Елементи теорії множин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обсяг поняття. Елементи теорії множин

Зупинимося на другому елементові логічної структури поняття, на обсязі поняття.

Об с я г о м поняття називається множина предметів, кожен з яких є носієм ознак, що складають зміст поняття.

Наприклад, до обсягу поняття "столиця" входять предмети: "Київ", "Варшава", "Париж" і т. д. Але до обсягу цього поняття не ввійдуть предмети: "Харків", "Краків", "Нью-Йорк" тощо, тому що жоден з цих предметів не є носієм ознаки "бути столичним містом".

Можна ще й так сказати: обсягом поняття слід вважати коло предметів, на які поширюється це поняття. Наприклад, обсяг поняття "шахрайство" складають всі конкретні випадки злочинів, які мають ознаки, що складають зміст цього поняття; об'єм поняття "держава" - всі держави; об'єм поняття "конституція" - всі конституції конкретних держав і т.д.

Всі предмети, які входять до обсягу поняття, утворюють логічний клас. Логічний клас складається із індивідів. Індивідом логічного класу називається носій власного імені. Наприклад, "Франція" є індивідом класу держав з республіканською формою правління; "викрадення картини Караваджіо "Поцілунок Іуди"" є індивідом класу крадіжок; "замах на Павла II" є індивідом обсягу поняття "замах на умисне вбивство" і т.д.

Для того щоб встановити належність певного предмету до об'єму поняття, слід простежити, чи є він носієм всіх ознак, що складають зміст поняття без жодного виключення.

Ця обставина має важливе значення в слідчій практиці при встановленні юридичної оцінки різноманітних правових явищ, особливо при кваліфікації злочинів. Наприклад, якщо конкретне протиправне діяння не має хоча б однієї ознаки, що входить до складу такого злочину, як "шахрайство", то воно не може бути кваліфіковане як шахрайство і, таким чином, включеним в об'єм цього поняття.

Як ви звернули увагу, у самому визначенні обсягу поняття фігурує термін "множина". Справа у тому, що обсягом будь-якого поняття є деяка множина, а тому це дає можливість вивчити природу обсягу поняття, змоделювати його структурні, функціональні особливості на такому об'єкті як множина. Тобто, надалі для нас обсягом поняття буде множина і ми будемо з нею поводитися як обсягом конкретних понять. Така точка зору зумовлює необхідність визначити такий об'єкт як множина і охарактеризувати основні її ознаки.

М н о ж и н о ю називається будь-яка сукупність визначених і розрізнюваних між собою об'єктів мислимих як єдине ціле. Множина - це абстракція, в якій кожний предмет, що входить до неї розглядається лише з точки зору тієї ознаки, яка дозволила включити його до свого складу. Тому предмети, що складають множину не розрізнювані між собою (їм приписуються одні й ті самі ознаки).

Наприклад, множина книг, множина держав, множина рослин тощо. Для кожного із предметів, що входять у перераховані множини характерним є те, що для них усіх притаманні ознаки на основі яких утворені ці множини: "бути книгою", "бути державою", "бути рослиною".

Можна сказати, що предмети, які входять до множини розрізняються між собою. Але це розрізнення один від одного відбувається не за властивостями і відношеннями, а за їх іменами. Так у множині держав кожний із предметів як носій ознаки "бути державою" не відрізняється від іншого, але відрізняється як індивідуальність, як носій власного імені ("Україна", "Франція", "Аргентина" тощо).

Предмети, що належать до певної множини називаються елементами. Позначають їх малими буквами латинського алфавіту -

Множина, яка містить кінцеве число елементів називається скінченною (наприклад, множина планет Сонячної системи; множина формально-логічних законів тощо). А множина, яка має нескінченне число елементів називається нескінченою (наприклад, множина чисел, множина зірок, тощо).

Оскільки множини можуть складатися з об'єктів різноманітної природи це визначає їх універсальний характер і, як наслідок, дає можливість застосовувати їх в різноманітних галузях (математиці, біології, лінгвістиці тощо), а не тільки в логіці.

Між множиною та її елементом існує відношення належності. Належати до множини це означає бути носієм ознаки, на підставі якої ця множина утворена. Відношення належності позначається

Існує два найуживаніших способи задання множин. Перший полягає у простому перерахуванні елементів, що складають дану множину. Наприклад, множина арифметичних дій, множина планет Сонячної системи тощо. Відповідно записується: А = {х1, х2, х3, х.4}, В = {х1, х2, х3,... х9}.

Отже, цей спосіб ефективний, коли мають справу із скінченними множинами. Коли ж розглядаються нескінченні множини, той цей спосіб не підходить. У цих випадках користуються іншим способом, який полягає у заданні множини через характеристичну властивість. Характеристичною називається властивість, яка належить будь-якому елементу даної множини, і не належить жодному предмету, що не входить до неї. Записується це так:

Спеціально необхідно виділити універсальну множину, тобто множину, яка складається із усіх елементів досліджуваної предметної області. Позначається універсальна множина буквою "II", а графічно зображується множиною точок у середині прямокутника:

Окрім універсальної множини виділяють порожню множину, тобто множину, яка не містить жодного елемента (наприклад, "дерево, яке проводить електричний струм", "метал, який легший повітря" тощо). Позначається порожня множина символом: и.

