Временные динамические ряды. Сглаживание. Прогнозирование
Характеристика основных показателей динамики временных динамических рядов, а также методов их сглаживания и прогнозирования. Временное прогнозирование результативных показателей эффективности функционирования предприятия и оценка его результатов.
Рубрика | Математика |
Вид | лекция |
Язык | русский |
Дата добавления | 06.09.2017 |
Размер файла | 562,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Временные динамические ряды. Сглаживание. Прогнозирование
1. ВДР
2. Сглаживание
3. Прогнозирование
Временные ряды
Временными динамическими рядами (ВДР) называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого процесса (явления) во времени.
В качестве фактора в ВДР используются либо даты, либо интервалы времени. В качестве отклика - количественные показатели развития изучаемого процесса во времени.
Основная цель статистического изучения временных динамических рядов (ВДР) состоит в выявлении и оценивании закономерностей их развития.
Основные показатели динамики ВДР
1. Базисный абсолютный прирост (спад) - вычисляется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, принятым за базу сравнения :
2. Цепной абсолютный прирост (спад) - вычисляется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, который ему предшествует:
3. Базисный темп роста, вычисляется делением сравниваемого уровня на уровень, принятый за базу:
4. Цепной темп роста, вычисляется делением сравниваемого уровня на предыдущий:
5. Базисный темп прироста - вычисляется делением базисного абсолютного прироста на уровень, принятый за базу сравнения:
6. Цепной темп прироста - вычисляется как отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню:
7. Средний уровень ВДР (оценка математического ожидания):
§ для интервального ряда:
§ для моментного ряда с равностоящими датами:
§ для момента ряда с неравностоящими датами:
8. Средний абсолютный прирост:
9. Средний темп роста:
10. Средний темп прироста:
Проверка гипотезы о существовании тенденции
1. Проверка разности средних уровней:
Разбиваем анализируемый ряд на две примерно одинаковые выборки, каждая из которых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная совокупность.
Принимаем допущение, что выделенные выборки подчиняются нормальному закону (можно проверить в ППП Statistica). Воспользуемся методикой, разработанной для малых выборок.
Находим средние значения для левой выборки и правой выборки . Примем допущение об однородности дисперсий. Проверка производится по F-критерию Фишера
(где )
число степеней свободы и ;
Принимаем уровень значимости по рекомендации ; если , то гипотезу не отвергаем. В этом случае можно проводить дальнейшую проверку. Выдвигаем гипотезу о равенстве средних и находим критерий Стьюдента:
,
где S - среднее квадратическое отклонение разности средних.
При уровне значимости находим критическое значение критерия Стьюдента для количества степеней свободы;
Если , то гипотеза о равенстве средних отвергается. В этом случае можно проводить прогнозирование.
2. Метод Фостера-Стюарта
Вводятся переменные и , которые находятся сравнением по всем уровням. Переменная принимает значение 1, в случае если сравниваемое значение превышает все предыдущие значения ряда, и 0 в остальных случаях.
;
Переменная принимает значение 1, в случае если сравниваемое значение меньше всех предыдущих значений ряда, и 0 в остальных случаях.
;
Вычисляем:
Показатели и имеют независимые нормальные распределения и существенно зависят от порядка расположения уровней во времени.
Показатель используется для обнаружения тенденций в средней
Показатель используется для обнаружения тенденций в дисперсии ,
где - математическое ожидание величины , определённое для случайного расположения уровней во времени, берётся по таблице; - средняя квадратическая ошибка величины :
- средняя квадратическая ошибка величины :
Сглаживание
Суть сглаживания сводится к замене фактических уровней ВДР расчётными, имеющими меньшие колебания, чем исходные данные.
На практике наиболее часто используют следующие методы:
1. Скользящих средних
2. Взвешенных скользящих средних
3. Экспоненциальный
1. Метод скользящих средних
Выбирается интервал сглаживания - нечётное число , где может меняться как целочисленное значение 1, 2, 3…и расчёт производится для центра интервала:
Так как каждый раз мы добавляем 1 новый член и 1 вычитаем, то другая запись в виде скользящей средней:
Три свойства скользящих средних
1. Уменьшение нерегулярности колебаний в ряде
2. Чем больше , тем больше сглаживание
3. Смещение сглаженных значений
4. Пропадание начальных и конечных значений ряда (концы таблиц)
5. Если требуется сгладить циклические ВДР, то интервал берётся равным или кратным циклу.
Для того, чтобы не пропадали крайние точки, используют сглаживающие формулы:
при
, ;
Для крайних значений:
при
, ;
Для крайних значений:
****
****
2. Взвешенные скользящие средние
Для устранения недостатков предыдущего метода по смещению экстремальных значений (пиков) и потере мелких колебаний используют взвешенные скользящие, в которых каждой переменной, участвующей в сглаживании придается удельный вес, соответствующий её положению относительно вычисляемого значения.
(Этот вес определяется МНК с требованием, чтобы сумма квадратов отклонений вычисленных значений от исходных была минимальной.) необязательная фраза.
для :
для :
3. Экспоненциальные средние
Основа: чем ближе переменная находится к расчётной точке, тем сильнее она должна на неё влиять.
,
где - коэффициент сглаживания, характеризующий вес текущего наблюдения, .
Средняя формируется под влиянием всех предыдущих значений, но вес каждого из них с каждым шагом уменьшается в раз, т. е. для расчётного значения это ; ближайшая переменная ; затем и т. д.… …
Прогнозирование
Для прогнозирования можно использовать методы, рассмотренные нами для сглаживания.
1. Метод скользящего среднего для прогнозирования значений, выходящих за ВДР из чисел, например для :
2. Метод взвешенного скользящего среднего
3. Экспоненциальное прогнозирование
4. Метод Бокса-Дженкинса (процедура ARIMA) (АРПСС).
Зависимость прогнозируемых значений рассматривается в виде составляющей из двух переменных.
AR - авторегрессионный процесс - т. е. зависимость от своих прошлых значений.
MA - как скользящее среднее текущего и предыдущих значений случайных членов.
ARIMA процесс,
- порядок AR-части;
- порядок MA-части;
- порядок разностей, взятых из исходного ряда для достижения его стационарности.
ARIMA по Боровикову В.
- регулярный параметр авторегрессии;
- сезонный параметр авторегрессии;
- регулярный параметр скользящего среднего;
- сезонный параметр скользящего среднего.
лать заключение о его успешном функционировании.
Временное прогнозирование результативных показателей эффективности функционирования ОАО «ICL - КПО ВС»
Статистические методы прогнозирования
В данной работе реализован стандартный подход к прогнозированию, основанный на оценке показателей, непосредственно влияющих на результат прогноза по принципу «дальше, как раньше» [18].
Рассматриваются статистические методы прогнозирования, которые получили наибольшее распространение на практике - определение зависимости между элементами временного динамического ряда (ВДР) на основе предыдущих значений и переноса этих зависимостей на будущее. Выбор сделан в их пользу в силу того, что они опираются на аппарат статистического анализа, практика применения которого имеет достаточно длительную историю [1, 6].
Наиболее распространенным и простым путем выявления тенденции развития и прогнозирования на ее основе является сглаживание или механическое выравнивание динамического ряда.
Суть различных приемов, с помощью которых осуществляется сглаживание и прогнозирование, сводится к замене фактических уровней ВДР yj, расчетными , , имеющими значительно меньшую изменяемость, чем исходные данные. Уменьшение изменяемости позволяет тенденции общего развития проявить себя более отчетливо. В ряде случаев сглаживание ряда может рассматриваться как важное вспомогательное средство, облегчающее применение других методов статистической обработки данных [1].
Как правило, после сглаживания производят прогнозирование со значениями , . В некоторых работах [18] рекомендуется, чтобы интервал прогнозирования не превышал одной трети количества имеющихся значений прогнозируемого ВДР, т.е.
