Векторная функция скалярного произведения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кафедра высшей математики

Лекция

По курсу: «Дифференциальная геометрия»

На тему: «Векторная функция скалярного произведения»

Селькин М.В.

План

1. Векторная функция

2. Дифференцирование векторной функции

3. Параметрические уравнения кривой

1. Векторная функция

Определение. Пусть даны переменные скаляры t₁, t₂, .., t_n, которые изменяются в некоторой области Т, и переменный вектор , принимающий значения из некоторой совокупности векторов трёхмерного Евклидова пространства. Тогда переменный вектор называется вектор-функцией от n аргументов t₁, t₂, .., t_n, если каждой совокупности скаляров t₁, t₂, .., t_n, из области Т соответствует по некоторому закону единственный вектор из совокупности . Записываем

= (t₁, t₂, .., t_n)

Если - единичные векторы базиса в трёхмерном пространстве и = (x, y, z), то . В этом случае задание векторной функции = (t₁, t₂, .., t_n) равносильно заданию трёх скалярных функций:

x = x(t₁, t₂, .., t_n),

y = y(t₁, t₂, .., t_n),

z = z(t₁, t₂, .., t_n).

Если все значения векторной функции одного или двух аргументов будем откладывать от одной и той же точки пространства и эту точку пространства мы примем за начало координат, то все значения их станут радиус-векторами

= (t), = (u, v)

Определение. Множество концов радиус-векторов, являющихся значениями вектор-функции одного или двух аргументов, называется годографом этой функции (рис. 1).

= (t), t = t₁, t = t₂, .., t = t_n

Рисунок 1. Годограф

Напишем векторное уравнение прямой линии (рис. 2):

Рисунок 2

=, = , - радиус-вектор произвольной точки прямой (в дальнейшем через будем обозначать радиус-вектор произвольной точки искомого множества),

= +

= + t

Напишем векторное уравнение плоскости (рис. 3):

Рисунок 3

- уравнение плоскости, проходящей через три данные точки и имеющие постоянные радиус-векторы

,,: .

Определение. Постоянный вектор назовем пределом переменного вектора = (t) при , если .

Теорема 1. Если существует предел переменного вектора, то предел его модуля также существует и .

<Доказательство.

Нужно показать, что . Так как , то из определения предела следует, что , следовательно,

. >

В дальнейшем будем обозначать

Теорема 2. Предел суммы векторных функций существует и равен сумме пределов слагаемых векторных функций.

<Доказательство.

. По определению предела каждое слагаемое в правой части 0. Значит,

Следовательно,

. >

Теорема 3. Пределы произведения вида:

1)

2)

3)

существуют и равны произведениям соответствующих пределов.

<Доказательство. 1) Так как

, то

то

Значит , то есть существует и равен .

2) . .

Но

.

Таким образом,

.

3) Известно, что

Таким образом,

. >

Определение. Векторная функция = (t) называется непрерывной при , если .

2. Дифференцирование векторной функции

Определение. Векторная функция = (t) называется дифференцируемой при , если существует

.

Вектор называется производной векторной функции в точке .

Если производная векторной функции = (t) существует при каждом значении , то также является вектор-функцией от этого аргумента. И мы можем поставить вопрос о нахождении её производной. Это вторая производная: . Производная n-ого порядка определяется по формуле:

Производные обозначаются:

Теорема 4.

1)

2)

3)

4) .

<Доказательство.

1)

Переходя к пределу и используя определение производной, получаем утверждение 1 данной теоремы.

2) Пусть . Тогда

Так как это выполнимо для любого t из указанного промежутка , то утверждение 2 справедливо. >

Доказательства 3, 4 проводятся аналогично, используя следующие равенства:

. >

Теорема 5. Пусть задана функция

= (t), , , , .

Тогда

<Доказательство.

векторный производный интеграл уравнение



где

Переходя к пределу от левой и правой частей последнего равенства, мы получаем наше утверждение:

>

Формулы и правила для вычисления частных производных для вектор-функций формулируются и записываются точно так же, как и в математическом анализе для обыкновенных функций:

Теорема 6. Необходимым и достаточным условием непрерывности (дифференцируемости) вектор-функции = (t) является непрерывность (дифференцируемость) её координат x = x(t), y = y(t), z = z(t).

<Доказательство.

Достаточность.

Пусть x, y, z непрерывны (дифференцируемы). В силу выше доказанных теорем вектор-функция непрерывна (дифференцируема).

Необходимость.

