втором этапе нам следует «обучить» выбранную сеть - значит сообщить ей, чего мы от нее добиваемся. Схематично процесс обучения нейросети представлен на рис 5.5.3.

Рис. 5.5.3. Процесс обучения нейросети

После многократной подачи на вход нейросети обучающих примеров передаточные веса сети стабилизируются, причем сеть дает правильные ответы на все (или почти на все) подаваемые примеры. В таком случае говорят, что «сеть выучила все примеры», «сеть обучена» или «сеть натренирована» [10]. В программных реализациях можно видеть, что в процессе обучения величина ошибки (сумма квадратов ошибок по всем выходам) постепенно уменьшается. Когда величина ошибки достигает нуля или приемлемого малого уровня, тренировку (обучение) заканчивают, а полученную сеть считают натренированной (обученной) и готовой к применению на готовых новых данных.

Важно отметить, что вся информация, которую сеть имеет о задаче, содержится в наборе примеров. Поэтому качество обучения сети напрямую зависит от количества примеров в обучающей выборке, а также от того, насколько полно эти примеры описывают данную задачу.

Объем обучающей выборки зависит от выбранного нами количества входов. Если в качестве входного сигнала взять 20 элементов ВДР, то такая сеть потенциально могла бы строить лучший прогноз, чем сеть с 4 элементами на входе, однако в этом случае мы имеем всего 1 обучающий пример, и обучение скорее всего не даст приемлемого результата. При выборе числа элементов на входе следует учитывать это, выбирая разумный компромисс между глубиной предсказания (число элементов на входе) и количеством обучающих тестов.

В данной работе с целью уменьшения ошибки прогноза была сделана попытка изменения количества входов нейронной сети, которому последовательно присваивались значения 3, 4, 6 и 8.

Прогнозируемые значения, полученные методом прогнозирования в нейронных сетях, представлены в таблицах 49 - 62 приложения 1.

Сводные результаты сглаживания и прогнозирования на нейронных сетях при изменении количества элементов ВДР на входе приведены в таблице 5.5.1.

По результатам таблицы 5.5.1 были сделаны следующие основные выводы:

1. Изменение количества элементов ВДР на входе нейронной сети (3; 4; 6; 8) при прогнозировании на нейронных сетях показало, что наиболее близкие к фактическим значениям прогнозируемые значения в большинстве случаев достигают при количестве элементов ВДР на входе, равное 8.

2. Наименьшая ошибка прогнозирования методом прогнозирования на нейронной сети составила 0,024973516, а наибольшая - 0,822503966.

3. Наиболее достоверные результаты, полученные при прогнози- ровании на нейронных сетях, представлены в таблице 5.5.2.

Таблица 5.5.1. Сводная таблица ошибок прогнозирования на нейронных сетях при изменении количества входов

	Ошибка прогноза			Среднее значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению
	m=3	m=4	m=6	m=8		m=3	m=4	m=6	m=8
y1	24399,05	28977,65	30538,85	13416,8	142797,6667	0,170864455	0,202928001	0,213860975	0,093956708
y2	5410,452	6589,582	8485,828	2903,804	112090,6667	0,048268533	0,058787967	0,075705032	0,025905853
y3	435,042	519,5491	534,8787	388,7276	6237,333333	0,06974808	0,083296673	0,085754388	0,062322722
y4	1639,767	3366,713	830,274	3668,55	21675,66667	0,075650142	0,155322235	0,038304426	0,169247396
y5	255,2573	334,0998	192,2794	280,7089	3645,333333	0,07002304	0,091651361	0,052746718	0,077005003
y6	691,4692	178,9106	405,2752	314,7656	2608,666667	0,265066153	0,068583175	0,15535722	0,120661488
y7	126,5876	57,05587	73,95148	30,40806	705,6666667	0,179387295	0,080853849	0,104796618	0,043091255
y8	95,05992	129,6813	112,5646	79,3617	612,6666667	0,155157654	0,21166693	0,183728958	0,12953488
y9	2667,297	8462,694	7948,174	3155,3	36853	0,072376663	0,229633787	0,215672368	0,085618527
y10	1884,637	4559,888	2469,543	3443,072	37726	0,049955924	0,120868574	0,065459963	0,091265239
y11	194,6593	164,946	91,44185	64,94786	236,6666667	0,822503966	0,696954983	0,386374029	0,274427569
y12	125,4251	174,419	140,3797	117,6735	665	0,188609179	0,262284168	0,211097306	0,176952663
y13	10,56735	20,63144	5,93927	17,36045	237,8227432	0,044433708	0,08675133	0,024973516	0,072997437
y14	0,885226	0,539141	0,296974	0,866815	6,072491704	0,145776426	0,088784191	0,048904877	0,142744513