(5.1.1)
Возьмем первые 20 значений имеющихся ВДР за 2000-2004 г за интервал времени для прогнозирования, тогда r - n требуется взять не более 6 кварталов, т.е. полтора года. Будем прогнозировать деятельность предприятия на четыре квартала 2005 года, т.е. r = 24 и т.к. на первые три квартала из них q = 3 имеются фактические данные, то их будем использовать для оценки качества прогнозирования. Его будем оценивать по формуле:
, (5.1.2)
где yij - фактическое значение j-ой переменной на i-ом интервале времени;
- среднее значение по фактическим данным, вычисляемое по формуле:
. (5.1.3)
Наиболее конструктивный показатель, не зависящий от размерности элементов ВДР по отношению стандартной ошибки к среднему прогнозируемому значению
(5.1.4)
Отметим, что в инженерной практике стандартная ошибка вычисляется по другой формуле. Приведём её:
.
В данной работе для вычисления стандартной ошибки использована формула (5.1.2).
Проведём прогнозирование тремя известными и применяемыми на практике методами прогнозирования [1]: скользящего среднего, экспоненциальным и авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, по которым имеются стандартные процедуры прогнозирования в ППП Excel 2003 [13] и Statistica 6.0. [5]. Дополнительно проведем прогнозирование на нейронной сети Neuro Pro и сравним результаты прогнозирования по этим четырем методам.
Сглаживание и прогнозирование методом скользящего среднего
Метод скользящего среднего (СС) является наиболее простым из известных методов, он позволяет сгладить периодические и случайные колебания в ВДР и тем самым выявить наличие имеющейся тенденции его изменения. В центрированном сглаживании данные усредняются слева и справа от выбранной точки. Такой вид сглаживания имеет существенный недостаток: сигнал об изменении тенденции существенно запаздывает во времени. Однако необходимо как можно раньше определить момент изменения тенденции, чему способствует использование нецентрированного СС. В существующих ППП [5,13] для сглаживания и прогнозирования применяется нецентрированное СС.
В нецентрированном СС усредненная величина заменяет не центральный член интервала усреднения, а его последний член
, (5.2.1),
где yi - фактическое значение переменной на i-ом интервале времени;
- сглаженное, или спрогнозированное значение переменной на j-ом интервале времени;
m - интервал усреднения.
Для прогнозирования, начиная со значения n+1 и по r, спрогнозированные значения вычисляются по формуле
. (5.2.2)
Сводные результаты сглаживания и прогнозирования методом скользящего среднего при изменении интервала сглаживания m приведены в таблице 5.2.1.
По результатам таблицы 5.2.1 были сделаны следующие выводы:
1. Изменение фактора сглаживания m: 3, 5, 7, 9 с целью выявления наилучшего значения, обеспечивающего минимальную ошибку прогнозирования, существенных результатов по улучшению достоверности не дало. Для каждого показателя деятельности предприятия наилучшие спрогнозированные значения были получены при различных значениях интервала усреднения.
2. Наименьшая ошибка прогнозирования методом скользящего среднего составила 0,235388066, наибольшее значение ошибки прогнозирования - 68,36838773.
3. Лучшие результаты прогнозирования методом скользящего среднего приведены в таблице 5.2.2.
Таблица 5.2.1. Сводная таблица ошибок прогноза при изменении параметра m
Код |
Ошибка прогноза |
Среднее значение |
Отношение стандартной ошибки к среднему значению |
|||||||
m=3 |
m=5 |
m=7 |
m=9 |
m=3 |
m=5 |
m=7 |
m=9 |
|||
y1 |
60777,52327 |
78801,4937 |
100870,9 |
84564,5 |
142797,6667 |
0,425619863 |
0,551840205 |
0,706390539 |
0,592198062 |
|
y2 |
105234,0577 |
66755,5734 |
79183,36 |
65346,28 |
112090,6667 |
0,938829796 |
0,595549793 |
0,706422444 |
0,582976972 |
|
y3 |
3158,40561 |
1647,33399 |
1989,803 |
1468,194 |
6237,333333 |
0,506371143 |
0,264108698 |
0,319015081 |
0,235388066 |
|
y4 |
15439,08137 |
10759,2706 |
14191,6 |
12037,04 |
21675,66667 |
0,712277118 |
0,496375532 |
0,654725148 |
0,555324792 |
|
y5 |
1546,507894 |
1601,37733 |
5763,453 |
6631,376 |
3645,333333 |
0,424243204 |
0,43929517 |
1,581049762 |
1,81914113 |
|
y6 |
1615,945016 |
693,359003 |
1366,403 |
898,5244 |
2608,666667 |
0,619452472 |
0,265790571 |
0,523793483 |
0,344438177 |
|
y7 |
955,030715 |
509,144498 |
517,6526 |
373,48 |
705,6666667 |
1,35337371 |
0,7215085 |
0,73356538 |
0,529258772 |
|
y8 |
186,9580068 |
166,191616 |
159,3092 |
235,1568 |
612,67 |
0,305154527 |
0,271259439 |
0,260025866 |
0,383825069 |
|
y9 |
19408,54989 |
17416,9543 |
18885,03 |
19457,92 |
36853 |
0,52664776 |
0,472606146 |
0,512442125 |
0,527987279 |
|
y10 |
20178,76 |
18861,773 |
20389,55 |
20910,41 |
37726 |
0,534876848 |
0,499967477 |
0,540464231 |
0,554270455 |
|
y11 |
16180,51843 |
21135,1669 |
20422,66 |
18790,70 |
236,6666667 |
68,36838773 |
89,30352225 |
86,29291756 |
79,39731151 |
|
y12 |
13634,32043 |
19178,1621 |
22971,09 |
24010,34 |
665 |
20,50273748 |
28,83934148 |
34,54298844 |
36,10576784 |
|
y13 |
214,8190544 |
139,875658 |
181,888 |
156,4402 |
237,8227432 |
0,903273806 |
0,588150888 |
0,764805069 |
0,657801759 |
|
y14 |
2,576856041 |
2,60473278 |
10,55362 |
12,48477 |
6,072491704 |
0,424349043 |
0,428939701 |
1,737938657 |
2,055954619 |
Таблица 5.2.2. Результаты прогнозирования методом скользящего среднего с минимальными значениями ошибок прогнозирования
Код переменной |
Квартал |
Фактическое значение |
Прогнозируемое значение |
Отношение стандартной ошибки к среднему значению |
m |
|
y1 |
1/2005 |
83098 |
237165,6667 |
0,425619863 |
3 |
|
2/2005 |
106481 |
222477,3333 |
||||
3/2005 |
238814 |
142797,6667 |
||||
y2 |
1/2005 |
63636 |
150601,8889 |
0,582976972 |
9 |
|
2/2005 |
85730 |
154314,6667 |
||||
3/2005 |
186906 |
163593,2222 |
||||
y3 |
1/2005 |
3958 |
5858 |
0,235388066 |
9 |
|
2/2005 |
6161 |
6353,333333 |
||||
3/2005 |
8593 |
6913,777778 |
||||
y4 |
1/2005 |
12950 |
24837,4 |
0,496375532 |
5 |
|
2/2005 |
14928 |
26756,4 |
||||
3/2005 |
37149 |
29021 |
||||
y5 |
1/2005 |
2554 |
2880,666667 |
0,424243204 |
3 |
|
2/2005 |
2216 |
3061,333333 |
||||
3/2005 |
6166 |
3645,333333 |
||||
y6 |
1/2005 |
1428 |
2431,8 |
0,265790571 |
5 |
|
2/2005 |
2487 |
2886,8 |
||||
3/2005 |
3911 |
3386,8 |
||||
y7 |
1/2005 |
283 |
887,8888889 |
0,529258772 |
9 |
|
2/2005 |
716 |
930,3333333 |
||||
3/2005 |
1118 |
1036,555556 |
||||
y8 |
1/2005 |
673 |
468,2857143 |
0,260025866 |
7 |
|
2/2005 |
400 |
521,2857143 |
||||
3/2005 |
765 |
625,2857143 |
||||
y9 |
1/2005 |
47586 |
30194,4 |
0,472606146 |
5 |
|
2/2005 |
10864 |
31269 |
||||
3/2005 |
52109 |
38280,8 |
||||
y10 |
1/2005 |
48991 |
30427 |
0,499967477 |
5 |
|
2/2005 |
9633 |
31182,8 |
||||
3/2005 |
54554 |
38482,8 |
||||
y11 |
1/2005 |
67 |
24527,66667 |
68,36838773 |
3 |
|
2/2005 |
199 |
13876 |
||||
3/2005 |
444 |
236,6666667 |
||||
y12 |
1/2005 |
465 |
21483,33333 |
20,50273748 |
3 |
|
2/2005 |
459 |
11217,66667 |
||||
3/2005 |
1071 |
665 |
||||
y13 |
1/2005 |
139,6605042 |
321,453728 |
0,588150888 |
5 |
|
2/2005 |
177,7646077 |
333,7849497 |
||||
3/2005 |
396,0431177 |
359,9255947 |
||||
y14 |
1/2005 |
4,292436975 |
4,93971937 |
0,424349043 |
3 |
|
2/2005 |
3,699499165 |
5,200760323 |
||||
3/2005 |
10,22553897 |
6,072491704 |
Результаты сглаживания и прогнозирования для интервала усреднения m = 3, при котором получены лучшие результаты для y1 и y2 и для m = 5, при котором получены лучшие результаты для y13, представлены на рис. 5.2.1-5.2.3.
