Mетрика на поверхности. Теория кривизны

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Mетрика на поверхности. Теория кривизны



1. Первая квадратичная форма

проекция вектор кривизна индикатриса

Пусть задана поверхность . Риманова метрика определялась следующим образом: пусть задана кривая u = u(t), v = v(t). Её длина - есть вектор скорости в криволинейных координатах (u, v). , здесь x¹ = u, x² = v; . Набор этих функций мы определяли как риманову метрику в криволинейных координатах (u, v). Этот набор определяет длину кривой и углы между двумя кривыми в точке их пересечения. Чему равны , где u = x¹, v = x²? Пусть кривая u = u(t), v = v(t) записана через координаты (u, v) и лежит на поверхности в пространстве R³ с координатами (x, y, z). Длиной кривой u(t), v(t) на поверхности мы назовём длину этой кривой в трёхмерном евклидовом пространстве.

Пусть х = х(u(t), v(t)) = x(t); y = y(u(t), v(t)) = y(t); z = z(u(t), v(t)) = z(t). Найдём длину

.

Так как

; ; ,

то



=,

где , , , здесь u = x¹, v = x². Если теперь векторы

; ,

где - базисные векторы, то мы можем записать , x¹ = u, x² = v. Функции определены в координатах на поверхности.

Определение. Выражение = E(du)² + 2Fdudv + G(dv)² называется первой квадратичной формой или римановой метрикой на поверхности.

Пусть теперь поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0. Тогда риманова метрика на поверхности dx² + dy² + dz² имеет вид:

F_xdx + F_ydy + F_zdz = 0

Предположим, что F_z ? 0, тогда

.



Итак,

dx² + dy² + dz² = = dx² + dy² + = + +

+ , , , .

Пусть поверхность задана уравнением z = f(x, y). Тогда

; ; .

Имея риманову метрику, мы можем измерить на поверхности длину любой кривой u = u(t) и v = v(t), а также угол между двумя кривыми в точке пересечения (угол между двумя пересекающимися кривыми есть угол между их касательными в точке пересечения)

Пусть есть касательные векторы данных кривых.

; ; ; ;

.

Итак,

;

.

Найдём скалярное произведение:



;

.

Площадь поверхности находится по следующей формуле:

.

2. Вторая квадратичная форма

Определение. Проекция вектора кривизны линии на нормаль поверхности в точке, через которую проходит эта кривая, называется нормальной кривизной этой кривой. Обозначается , - радиус нормальной кривизны. Так как нормаль заранее ориентирована, то проекция на неё может быть как положительной, так и отрицательной. Вычислим нормальную кривизну:

; ; ; .

Найдём

.



Вспомним, что

П.

Итак,

,

где ; ; , , .

Выражение , , называется второй квадратичной формой. Итак,

- нормальная кривизна.

Так как

, то .

Тогда

; ; .



Зависимость между кривизной и нормальной кривизной можно получить, если ввести угол между нормальным вектором поверхности и вектором главной нормали кривой. Угол между векторами и обозначим через . - единичный вектор главной нормали.

, .

Тогда

.

Следовательно, . Таким образом, кривизна зависит от нормальной кривизны и угла , который совпадает с углом между касательной плоскостью поверхности и соприкасающейся плоскостью кривой. Если соприкасающаяся плоскость кривой на поверхности в данной её точке задана, то она определяет своим пересечением с касательной плоскостью поверхности и касательную прямую этой кривой. Теперь, зная направления касательной прямой, можно найти нормальную кривизну. И так как угол известен, то можно определить полную кривизну. Следовательно, все кривые поверхности, имеющие общую точку и общую соприкасающуюся плоскость в этой точке, имеют в ней одинаковые кривизны.

3. Индикатриса Дюпена

Изучение кривизны всех линий на поверхности сводится к рассмотрению плоских сечений. Кривизна произвольного сечения, как мы видели, связана с кривизной нормального сечения. Таким образом, вопрос о кривизне линий на поверхности сводится к изучению кривизны нормальных сечений. Через данную точку поверхности можно провести бесчисленное множество нормальных сечений. Как же изменяется нормальная кривизна при переходе от одного такого сечения к другому? Возьмём на поверхности некоторую точку М и будем откладывать от неё на касательной к каждому нормальному сечению отрезок равный , где R - кривизна нормального сечения.

Определение. Множество концов этих отрезков есть некоторая плоская кривая, расположенная в касательной плоскости поверхности, которая называется индикатрисой Дюпена, соответствующей данной точке.

Найдём её уравнение. За начало координат, которое расположим в касательной плоскости, примем точку прикосновения М. Масштабные векторы пусть будут и , . Пусть - есть радиус-вектор произвольной точки индикатрисы, то есть . С другой стороны, вектор можно записать в таком виде:

,

где - единичный вектор касательной некоторого нормального сечения, а R - радиус его кривизны в точке М. Но

,

где - радиус-вектор точки нормального сечения.