Пусть (t) непрерывная (дифференцируемая) функция и

Умножим обе части поочередно на . Тогда , , . Так как непрерывны (дифференцируемы), то x, y, z непрерывны (дифференцируемы). >

Теорема 7. Если при данном значении аргумента t, производная (t) функции = (t) существует и не равна нулю, то она параллельна касательной к годографу этой функции в данной точке (рис. 4).

<Доказательство.

Рисунок 4

Вектор

=

направлен по хорде ММ₁. Так как векторная функция непрерывна, то

т. е. длина хорды ММ₁ стремится к 0 при t0. Следовательно, когда приращение аргумента 0, точка М₁ годографа стремится к исходной точке М. Таким образом, непрерывность векторной функции можно истолковать как непрерывность её годографа.

При

t0

а точка М₁ стремится по годографу к точке М. Следовательно, секущая ММ₁ вращается в пространстве вокруг точки М, стремясь к своему предельному положению прямой МN, направленной по вектору (t). Предельное положение МN секущей ММ₁ будем называть касательной к линии в данной точке. >

Определение. Произведение (t)d(t) называется главной линейной частью приращения (t) вектор-функции = (t) или дифференциалом векторной функции и обозначается .

Теорема 8. Если вектор - const, то .

<Доказательство.

Возьмём скалярное произведение - const. Тогда

. >

Теорема 9. Предел отношения модуля приращения единичного вектора = (t) к её углу поворота при t 0 равен единице (рис. 5).

<Доказательство.



Рисунок 5

Из рисунка 5 видно, что

| Д| = 2sin/2

Тогда

=

Так как t 0, то 0 и

=1. >

Определение. Неопределённым интегралом от векторной функции называется векторная функция

=

если

=

Эта функция определяется с точностью до постоянного слагаемого (вектора).

Определение. Определенным интегралом будем называть следующий постоянный вектор

3. Параметрические уравнения кривой

Определение. Топологическим или непрерывным соответствием двух точечных множеств называется такое взаимнооднозначное соответствие между их точками, при котором всяким двум бесконечно сближающимся точкам одного множества соответствует бесконечно сближающиеся точки другого множества (рис. 6).

Рисунок 6

Если между точками множества можно установить указанное соответствие, то эти множества топологически эквивалентны между собой.

Определение. Простой дугой называется такое множество точек, которое топологически эквивалентно отрезку прямой. Точки, соответствующие конечным точкам отрезка, называются конечными точками дуги. Две дуги называются примыкающими, если одна пара концов этих дуг и обе пары этих концов совпадают между собой. Кривой линией называется такое множество точек, которое состоит из конечного или счётного множества простых дуг, примыкающих друг к другу.

Пусть простая дуга АВ отображена топологически на прямолинейный отрезок А₀В₀ : М> М₀ (рис. 7).

Рисунок 7

(t) = (x, y, z); x = x(t); y = y(t); z = z(t)

Всякая точка прямой А₀В₀ определяется при помощи её абсциссы, то есть выберем начало координат О, некоторое положительное направление и будем измерять отрезки некоторым масштабным отрезком. Всякой точке прямой мы отнесём, таким образом, её абсциссу. Если известен закон, по которому точки дуги отображаются в точки отрезка, то задание абсциссы t определит также и положение точки М на этой дуге. Этим способом мы отнесём всякой точке М дуги АВ некоторое число , где t₁ абсцисса точки А₀, а t₂ - абсцисса точки В₀. Соответствие между точками дуги и числами будет взаимно-однозначным и непрерывным. Бесконечно близким абсциссам , и соответствуют бесконечно близкие точки и отрезка А₀В₀. А им в свою очередь соответствуют бесконечно близкие точки и данной дуги.

Если указанное соответствие между числами и точками дуги осуществлено, то говорят, что дуга параметризована, а значение числа t называют параметром соответствующей точки. Если теперь в пространстве задано начало координат О, то всякая точка М дуги определяется радиус-вектором . Если дуга параметризована, то положение этой же точки определяется заданием значения параметра t. При этом всякому значению параметра будет соответствовать вполне определённое значение радиус-вектора . Другими словами, радиус-вектор точки дуги является функцией параметра, определяющего эту точку, т. е. = (t). Cоотношение, которое определяет зависимость радиус-вектора точки параметризованной дуги от её параметра, называется параметрическим уравнением этой дуги. Подобным образом параметризуется и кривая, составленная из ряда простых дуг, и устанавливается её параметрическое уравнение. Итак, параметрическое уравнение кривой выражает такую зависимость радиус-вектора от её точки, от параметра, для которой кривая является годографом.

Размещено на Allbest.ru