Рис. 5.2.1. Прогнозируемое значение выручки (нетто) от продажи товаров, продукции, работ, услуг
Рис. 5.2.2. Прогнозируемое значение прибыли от продаж
Рис. 5.2.3. Прогнозируемое значение дохода на одного работника
Экспоненциальное сглаживание и прогнозирование
В основу экспоненциального сглаживания и прогнозирования положен принцип введения различных удельных весов для усредняемых значений ВДР, так называемый принцип «взвешивания». Чем дальше отстоит элемент ВДР от точки сглаживания или прогнозирования, тем меньшее влияние на вычисляемый элемент он должен иметь. Таким образом, влияние прошлых наблюдений должно затухать по мере удаления от момента, для которого определяется средняя. Поставленная задача может быть решена с помощью применения специальной системы весов, а именно информации приписывается вес, соответствующий степени ее новизны.
Один из простейших приемов сглаживания ряда с учетом «устаревания» данных заключается в расчете специальных показателей, получивших название экспоненциальных средних.
Экспоненциальная средняя
, (5.3.1)
где - экспоненциальная средняя (сглаженное значение уровня ряда) на момент j;
yj - фактическое значение на момент времени j;
- коэффициент сглаживания, характеризующий вес текущего наблюдения при расчете экспоненциальной средней, .
Средняя формируется под влиянием всех предыдущих значений, но вес каждого из них с каждым шагом уменьшается в (1 - ) раз, т.е. для расчетного значения это ; ближайшая переменная (1 - ); затем (1-)2 и т.д..., для i-го элемента (1 - )i…
; (5.3.2)
;
;
.
Очевидно, результат сглаживания зависит от коэффициента сглаживания - . Если равно 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если равно 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения между 0 и 1 дают промежуточные результаты.
Соответственно этому выражению средний уровень ряда на момент времени j равен линейной комбинации двух величин: фактического уровня для этого же момента и среднего уровня, рассчитанного для предыдущего периода. Таким образом, средняя здесь формируется под влиянием всех предшествующих уровней ряда от его начала и до момента времени j включительно. временный ряд сглаживание прогнозирование
Следовательно, средняя для момента времени j представляет собой линейную комбинацию значений всех наблюдений от y1 до yj.
При расчете прогнозируемых значений ВДР методом экспоненциального сглаживания используется следующая формула:
(5.3.3)
В дополнении к простому экспоненциальному сглаживанию, были предложены более сложные модели, включающие сезонную компоненту и тренд. Общая идея таких моделей состоит в том, что прогнозы вычисляются не только по предыдущим значениям (как в простом экспоненциальном сглаживании), но и с некоторыми задержками, что позволяет независимо оценить тренд и сезонную составляющую.
Экспоненциальное сглаживание и прогнозирование проведено с помощью ППП Statistica 6.0 [6].
Сводные результаты сглаживания и прогнозирования методом экспоненциального сглаживания при изменении параметра приведены в таблице 5.3.1.
Таблица 5.3.1. Сводная таблица ошибок прогноза при изменении параметра alpha (delta=0,100; lag=4)
Код |
Ошибка прогноза |
Среднее значение |
Отношение стандартной ошибки к среднему значению |
|||||||
alpha=0,2 |
alpha=0,4 |
alpha=0,6 |
alpha=0,8 |
alpha=0,2 |
alpha=0,4 |
alpha=0,6 |
alpha=0,8 |
|||
y1 |
38341,0552 |
42085,5413 |
48242,96 |
54720,48 |
142797,6667 |
0,268499171 |
0,294721491 |
0,337841355 |
0,383202922 |
|
y2 |
29079,5659 |
34037,9663 |
41381,09 |
48127,33 |
112090,6667 |
0,259428967 |
0,303664589 |
0,369175164 |
0,429360727 |
|
y3 |
811,639186 |
1388,67414 |
2077,875 |
2631,703 |
6237,33 |
0,130125992 |
0,222639077 |
0,333135182 |
0,421927592 |
|
y4 |
6685,6415 |
7109,65678 |
7469,075 |
7888,403 |
21675,66667 |
0,308439948 |
0,328001758 |
0,344583404 |
0,363928978 |
|
y5 |
2303,93178 |
1663,40198 |
1545,68 |
3237,102 |
3645,33 |
0,632022252 |
0,45630998 |
0,424015193 |
0,888012577 |
|
y6 |
1332,1064 |
1479,26759 |
1458,08 |
1421,655 |
2608,666667 |
0,510646461 |
0,567058879 |
0,558936934 |
0,544973636 |
|
y7 |
227,224502 |
229,372177 |
381,5196 |
551,6347 |
705,6666667 |
0,321999767 |
0,325043236 |
0,540651326 |
0,78172141 |
|
y8 |
156,904051 |
281,977886 |
311,2799 |
271,1022 |
612,6666667 |
0,256100193 |
0,460246822 |
0,508073904 |
0,442495466 |
|
y9 |
420304,804 |
36112,8909 |
44832,28 |
84275,83 |
36853 |
11,40490065 |
0,979917262 |
1,216516356 |
2,286810484 |
|
y10 |
30115,7989 |
31271,5872 |
33697,3 |
36463,81 |
37726 |
0,798277021 |
0,828913407 |
0,893211691 |
0,966543289 |
|
y11 |
19356,6999 |
14607,9703 |
8682,66 |
4619,337 |
236,6666667 |
81,78887273 |
61,72381808 |
36,68729565 |
19,51832489 |
|
y12 |
23410,9955 |
19330,226 |
17347,26 |
19096,68 |
665 |
35,20450448 |
29,06800896 |
26,08609931 |
28,7168064 |
|
y13 |
74,4604795 |
77,5113267 |
85,90946 |
93,10522 |
237,8227432 |
0,313092341 |
0,325920581 |
0,361233168 |
0,391489971 |
|
y14 |
4,46463244 |
2,52296944 |
2,993029 |
2,922797 |
6,072491704 |
0,735222485 |
0,415475156 |
0,492883187 |
0,481317589 |
По результатам таблицы 5.3.1, были сделаны следующие выводы:
1. Изменение коэффициента сглаживания от 0,2 до 0,8 с шагом 0,2 при прогнозировании методом экспоненциального сглаживания показало, что наиболее близкие к фактическим прогнозируемые значения достигаются в большинстве случаев при значении =0,2.