Мы можем приравнять эти выражения:



.

Отсюда следует, что

, .

Но

.

Умножим обе части этого равенства на R.

Имеем

.

Но . Это значит, что кривизна нормального сечения и нормальная кривизна поверхности, соответствующая направлению этого сечения, могут отличаться только знаком, так как в этом случае векторы главной нормали и нормали поверхности равны и могут отличаться только направлением, то есть , либо . Таким образом, .

Имеем - уравнение индикатрисы Дюпена. Знак “ + ” соответствует случаю вогнутого, а знак “ - ” случаю выпуклого нормального сечения, так как вектор главной нормали всегда указывает в сторону вогнутости плоской кривой. Упростим это уравнение. Приведём некоторые сведения из алгебры. Рассмотрим на плоскости пару квадратичных форм, одна из которых положительна. И пусть их матрицы имеют вид: , . Составим уравнение:

, .

Корни этого уравнения называются собственными числами пары квадратичных форм.

Составим систему:

,

где и неизвестные. Если и - собственные числа, то система имеет нетривиальные решения , . Направления векторов и называются главными направлениями пары квадратичных форм. Вектор соответствует , а соответствует . Известно также, что если собственные числа пары квадратичных форм различны, то главные направления ортогональны.

Определение. Собственные числа этой пары квадратичных форм называются главными кривизнами в данной точке. Произведение главных кривизн называется гауссовой кривизной, а их сумма - средней кривизной поверхности.

Упростим теперь уравнение индикатрисы Дюпена за счёт выбора системы координат. В нашем случае система декартовых координат в касательной плоскости связана с системой криволинейных координат на поверхности. Выберем систему координат на поверхности так, чтобы сделать возможным упрощение. Поместим начало прямоугольных координат пространства в данную точку М поверхности и совместим плоскость XOY с её касательной плоскостью, не выбирая пока направления осей OX и OY.

Пусть задана поверхность z = f(x, y). Параметризуем эту поверхность. Пусть x = u, y = v, тогда поверхность z = f(u, v). Такая система криволинейных координат называется нормальной в точке М. Координатные векторы, соответствующие этой параметризации имеют вид:

, ,

так как

,

,

,

;

.

В начале координат, которое совпадает с данной точкой М, эти векторы , должны лежать в плоскости XOY, которая касательна поверхности. Таким образом, для точки О , , а , . Т. е., декартова система координат здесь превращается в обычную прямоугольную, где , . Выберем теперь направление осей ОХ и ОY. Совместим эти оси с главными направлениями индикатрисы Дюпена. Известно, что если координатные оси идут по главным направлениям кривой второго порядка, то в её уравнении отсутствует член с произведением координат, то есть М₀ = 0. И уравнение принимает вид: - уравнение индикатрисы Дюпена.

4. Формула Эйлера

Получим формулу Эйлера, которая устанавливает зависимость между нормальной кривизной любого направления и нормальными кривизнами главных направлений индикатрисы. Обозначим через угол между главным направлением и направлением произвольного сечения.

Тогда для координат точки индикатрисы имеем, что

х = , y = ,

где - радиус кривизны соответствующей этой точке нормального сечения. Подставив эти значения в уравнение , получаем

.

Главными кривизнами и поверхности в данной точке называются нормальные кривизны, соответствующие главным направлениям индикатрисы Дюпена. В нашем случае эти направления определятся значениями 0 и угла . Таким образом, , и уравнение перепишем в виде:



- формула Эйлера.

Вычислим главные кривизны. Пусть на поверхности заданы две системы криволинейных координат. Первая из этих систем является нормальной в данной точке, а вторая произвольная, но такова, что по отношению к этой системе данная точка является неособой. Если координатные векторы нормальной системы и идут по главным направлениям поверхности в этой точке, то первая квадратичная форма имеет вид:

,

а вторая квадратичная форма -

,

где - главные кривизны поверхности. Запишем теперь выражения этих квадратичных форм в произвольной системе криволинейных координат и приравняем к данной.

(1)

(2)

Умножим обе части уравнения (2) на и почленно вычтем из (1):



При переходе от произвольных координат к нормальным имеем:

.

Итак:

,

то есть

Из этой системы, выражая , можно получить

.

К аналогичному выражению, содержащему , мы придём, если исключить подобным образом . Таким образом, главные кривизны поверхности в каждой точке являются корнями характеристического уравнения . Раскрыв скобки и произведя соответствующие преобразования, получаем:

;



;

;

;

- полная (гауссова) кривизна;

- средняя кривизна.

Размещено на Allbest.ru