Таблица 5.5.2. Наилучшие результаты прогнозирования на нейронных сетях

Код	Квартал	Фактическое значение	Прогнозируемое значение	Отношение стандартной ошибки к среднему значению	m
y1	1/2005	83098	71217,83	0,093957	8
	2/2005	106481	124089
	3/2005	238814	229387,9
y2	1/2005	63636	63660,67	0,025906	8
	2/2005	85730	84214,45
	3/2005	186906	182110,3
y3	1/2005	3958	4537,443	0,062323	8
	2/2005	6161	6352,93
	3/2005	8593	8308,859
y4	1/2005	12950	11702,21	0,038304	6
	2/2005	14928	15461,09
	3/2005	37149	37625,34
y5	1/2005	2554	2512,809	0,052747	6
	2/2005	2216	2284,62
	3/2005	6166	5842,722
y6	1/2005	1428	1406,1651	0,068583	4
	2/2005	2487	2182,779
	3/2005	3911	3965,7711
y7	1/2005	283	316,8197	0,043091	8
	2/2005	716	744,9228
	3/2005	1118	1146,1718
y8	1/2005	673	706,2464	0,129535	8
	2/2005	400	422,4973
	3/2005	765	896,4663
y9	1/2005	47586	59847,16	0,229634	4
	2/2005	10864	14742,84
	3/2005	52109	45075,5
y10	1/2005	48991	54529,59	0,120869	4
	2/2005	9633	6710,218
	3/2005	54554	59366,39
y11	1/2005	67	143,46	0,274428	8
	2/2005	199	211,64
	3/2005	444	362,46
y12	1/2005	465	624,463	0,176953	8
	2/2005	459	562,463
	3/2005	1071	997,46
y13	1/2005	139,6605042	148,364	0,024974	6
	2/2005	177,7646077	182,544
	3/2005	396,0431177	393,354
y14	1/2005	4,292436975	138,5463	0,048905	6
	2/2005	3,699499165	186,346
	3/2005	10,22553897	367,246

Результаты сглаживания и прогнозирования , при котором получены лучшие значения y_j , представлены на рис. 5.5.1. - 5.5.14.

Рис. 5.5.1. Прогнозируемое значение выручки (нетто) от продажи товаров, продукции, работ, услуг

Рис. 5.5.2. Прогнозируемое значение себестоимости проданных товаров, продукции, работ, услуг

Рис. 5.5.3. Прогнозируемое значение коммерческих расходов

Рис. 5.5.4. Прогнозируемое значение управленческих расходов

Рис. 5.5.5. Прогнозируемое значение прибыли от продаж

Рис. 5.5.6. Прогнозируемое значение прибыли до налогообложения

Рис. 5.5.7. Прогнозируемое значение текущего налога на прибыль

Рис. 5.5.8. Прогнозируемое значение процентов к получению

Рис. 5.5.9. Прогнозируемое значение прочих операционных доходов

Рис. 5.5.10. Прогнозируемое значение прочих операционных расходов

Рис. 5.5.11. Прогнозируемое значение внереализационных доходов

Рис. 5.5.12. Прогнозируемое значение внереализационных расходов

Рис. 5.5.13. Прогнозируемое значение дохода на одного работника

Рис. 5.5.14. Прогнозируемое значение прибыли на одного работника

Предварительная оценка результатов прогнозирования в системе координат

На практике часто возникает необходимость заранее предсказывать ошибку прогноза, которая будет получена при применении того или иного метода прогнозирования. Для этой цели целесообразно использовать эмпирические распределения, которые позволяют получить аппроксимации в тех случаях, когда некоторые моменты распределения определены теоретически, а точное распределение неизвестно. Меррингтон и Пирсон [19] для подбора распределения предложили использовать области в плоскости (), где по оси x откладывается - квадрат нормированного показателя асимметрии, а по оси y откладывается - нормированный показатель островершинности.

Квадрат нормированного показателя вычисляется по формуле

, (5.6.1)

где - дисперсия (второй центральный момент), который можно определить по формуле

, (5.6.2)

- третий центральный момент, который можно определить по формуле

. (5.6.3)

Нормированный показатель островершинности вычисляется по формуле

, (5.6.4)

где

- четвертый центральный момент, определяемый по формуле

, (5.6.5)

В формулах (5.6.2) - (5.6.3), (5.6.5) величины , , - начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядка соответственно; их можно вычислить по формулам:

,

, (5.6.6)

,

.

Величина измеряет отношение асимметрии распределения к мере рассеяния. Этот нормированный показатель позволяет сравнивать асимметрию двух распределений, имеющих различный масштаб. Величина является относительным показателем эксцесса.

Мною предложено проводить предварительный анализ ВДР, вычисляя значения и и по этим значениям заранее оценивать ошибку прогноза, которая при этом будет получена.

Для обеспечения корректности получаемых результатов предлагается методика, которая включает в себя три этапа:

1. Вычисление величин и по ВДР;

2. Получение уравнений регрессии, представляющих собой зависимости ошибки прогноза от величин и ;

3. Построение графика .

Результаты вычисления и приведены в таблице 5.6.1.

В таблице 5.6.1 z₁ - отношение стандартной ошибки к среднему значению, полученное при прогнозировании методом скользящего среднего; z₂ - отношение стандартной ошибки к среднему значению, полученное при прогнозировании методом экспоненциального сглаживания; z₃ - отношение стандартной ошибки к среднему значению, полученное при прогнозирование методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего; z₄ - отношение стандартной ошибки к среднему значению, полученное при прогнозировании на нейронных сетях.