2. Наименьшая ошибка прогнозирования методом экспоненциального сглаживания составила 0,130125992, а наибольшая - 81,78887273.
3. Наиболее достоверные результаты, полученные при прогнозировании методом экспоненциального сглаживания по результативным показателям yj, , представлены в таблице 5.3.2.
Таблица 5.3.2. Наилучшие результаты прогнозирования методом экспоненциального сглаживания
Код |
Квартал |
Фактическое значение |
Прогнозируемое значение |
Отношение стандартной ошибки к среднему значению |
alpha |
|
y1 |
1/2005 |
83098 |
81561,3 |
0,268499 |
0,2 |
|
2/2005 |
106481 |
169571,6 |
||||
3/2005 |
238814 |
218142,3 |
||||
y2 |
1/2005 |
63636 |
64693,4 |
0,259429 |
0,2 |
|
2/2005 |
85730 |
134700,4 |
||||
3/2005 |
186906 |
175173,8 |
||||
y3 |
1/2005 |
3958 |
4249,84 |
0,130126 |
0,2 |
|
2/2005 |
6161 |
6901,81 |
||||
3/2005 |
8593 |
7434,42 |
||||
y4 |
1/2005 |
12950 |
13568,10 |
0,30844 |
0,2 |
|
2/2005 |
14928 |
24277,83 |
||||
3/2005 |
37149 |
30345,18 |
||||
y5 |
1/2005 |
2554 |
1142,08 |
0,424015 |
0,6 |
|
2/2005 |
2216 |
4374,69 |
||||
3/2005 |
6166 |
6882,86 |
||||
y6 |
1/2005 |
1428 |
-215,322 |
0,510646 |
0,2 |
|
2/2005 |
2487 |
1220,687 |
||||
3/2005 |
3911 |
2901,314 |
||||
y7 |
1/2005 |
283 |
358,425 |
0,32 |
0,2 |
|
2/2005 |
716 |
532,207 |
||||
3/2005 |
1118 |
778,259 |
||||
y8 |
1/2005 |
673 |
543,879 |
0,2561 |
0,2 |
|
2/2005 |
400 |
613,117 |
||||
3/2005 |
765 |
656,531 |
||||
y9 |
1/2005 |
47586 |
32643,5 |
0,979917 |
0,2 |
|
2/2005 |
10864 |
66747,1 |
||||
3/2005 |
52109 |
75904,5 |
||||
y10 |
1/2005 |
48991 |
8613,54 |
0,798277 |
0,2 |
|
2/2005 |
9633 |
38280,2 |
||||
3/2005 |
54554 |
38125,9 |
||||
y11 |
1/2005 |
67 |
6133,17 |
19,51832 |
0,2 |
|
2/2005 |
199 |
3947,58 |
||||
3/2005 |
444 |
4072,29 |
||||
y12 |
1/2005 |
465 |
29843,7 |
26,0861 |
0,2 |
|
2/2005 |
459 |
3791,2 |
||||
3/2005 |
1071 |
6416,1 |
||||
y13 |
1/2005 |
139,6605042 |
121,089 |
0,313092 |
0,2 |
|
2/2005 |
177,7646077 |
305,379 |
||||
3/2005 |
396,0431177 |
397,687 |
||||
y14 |
1/2005 |
4,292436975 |
2,36924 |
0,415475 |
0,4 |
|
2/2005 |
3,699499165 |
5,44379 |
||||
3/2005 |
10,22553897 |
6,71059 |
Результаты сглаживания и прогнозирования для коэффициента сглаживания = 0,2, при котором получены наиболее достоверные результаты прогнозирования y1 и y13 и для = 0,6, при котором получены наиболее достоверные результаты прогнозирования для y5, представлены на рис. 5.3.1. - 5.3.3.
Рис. 5.3.1. Прогнозируемое значение выручки (нетто) от продажи товаров, продукции, работ, услуг
Рис. 5.3.2. Прогнозируемое значение прибыли от продаж
Рис. 5.3.3. Прогнозируемое значение дохода на одного работника
Прогнозирование методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего
Прогнозирование на ВДР, в которых наряду с общей тенденцией изменения переменных во времени, требуется учитывать и, так называемую, «сезонную» составляющую, весьма успешно проводится методом Бокса-Дженкинса [2], называемого АРПСС - авторегрессионным и проинтегрированным скользящим средним.
Общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом [2], включает как параметры авторегрессии, так и параметры скользящего среднего. Вводится три типа параметров модели: параметры авторегрессии (p), порядок разности (d), параметры скользящего среднего (q). В обозначениях Бокса и Дженкинса [2] модель записывается как АРПСС (p, d, q). Например, модель (0,1,2) содержит 0 (ноль) параметров авторегрессии (p) и два параметра скользящего среднего (q), которые вычисляются для ряда после взятия разности с лагом 1.
Мультипликативная сезонная АРПСС представляет естественное развитие и обобщение обычной модели АРПСС на ВДР, в которых имеется периодическая сезонная компонента. В дополнении к несезонным параметрам - общей тенденции изменения ВДР, в модель вводятся сезонные параметры для определения лага (устанавливаемого на этапе идентификации модели). Аналогично параметрам простой модели АРПСС, эти параметры называются: сезонная авторегрессия (ps), сезонная разность (ds) и сезонное скользящее среднее (qs). Таким образом, полная сезонная АРПСС может быть записана как АРПСС (p, d, q)(ps, ds, qs). Например, модель (0, 1, 2)(0, 1, 1) включает 0 регулярных параметров авторегрессии, 2 регулярных параметра скользящего среднего и 1 параметр сезонного скользящего среднего. Сезонный лаг, используемый для сезонных параметров, определяется на этапе анализа характеристик ИСД.
Для учета имеющейся авторегрессии требуется выделить элементы, которые последовательно зависят друг от друга. Такую зависимость можно выразить следующей математической зависимостью:
, (5.4.1)
где - константа (свободный член);
- параметры авторегрессии;
- случайное воздействие.
Можно заметить, что каждое наблюдение есть сумма случайной компоненты (случайного воздействия ) и линейной комбинации предыдущих наблюдений.
Результаты прогнозирования методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего представлены в таблицах 35 - 48 приложения 1.
Сводные результаты прогнозирования методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего при изменении интервала сезонности приведены в таблице 5.4.1.
По результатам таблицы 5.4.1, были сделаны следующие основные выводы:
1. Изменение интервала сезонности (Seasonal Lag = 3; 4; 6; 8) при прогнозировании методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего показало, что наиболее близкие прогнозируемые значения к фактическим значениям достигаются в большинстве случаев при значении Seasonal Lag=6.
2. Наименьшая ошибка прогнозирования методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего составила 0,070643338, а наибольшая - 78,14655803.
3. Наиболее точные результаты, полученные при прогнозировании методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, представлены в таблице 5.4.2.
Таблица 5.4.1. Сводная таблица ошибок прогноза при изменении параметра Seasonal Lag
Код |
Ошибка прогноза |
Среднее значение |
Отношение стандартной ошибки к среднему значению |
|||||||
Seasonal Lag = 3 |
Seasonal Lag = 4 |
Seasonal Lag = 6 |
Seasonal Lag = 8 |
Seasonal Lag = 3 |
Seasonal Lag = 4 |
Seasonal Lag = 6 |
Seasonal Lag = 8 |
|||
y1 |
46474,61891 |
39049,32 |
11989,94753 |
26460,06 |
142797,6667 |
0,325457831 |
0,27345908 |
0,08396459 |
0,185297569 |
|
y2 |
41655,7104 |
23815,43466 |
13940,08 |
24734,48194 |
112090,6667 |
0,371625146 |
0,212465813 |
0,124364368 |
0,220664955 |
|
y3 |
1121,677531 |
1275,985453 |
839,0179399 |
1114,758949 |
6237,333333 |
0,179832866 |
0,204572272 |
0,134515488 |
0,178723645 |
|
y4 |
6369,603852 |
7326,434238 |
1531,241457 |
5082,332101 |
21675,66667 |
0,293859651 |
0,338002718 |
0,070643338 |
0,234471778 |
|
y5 |
2337,371948 |
562,9341764 |
1378,388796 |
1183,868058 |
3645,333333 |
0,64119567 |
0,154425981 |
0,378124212 |
0,324762635 |
|
y6 |
735,0432271 |
908,2633089 |
476,6327079 |
941,9936854 |
2608,666667 |
0,281769701 |
0,34817147 |
0,182711235 |
0,361101592 |
|
y7 |
129,2396622 |
300,5284023 |
116,3265935 |
337,0688531 |
705,6666667 |
0,183145483 |
0,425878699 |
0,164846377 |
0,47766016 |
|
y8 |
146,7765349 |
134,9460847 |
224,7361612 |
174,6281152 |
612,6666667 |
0,23956997 |
0,220260204 |
0,366816368 |
0,285029568 |
|
y9 |
14472,31684 |
17932,38083 |
17857,57454 |
19884,8689 |
36853 |
0,3927039 |
0,486592159 |
0,484562303 |
0,539572596 |
|
y10 |
15264,22032 |
20293,12173 |
20320,55941 |
21574,82296 |
37726 |
0,404607441 |
0,53790812 |
0,538635408 |
0,57188207 |
|
y11 |
18494,6854 |
17021,99555 |
16057,13 |
6378,745252 |
236,6666667 |
78,14655803 |
71,92392486 |
67,8470481 |
26,95244473 |
|
y12 |
9919,482688 |
12618,9629 |
8214,842355 |
3140,474034 |
665 |
14,91651532 |
18,97588407 |
12,3531464 |
4,722517344 |
|
y13 |
85,97 |
66,65081156 |
26,60926051 |
63,12594969 |
237,8227432 |
0,361506275 |
0,280254153 |
0,111886946 |
0,265432771 |
|
y14 |
3,75849488 |
1,097240894 |
3,717206986 |
2,505916653 |
6,072491704 |
0,618937837 |
0,18069039 |
0,612138668 |
0,412666954 |
Таблица 5.4.2. Наилучшие результаты прогнозирования методом АРПСС
Код |
Квартал |
Фактическое значение |
Прогнозируемое значение |
Отношение стандартной ошибки к среднему значению |
Seasonal Lag |
|
y1 |
1/2005 |
83098 |
78300,7 |
0,08396459 |
6 |
|
2/2005 |
106481 |
91333,3 |
||||
3/2005 |
238814 |
225442,0 |
||||
y2 |
1/2005 |
63636 |
52599,8 |
0,124364368 |
6 |
|
2/2005 |
85730 |
69642,8 |
||||
3/2005 |
186906 |
172679,9 |
||||
y3 |
1/2005 |
3958 |
4079,87 |
0,134515488 |
6 |
|
2/2005 |
6161 |
7376,24 |
||||
3/2005 |
8593 |
9380,53 |
||||
y4 |
1/2005 |
12950 |
11372,07 |
0,070643338 |
6 |
|
2/2005 |
14928 |
17035,74 |
||||
3/2005 |
37149 |
37467,82 |
||||
y5 |
1/2005 |
2554 |
2433,69 |
0,154425981 |
4 |
|
2/2005 |
2216 |
2748,99 |
||||
3/2005 |
6166 |
6973,55 |
||||
y6 |
1/2005 |
1428 |
1271,393 |
0,182711235 |
6 |
|
2/2005 |
2487 |
2354,344 |
||||
3/2005 |
3911 |
3111,367 |
||||
y7 |
1/2005 |
283 |
444,804 |
0,164846377 |
6 |
|
2/2005 |
716 |
833,369 |
||||
3/2005 |
1118 |
1092,709 |
||||
y8 |
1/2005 |
673 |
668,6615 |
0,220260204 |
4 |
|
2/2005 |
400 |
632,8516 |
||||
3/2005 |
765 |
784,8159 |
||||
y9 |
1/2005 |
47586 |
41634,55 |
0,3927039 |
3 |
|
2/2005 |
10864 |
23177,88 |
||||
3/2005 |
52109 |
31102,04 |
||||
y10 |
1/2005 |
48991 |
38029,41 |
0,404607441 |
3 |
|
2/2005 |
9633 |
15372,10 |
||||
3/2005 |
54554 |
31189,59 |
||||
y11 |
1/2005 |
67 |
533,59 |
26,95244473 |
8 |
|
2/2005 |
199 |
4694,88 |
||||
3/2005 |
444 |
10525,39 |
||||
y12 |
1/2005 |
465 |
1004,164 |
4,722517344 |
8 |
|
2/2005 |
459 |
3177,860 |
||||
3/2005 |
1071 |
5751,260 |
||||
y13 |
1/2005 |
139,6605042 |
148,9521 |
0,111886946 |
6 |
|
2/2005 |
177,7646077 |
222,5744 |
||||
3/2005 |
396,0431177 |
390,5746 |
||||
y14 |
1/2005 |
4,292436975 |
3,0673 |
0,18069039 |
4 |
|
2/2005 |
3,699499165 |
2,3334 |
||||
3/2005 |
10,22553897 |
10,7201 |
Результаты сглаживания и прогнозирования для интервала сглаживания Seasonal Lag = 6, при котором получены наиболее достоверные результаты прогнозирования y1 и y13 и для Seasonal Lag = 4, при котором были получены наиболее достоверные результаты прогнозирования для y5, представлены на рис. 5.4.1 - 5.4.3.
Рис. 5.4.1. Прогнозируемое значение выручки (нетто) от продажи товаров, продукции, работ, услуг
Рис. 5.4.2. Прогнозируемое значение прибыли от продаж
Рис. 5.4.3. Прогнозируемое значение дохода на одного работника
Прогнозирование на нейронных сетях
В последние десятилетия в мире усиленно развивается новая прикладная область математики, специализирующаяся на нейронных сетях (НС) [10]. Нервная система и мозг человека состоят из нейронов, соединенных между собой нервными волокнами. Нервные волокна способны передавать электрические импульсы между нейронами. Все процессы передачи раздражений от нашей кожи, ушей и глаз к мозгу, процессы мышления и управления действиями - все это реализовано в живом организме как передача электрических импульсов между нейронами.
Рассмотрим строение биологического нейрона. Каждый нейрон имеет отростки нервных волокон двух типов - дендриты, по которым принимаются импульсы, и единственный аксон, по которому нейрон может передавать импульс. Аксон контактирует с дендритами других нейронов через специальные образования - синапсы, которые влияют на силу импульса.
Рис. 5.5.1. Строение биологического нейрона
Можно считать, что при прохождении синапса сила импульса меняется в определенное число раз, которое мы будем называть весом синапса. Импульсы, поступившие к нейрону одновременно по нескольким дендритам, суммируются. Если суммарный импульс превышает некоторый порог, нейрон возбуждается, формирует собственный импульс и передает его далее по аксону. Важно отметить, что веса синапсов могут изменяться со временем, а значит, меняется и поведение соответствующего нейрона.
Можно построить математическую модель описанного процесса. На рисунке 5.5.2 изображена модель нейрона с тремя входами (дендритами), причем синапсы этих дендритов имеют веса w1, w2, w3. Пусть к синапсам поступают импульсы силы x1, x2, x3 соответственно, тогда после прохождения синапсов и дендритов к нейрону поступают импульсы w1x1, w2x2, w3x3. Нейрон преобразует полученный суммарный импульс x=w1x1+w2x2+w3x3 в соответствии с некоторой передаточной функцией f(x). Сила выходного импульса равна y=f(x)=f(w1x1+w2x2+w3x3). Таким образом, нейрон полностью описывается своими весами wi , и передаточной функцией f(x). Получив набор чисел (вектор) xi на вход, нейрон выдает некоторое число y на выходе, являющееся функцией от входных сигналов.