График приведен на рисунке 5.6.1.

Таблица 5.6.1. Вычисленные значения и

j	Основные статистические характеристики ВДР	Отношение ошибки прогноза к среднему значению
				aj	ej			z1	z2	z3	z4
1	202405	145940	0,72103	0,77933	-0,6412	0,525846	2,23471	0,425619863	0,268499171	0,192299	0,093957
2	168375	126916	0,75377	0,83800	-0,5096	0,607998	2,338236	0,582976972	0,259428967	0,375303	0,025906
3	5010	3410	0,680639	1,45767	2,79648	1,839643	4,93926	0,235388066	0,130125992	0,18705	0,062323
4	20808	15359	0,73813	0,88272	-0,0993	0,67462	2,660973	0,496375532	0,308439948	0,131538	0,038304
5	8636	8935	1,034623	2,02198	5,06240	3,539729	6,721968	0,424243204	0,424015193	0,251606	0,052747
6	3398	3385	0,996174	1,39571	1,29295	1,686586	3,756355	0,265790571	0,510646461	0,327121	0,068583
7	1001	1116	1,114885	1,61975	1,91172	2,271501	4,243177	0,529258772	0,321999767	0,683927	0,043091
8	193	290	1,502591	1,52757	0,95457	2,02031	3,490141	0,260025866	0,256100193	0,283076	0,129535
9	28307	27997	0,989049	1,24468	1,07042	1,341323	3,581284	0,472606146	0,979917262	0,539508	0,229634
10	30925	30878	0,99848	1,47047	1,90955	1,8721	4,241468	0,499967477	0,798277021	0,565365	0,120869
11	8326	13769	1,653735	1,41256	0,35724	1,727545	3,020188	68,36838773	19,51832489	38,37432	0,274428
12	11266	15188	1,348127	0,96759	-0,7374	0,810588	2,159006	20,50273748	26,08609931	9,844684	0,176953
13	408	292	0,715686	0,69944	-0,7681	0,423562	2,134824	0,588150888	0,313092341	0,406331	0,024974
14	17	17	1	1,66467	3,45370	2,399239	5,45633	0,424349043	0,415475156	0,554825	0,048905

Далее приведены полученные уравнения регрессии для z₁ - z₄:

(5.6.7)

(5.6.8)

(5.6.9)

(5.6.10)

Ввиду того, что наилучшие результаты прогнозирования были получены при прогнозировании на нейронных сетях, далее приведен график зависимости для уравнения (5.6.10).

Рис. 5.6.1. График

Таким образом, предварительный анализ ВДР позволяет заранее оценить ошибку прогноза по вычисленным значениям и .

Продемонстрируем это на примере результативного показателя y₁₃. По таблице 5.6.1 находим, что значения и равны соответственно 0,423562 и 2,134824.

Точка с координатами (0,423562; 2,134824) на рисунке 5.6.1 лежит между прямыми, соответствующими значениям z₄=0,025 и z₄=0,05. Следовательно, можно сделать выводы о том, что ошибка прогноза будет лежать в интервале [0,025; 0,05], что не противоречит результату, полученному после прогнозирования, ошибка прогноза на нейронных сетях для y₁₃ составила 0,024974.

Нужно отметить недостаток предложенного метода. Этим недостатком является наличие зоны неопределенности, для которой невозможно заранее оценить ошибку прогноза, хотя прогнозирование можно проводить и в этом случае. Это объясняется сравнительно небольшим количеством прогнозируемых значений.

Можно надеяться, что с увеличением количества оцениваемых переменных результаты будут охватывать большую область.

При проведении временного прогнозирования получены следующие основные результаты:

1. Проведено сглаживание и прогнозирование результативных показателей эффективности функционирования предприятия. Для сглаживания и прогнозирования использованы поквартальные значения результативных показателей эффективности с первого квартала 2000 года по четвертый квартал 2004 года. Проведено прогнозирование на четыре квартала 2005 года. Оценка достоверности произведена по фактическим значениям результативных показателей по трем первым кварталам 2005 года. Применены методы скользящего среднего, экспоненциальный, авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего и на нейронных сетях. Лучшие результаты получены при прогнозировании на нейронных сетях, затем по убыванию качества следует метод авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, затем экспоненциальный и скользящего среднего. При прогнозировании на нейронной сети отношение стандартной ошибки прогноза к среднему прогнозируемому значению для 14 результативных показателей лежит в диапазоне от 0,025 до 0,274, что следует считать вполне приемлемым для практического использования. Прогнозирование позволяет выявить нежелательные тенденции в изменении состояния предприятия и предотвратить их принятием соответствующих управленческих решений.

2. Разработан алгоритм, позволяющий по основным статистическим характеристикам ВДР вычислить стандартную ошибку прогнозирования для четырех методов. Построен график, который наглядно отображает зависимость стандартной ошибки прогноза в системе координат по оси x и по оси y , где - оценка дисперсии; а - асимметрия и э - эксцесс, вычисленные по значениям ВДР.

Размещено на Allbest.ru