Рис. 5.5.2. Модель искусственного нейрона с тремя входами и одним выходом
Искусственной нейронной сетью называют некоторое устройство или его программную реализацию, которое состоит из большого количества параллельно работающих процессорных элементов - нейронов, соединенных адаптивными линиями передачи информации - связями или синапсами.
Некоторые входы нейронов помечены как внешние входы сети, а некоторые выходы - как внешние выходы сети. Подавая любые числа на входы сети, мы получаем какой-то набор чисел на выходах сети. Таким образом, работа нейросети состоит в преобразовании входного вектора в выходной вектор, причем это преобразование задается весами сети.
Теперь, когда стало ясно, что именно мы хотим построить, мы можем переходить к вопросу «как строить такую сеть». Этот вопрос решается в два этапа:
1. Выбор типа (архитектуры) сети.
2. Подбор весов (обучение) сети.
На первом этапе следует определить, какие нейроны мы хотим использовать (число входов, передаточные функции), каким образом следует соединить их между собой, что взять в качестве входов и выходов сети.
Эта задача на первый взгляд кажется весьма сложной, но она упрощается, т.к. нам необязательно придумывать нейросеть с нуля - существует несколько десятков различных нейросетевых архитектур, причем эффективность многих из них доказана математически [10]. В данной работе использован наиболее популярный и свободно распространяемый по сети Интернет программный продукт Neuro Pro, представляющий собой менеджер обучаемых искусственных нейронных сетей, работающий в среде MS Windows XP.
Для решения поставленной задачи наиболее подходит многослойная нейронная сеть с последовательными связями, в которой нейроны объединяются в слои. Слой содержит совокупность нейронов с едиными входными сигналами. Число нейронов в слое может быть любым и не зависит от количества нейронов в других слоях. Внешние входные сигналы подаются на входы нейронов входного слоя, а выходами сети являются выходные сигналы последнего слоя. Кроме входного и выходного слоев в многослойной нейронной сети есть один или несколько скрытых (внутренних) слоев.
1. Количество нейронов во входном слое будем менять: 3, 4, 6, 8, т.к. для прогнозирования будем использовать три, четыре, шесть или восемь последних значений.
2. Количество выходов (выходной слой) = 1, значение переменной, следующей за последними тремя, четырьмя, шестью, восемью значениями.
3. Количество нейронов внутреннего слоя. Для более точной аппроксимации и лучшей сходимости ряда возьмем количество скрытых слоев, равное 3, а количество нейронов в каждом из скрытых слоев равное 10 [10].
В качестве активационной функции нейронов скрытых слоев возьмем наиболее часто используемый на практике сигмоид [10], который имеет следующий вид:
. (5.5.1)
Основное достоинство этой функции в том, что она дифференцируема на всей оси абсцисс и имеет сравнительно простую производную:
f'(x)=a*f(x)(1-f(x)). (5.5.2)
Кроме того, она обладает свойство усиливать слабые сигналы лучше, чем большие, и предотвращать насыщение от больших сигналов, т.к. они соответствуют областям аргументов, где сигмоид имеет пологий наклон.
На втором этапе нам следует «обучить» выбранную сеть - значит сообщить ей, чего мы от нее добиваемся. Схематично процесс обучения нейросети представлен на рис 5.5.3.
Рис. 5.5.3. Процесс обучения нейросети
После многократной подачи на вход нейросети обучающих примеров передаточные веса сети стабилизируются, причем сеть дает правильные ответы на все (или почти на все) подаваемые примеры. В таком случае говорят, что «сеть выучила все примеры», «сеть обучена» или «сеть натренирована» [10]. В программных реализациях можно видеть, что в процессе обучения величина ошибки (сумма квадратов ошибок по всем выходам) постепенно уменьшается. Когда величина ошибки достигает нуля или приемлемого малого уровня, тренировку (обучение) заканчивают, а полученную сеть считают натренированной (обученной) и готовой к применению на готовых новых данных.
Важно отметить, что вся информация, которую сеть имеет о задаче, содержится в наборе примеров. Поэтому качество обучения сети напрямую зависит от количества примеров в обучающей выборке, а также от того, насколько полно эти примеры описывают данную задачу.
Объем обучающей выборки зависит от выбранного нами количества входов. Если в качестве входного сигнала взять 20 элементов ВДР, то такая сеть потенциально могла бы строить лучший прогноз, чем сеть с 4 элементами на входе, однако в этом случае мы имеем всего 1 обучающий пример, и обучение скорее всего не даст приемлемого результата. При выборе числа элементов на входе следует учитывать это, выбирая разумный компромисс между глубиной предсказания (число элементов на входе) и количеством обучающих тестов.
В данной работе с целью уменьшения ошибки прогноза была сделана попытка изменения количества входов нейронной сети, которому последовательно присваивались значения 3, 4, 6 и 8.
Прогнозируемые значения, полученные методом прогнозирования в нейронных сетях, представлены в таблицах 49 - 62 приложения 1.
Сводные результаты сглаживания и прогнозирования на нейронных сетях при изменении количества элементов ВДР на входе приведены в таблице 5.5.1.
По результатам таблицы 5.5.1 были сделаны следующие основные выводы:
1. Изменение количества элементов ВДР на входе нейронной сети (3; 4; 6; 8) при прогнозировании на нейронных сетях показало, что наиболее близкие к фактическим значениям прогнозируемые значения в большинстве случаев достигают при количестве элементов ВДР на входе, равное 8.
2. Наименьшая ошибка прогнозирования методом прогнозирования на нейронной сети составила 0,024973516, а наибольшая - 0,822503966.
3. Наиболее достоверные результаты, полученные при прогнози- ровании на нейронных сетях, представлены в таблице 5.5.2.
Таблица 5.5.1. Сводная таблица ошибок прогнозирования на нейронных сетях при изменении количества входов
Ошибка прогноза |
Среднее значение |
Отношение стандартной ошибки к среднему значению |
||||||||
m=3 |
m=4 |
m=6 |
m=8 |
m=3 |
m=4 |
m=6 |
m=8 |
|||
y1 |
24399,05 |
28977,65 |
30538,85 |
13416,8 |
142797,6667 |
0,170864455 |
0,202928001 |
0,213860975 |
0,093956708 |
|
y2 |
5410,452 |
6589,582 |
8485,828 |
2903,804 |
112090,6667 |
0,048268533 |
0,058787967 |
0,075705032 |
0,025905853 |
|
y3 |
435,042 |
519,5491 |
534,8787 |
388,7276 |
6237,333333 |
0,06974808 |
0,083296673 |
0,085754388 |
0,062322722 |
|
y4 |
1639,767 |
3366,713 |
830,274 |
3668,55 |
21675,66667 |
0,075650142 |
0,155322235 |
0,038304426 |
0,169247396 |
|
y5 |
255,2573 |
334,0998 |
192,2794 |
280,7089 |
3645,333333 |
0,07002304 |
0,091651361 |
0,052746718 |
0,077005003 |
|
y6 |
691,4692 |
178,9106 |
405,2752 |
314,7656 |
2608,666667 |
0,265066153 |
0,068583175 |
0,15535722 |
0,120661488 |
|
y7 |
126,5876 |
57,05587 |
73,95148 |
30,40806 |
705,6666667 |
0,179387295 |
0,080853849 |
0,104796618 |
0,043091255 |
|
y8 |
95,05992 |
129,6813 |
112,5646 |
79,3617 |
612,6666667 |
0,155157654 |
0,21166693 |
0,183728958 |
0,12953488 |
|
y9 |
2667,297 |
8462,694 |
7948,174 |
3155,3 |
36853 |
0,072376663 |
0,229633787 |
0,215672368 |
0,085618527 |
|
y10 |
1884,637 |
4559,888 |
2469,543 |
3443,072 |
37726 |
0,049955924 |
0,120868574 |
0,065459963 |
0,091265239 |
|
y11 |
194,6593 |
164,946 |
91,44185 |
64,94786 |
236,6666667 |
0,822503966 |
0,696954983 |
0,386374029 |
0,274427569 |
|
y12 |
125,4251 |
174,419 |
140,3797 |
117,6735 |
665 |
0,188609179 |
0,262284168 |
0,211097306 |
0,176952663 |
|
y13 |
10,56735 |
20,63144 |
5,93927 |
17,36045 |
237,8227432 |
0,044433708 |
0,08675133 |
0,024973516 |
0,072997437 |
|
y14 |
0,885226 |
0,539141 |
0,296974 |
0,866815 |
6,072491704 |
0,145776426 |
0,088784191 |
0,048904877 |
0,142744513 |
Таблица 5.5.2. Наилучшие результаты прогнозирования на нейронных сетях
Код |
Квартал |
Фактическое значение |
Прогнозируемое значение |
Отношение стандартной ошибки к среднему значению |
m |
|
y1 |
1/2005 |
83098 |
71217,83 |
0,093957 |
8 |
|
2/2005 |
106481 |
124089 |
||||
3/2005 |
238814 |
229387,9 |
||||
y2 |
1/2005 |
63636 |
63660,67 |
0,025906 |
8 |
|
2/2005 |
85730 |
84214,45 |
||||
3/2005 |
186906 |
182110,3 |
||||
y3 |
1/2005 |
3958 |
4537,443 |
0,062323 |
8 |
|
2/2005 |
6161 |
6352,93 |
||||
3/2005 |
8593 |
8308,859 |
||||
y4 |
1/2005 |
12950 |
11702,21 |
0,038304 |
6 |
|
2/2005 |
14928 |
15461,09 |
||||
3/2005 |
37149 |
37625,34 |
||||
y5 |
1/2005 |
2554 |
2512,809 |
0,052747 |
6 |
|
2/2005 |
2216 |
2284,62 |
||||
3/2005 |
6166 |
5842,722 |
||||
y6 |
1/2005 |
1428 |
1406,1651 |
0,068583 |
4 |
|
2/2005 |
2487 |
2182,779 |
||||
3/2005 |
3911 |
3965,7711 |
||||
y7 |
1/2005 |
283 |
316,8197 |
0,043091 |
8 |
|
2/2005 |
716 |
744,9228 |
||||
3/2005 |
1118 |
1146,1718 |
||||
y8 |
1/2005 |
673 |
706,2464 |
0,129535 |
8 |
|
2/2005 |
400 |
422,4973 |
||||
3/2005 |
765 |
896,4663 |
||||
y9 |
1/2005 |
47586 |
59847,16 |
0,229634 |
4 |
|
2/2005 |
10864 |
14742,84 |
||||
3/2005 |
52109 |
45075,5 |
||||
y10 |
1/2005 |
48991 |
54529,59 |
0,120869 |
4 |
|
2/2005 |
9633 |
6710,218 |
||||
3/2005 |
54554 |
59366,39 |
||||
y11 |
1/2005 |
67 |
143,46 |
0,274428 |
8 |
|
2/2005 |
199 |
211,64 |
||||
3/2005 |
444 |
362,46 |
||||
y12 |
1/2005 |
465 |
624,463 |
0,176953 |
8 |
|
2/2005 |
459 |
562,463 |
||||
3/2005 |
1071 |
997,46 |
||||
y13 |
1/2005 |
139,6605042 |
148,364 |
0,024974 |
6 |
|
2/2005 |
177,7646077 |
182,544 |
||||
3/2005 |
396,0431177 |
393,354 |
||||
y14 |
1/2005 |
4,292436975 |
138,5463 |
0,048905 |
6 |
|
2/2005 |
3,699499165 |
186,346 |
||||
3/2005 |
10,22553897 |
367,246 |
Результаты сглаживания и прогнозирования , при котором получены лучшие значения yj , представлены на рис. 5.5.1. - 5.5.14.
Рис. 5.5.1. Прогнозируемое значение выручки (нетто) от продажи товаров, продукции, работ, услуг
Рис. 5.5.2. Прогнозируемое значение себестоимости проданных товаров, продукции, работ, услуг
Рис. 5.5.3. Прогнозируемое значение коммерческих расходов
Рис. 5.5.4. Прогнозируемое значение управленческих расходов
Рис. 5.5.5. Прогнозируемое значение прибыли от продаж
Рис. 5.5.6. Прогнозируемое значение прибыли до налогообложения
Рис. 5.5.7. Прогнозируемое значение текущего налога на прибыль
Рис. 5.5.8. Прогнозируемое значение процентов к получению
Рис. 5.5.9. Прогнозируемое значение прочих операционных доходов
Рис. 5.5.10. Прогнозируемое значение прочих операционных расходов
Рис. 5.5.11. Прогнозируемое значение внереализационных доходов
Рис. 5.5.12. Прогнозируемое значение внереализационных расходов
Рис. 5.5.13. Прогнозируемое значение дохода на одного работника
Рис. 5.5.14. Прогнозируемое значение прибыли на одного работника
Предварительная оценка результатов прогнозирования в системе координат
На практике часто возникает необходимость заранее предсказывать ошибку прогноза, которая будет получена при применении того или иного метода прогнозирования. Для этой цели целесообразно использовать эмпирические распределения, которые позволяют получить аппроксимации в тех случаях, когда некоторые моменты распределения определены теоретически, а точное распределение неизвестно. Меррингтон и Пирсон [19] для подбора распределения предложили использовать области в плоскости (), где по оси x откладывается - квадрат нормированного показателя асимметрии, а по оси y откладывается - нормированный показатель островершинности.
Квадрат нормированного показателя вычисляется по формуле
, (5.6.1)
где - дисперсия (второй центральный момент), который можно определить по формуле
, (5.6.2)
- третий центральный момент, который можно определить по формуле
. (5.6.3)
Нормированный показатель островершинности вычисляется по формуле
, (5.6.4)
где
- четвертый центральный момент, определяемый по формуле
, (5.6.5)
В формулах (5.6.2) - (5.6.3), (5.6.5) величины , , - начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядка соответственно; их можно вычислить по формулам:
,
, (5.6.6)
,
.
Величина измеряет отношение асимметрии распределения к мере рассеяния. Этот нормированный показатель позволяет сравнивать асимметрию двух распределений, имеющих различный масштаб. Величина является относительным показателем эксцесса.
Мною предложено проводить предварительный анализ ВДР, вычисляя значения и и по этим значениям заранее оценивать ошибку прогноза, которая при этом будет получена.
Для обеспечения корректности получаемых результатов предлагается методика, которая включает в себя три этапа:
1. Вычисление величин и по ВДР;
2. Получение уравнений регрессии, представляющих собой зависимости ошибки прогноза от величин и ;
3. Построение графика .
Результаты вычисления и приведены в таблице 5.6.1.
В таблице 5.6.1 z1 - отношение стандартной ошибки к среднему значению, полученное при прогнозировании методом скользящего среднего; z2 - отношение стандартной ошибки к среднему значению, полученное при прогнозировании методом экспоненциального сглаживания; z3 - отношение стандартной ошибки к среднему значению, полученное при прогнозирование методом авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего; z4 - отношение стандартной ошибки к среднему значению, полученное при прогнозировании на нейронных сетях.
График приведен на рисунке 5.6.1.
Таблица 5.6.1. Вычисленные значения и
j |
Основные статистические характеристики ВДР |
Отношение ошибки прогноза к среднему значению |
||||||||||
aj |
ej |
z1 |
z2 |
z3 |
z4 |
|||||||
1 |
202405 |
145940 |
0,72103 |
0,77933 |
-0,6412 |
0,525846 |
2,23471 |
0,425619863 |
0,268499171 |
0,192299 |
0,093957 |
|
2 |
168375 |
126916 |
0,75377 |
0,83800 |
-0,5096 |
0,607998 |
2,338236 |
0,582976972 |
0,259428967 |
0,375303 |
0,025906 |
|
3 |
5010 |
3410 |
0,680639 |
1,45767 |
2,79648 |
1,839643 |
4,93926 |
0,235388066 |
0,130125992 |
0,18705 |
0,062323 |
|
4 |
20808 |
15359 |
0,73813 |
0,88272 |
-0,0993 |
0,67462 |
2,660973 |
0,496375532 |
0,308439948 |
0,131538 |
0,038304 |
|
5 |
8636 |
8935 |
1,034623 |
2,02198 |
5,06240 |
3,539729 |
6,721968 |
0,424243204 |
0,424015193 |
0,251606 |
0,052747 |
|
6 |
3398 |
3385 |
0,996174 |
1,39571 |
1,29295 |
1,686586 |
3,756355 |
0,265790571 |
0,510646461 |
0,327121 |
0,068583 |
|
7 |
1001 |
1116 |
1,114885 |
1,61975 |
1,91172 |
2,271501 |
4,243177 |
0,529258772 |
0,321999767 |
0,683927 |
0,043091 |
|
8 |
193 |
290 |
1,502591 |
1,52757 |
0,95457 |
2,02031 |
3,490141 |
0,260025866 |
0,256100193 |
0,283076 |
0,129535 |
|
9 |
28307 |
27997 |
0,989049 |
1,24468 |
1,07042 |
1,341323 |
3,581284 |
0,472606146 |
0,979917262 |
0,539508 |
0,229634 |
|
10 |
30925 |
30878 |
0,99848 |
1,47047 |
1,90955 |
1,8721 |
4,241468 |
0,499967477 |
0,798277021 |
0,565365 |
0,120869 |
|
11 |
8326 |
13769 |
1,653735 |
1,41256 |
0,35724 |
1,727545 |
3,020188 |
68,36838773 |
19,51832489 |
38,37432 |
0,274428 |
|
12 |
11266 |
15188 |
1,348127 |
0,96759 |
-0,7374 |
0,810588 |
2,159006 |
20,50273748 |
26,08609931 |
9,844684 |
0,176953 |
|
13 |
408 |
292 |
0,715686 |
0,69944 |
-0,7681 |
0,423562 |
2,134824 |
0,588150888 |
0,313092341 |
0,406331 |
0,024974 |
|
14 |
17 |
17 |
1 |
1,66467 |
3,45370 |
2,399239 |
5,45633 |
0,424349043 |
0,415475156 |
0,554825 |
0,048905 |
Далее приведены полученные уравнения регрессии для z1 - z4:
(5.6.7)
(5.6.8)
(5.6.9)
(5.6.10)
Ввиду того, что наилучшие результаты прогнозирования были получены при прогнозировании на нейронных сетях, далее приведен график зависимости для уравнения (5.6.10).
Рис. 5.6.1. График
Таким образом, предварительный анализ ВДР позволяет заранее оценить ошибку прогноза по вычисленным значениям и .
Продемонстрируем это на примере результативного показателя y13. По таблице 5.6.1 находим, что значения и равны соответственно 0,423562 и 2,134824.
Точка с координатами (0,423562; 2,134824) на рисунке 5.6.1 лежит между прямыми, соответствующими значениям z4=0,025 и z4=0,05. Следовательно, можно сделать выводы о том, что ошибка прогноза будет лежать в интервале [0,025; 0,05], что не противоречит результату, полученному после прогнозирования, ошибка прогноза на нейронных сетях для y13 составила 0,024974.
Нужно отметить недостаток предложенного метода. Этим недостатком является наличие зоны неопределенности, для которой невозможно заранее оценить ошибку прогноза, хотя прогнозирование можно проводить и в этом случае. Это объясняется сравнительно небольшим количеством прогнозируемых значений.
Можно надеяться, что с увеличением количества оцениваемых переменных результаты будут охватывать большую область.
При проведении временного прогнозирования получены следующие основные результаты:
1. Проведено сглаживание и прогнозирование результативных показателей эффективности функционирования предприятия. Для сглаживания и прогнозирования использованы поквартальные значения результативных показателей эффективности с первого квартала 2000 года по четвертый квартал 2004 года. Проведено прогнозирование на четыре квартала 2005 года. Оценка достоверности произведена по фактическим значениям результативных показателей по трем первым кварталам 2005 года. Применены методы скользящего среднего, экспоненциальный, авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего и на нейронных сетях. Лучшие результаты получены при прогнозировании на нейронных сетях, затем по убыванию качества следует метод авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, затем экспоненциальный и скользящего среднего. При прогнозировании на нейронной сети отношение стандартной ошибки прогноза к среднему прогнозируемому значению для 14 результативных показателей лежит в диапазоне от 0,025 до 0,274, что следует считать вполне приемлемым для практического использования. Прогнозирование позволяет выявить нежелательные тенденции в изменении состояния предприятия и предотвратить их принятием соответствующих управленческих решений.
2. Разработан алгоритм, позволяющий по основным статистическим характеристикам ВДР вычислить стандартную ошибку прогнозирования для четырех методов. Построен график, который наглядно отображает зависимость стандартной ошибки прогноза в системе координат по оси x и по оси y , где - оценка дисперсии; а - асимметрия и э - эксцесс, вычисленные по значениям ВДР.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Построение многофакторной корреляционно-регрессионной модели доходности предприятия: оценка параметров функции регрессии, анализ факторов на управляемость, экономическая интерпретация модели. Прогнозирование доходности на основе временных рядов.
дипломная работа [5,1 M], добавлен 28.06.2011Изучение изменений анализируемых показателей во времени как важнейшая задача статистики. Понятие рядов динамики (временных рядов). Числовые значения того или иного статистического показателя, составляющего ряд динамики. Классификация рядов динамики.
презентация [255,0 K], добавлен 28.11.2013Понятие об основной тенденции ряда динамики, ее сущность и визуальное представление, методы анализа. Аналитическая оценка уравнения тренда. Характеристика, использование различных методов для выделения тренда временных рядов, прогнозирование показателей.
курсовая работа [207,2 K], добавлен 04.03.2013Понятие и виды статистических рядов распределения, основные формы их представления. Расчет и анализ показателей, характеризующих центральную тенденцию, вариацию, структуру и форму ряда распределения. Проведение сглаживания эмпирического распределения.
курсовая работа [698,3 K], добавлен 07.06.2011Ознакомление с математическим аппаратом анализа временных рядов и моделями авторегрессии. Составление простейших моделей авторегрессии стационарных временных рядов. Оценка дисперсии и автоковариации, построение графика автокорреляционной функции.
лабораторная работа [58,7 K], добавлен 14.03.2014Постановка задачи прогнозирования количества отказов радиоэлектронного оборудования на следующий год в аэропорту. График общей тенденции отказов. Использование метода временных рядов. Выделение тренда, применение метода скользящих средних значений.
курсовая работа [109,9 K], добавлен 19.12.2009Исследование точности прогнозирования случайного процесса с использованием метода наименьших квадратов. Анализ расхождения между трендом и прогнозом, последующая оценка близости распределения расхождений наблюдений и распределения сгенерированного шума.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 29.01.2010Обзор адаптивных методов прогнозирования. Построение модели Брауна. Применение методов прогнозирования на примере СПК колхоза "Новоалексеевский" в рамках модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, предложенной Боксом и Дженкинсом.
дипломная работа [9,0 M], добавлен 28.06.2011Применение в статистике конкретных методов в зависимости от заданий. Методы массовых наблюдений, группировок, обобщающих показателей, динамических рядов, индексный метод. Корреляционный и дисперсный анализ. Расчет средних статистических величин.
контрольная работа [29,5 K], добавлен 21.09.2009Динамические системы в математическом понимании. Определение функционирующей системы и системы процессов. Основные и неосновные переменные динамики систем, множества их значений, типовые кванторы. Определения и классификация динамических свойств.
курсовая работа [144,0 K], добавлен 04.05.2011