Будь-яку частину множини називають підмножиною. Якщо універсальну множину задати характеристичною властивістю Q:

то множини А, В, С що є частинами універсальної множини и визначаються властивостями відповідно:

Якщо властивості, якими задані деяка множина і її підмножини співпадають, то ці множини будуть рівні. У цьому випадку говорять, що множина є частиною самої себе, або повною частиною. А у тому випадку, якщо властивість, якою задається деяка підмножина суперечить властивості за допомогою якої задана сама множина, то така підмножина буде порожньою. Тому порожня підмножина є частиною будь-якої множини, її ще називають "порожньою частиною".

Повна і порожня частини називаються невласними підмножинами. Решта підмножин є власними.

За формулою 2n можна вирахувати кількість підмножин будь-якої множини. (2 вказує на кількість невласних підмножин: саму множину, як частину самої себе; і порожню множину и, а п - число елементів, що входить у множину. Наприклад, маємо множину "А" із трьох елементів (1, 2, 3}. Застосуємо формулу 2n для визначення кількості підмножин цієї множини: 23 = 8. Запишемо всі підмножини множини "А":

Відношення включення буває двох видів:

а) включення в широкому смислі, і

б) включення у вузькому смислі.

"А" включається у "В" в широкому смислі тоді і тільки тоді, коли "А" включається у "В" і не виключено, що "А = В". Ця ситуація записується так:

Як уже зазначалося, зміст поняття відображає властивості предметів або відношення між ними. Коли предмет позначити через "х", а його властивість через "Q", то обсягом поняття буде множина, кожний елемент якої будучи підставлений на місце "х" у формулі "Q(х)" даватиме істинне судження.

Наприклад, нехай у формулі "Q(х)" - Q - представляє властивість "бути планетою", тоді замість "х" можна підставити імена предметів: "Земля", "Марс", "Юпітер", тощо, і при цьому отримаємо істинні судження ("Земля - планета", "Марс - планета", "Юпітер - планета" тощо).

- "кожний предмет такий, що коли він є елементом обсягу поняття, то йому належить ознака, що складає зміст цього поняття".

Якщо врахувати все це і звернутися до понятійної функції, то стає очевидним, що обсягом поняття є значення понятійної функції:

Закон оберненого відношення між змістом та обсягом поняття

Оскільки, обсяги понять - це множини, то усі відношення між множинами і операції над ними можна застосувати до обсягів понять. Наприклад, візьмемо поняття "підручник" - х А(х) і поняття "книга" - х В(х).

множина поняття обернений відношення

"Якщо обсяг поняття х А(х) включається до обсягу поняття х В(х), то для будь-якого предмета "х" вірно, що коли "х" є елемент обсягу поняття х А(х), то він також є елементом обсягу поняття х В(х).

З попередньої характеристики обсягу поняття відомо, що коли предмет "х" є елементом обсягу поняття х А(х), то він є носієм змісту поняття х А(х).

Отже справедливою є рівність:

- відношення між змістами цих понять.

Сам закон читається так: "Якщо обсяг одного поняття повністю включається до обсягу іншого поняття, то із змісту поняття, що включається логічно випливає зміст поняття, що включає".

Іншими словами, цей закон вказує на те, що чим, більший зміст поняття, тим вужчий обсяг цього поняття. І навпаки, чим, вужчий зміст поняття, тим ширший обсяг даного поняттям.

Наприклад, візьмемо поняття "держава" - обсяг цього поняття досить широкий, оскільки включає у себе весь клас держав, додамо до нього більше змісту і отримаємо поняття "європейська держава", тобто ми збільшили зміст поняття "держава", але цим самим обсяг його зменшили. Таким же чином цей закон діє і у зворотному порядку.

Види понять

Після аналізу логічної структури поняття буде доречним розглянути види понять. Всю множину понять можна розбити на декілька підмножин:

- за кількістю елементів обсягу;

- за характером елементів обсягу;

- за типом елементів обсягу;

- за характером ознак, що складають зміст поняття.

За кількістю елементів обсягу, поняття поділяються на пусті (нульові) і непусті. Непусті поділяються на одиничні і загальні.

П о р о ж н і м називається поняття у обсязі якого немає жодного елементу. Наприклад, "кентавр", "вічний двигун", "абсолютно тверде тіло", "ідеальна конституція" тощо.

Порожнеча поняття може бути зумовлена двома обставинами:

а) фактичною хибністю змісту поняття;

б) логічною хибністю змісту поняття.

Розглянемо по черзі. Якщо ознаки, що складають зміст поняття такі, що не можуть належати предметам, які узагальнюються у понятті, то отримують пусте поняття першого роду. Наприклад, "житель Місяця", "електропровідне дерево" тощо.

Якщо ж між ознаками, що складають зміст поняття має місце відношення логічного протиріччя, тоді це пусте поняття другого роду. Наприклад, "житель Києва, який ніколи не жив у Києві", "круглий квадрат", "демократичний тиран" тощо. Мовою символів структуру такого поняття можна записати таким способом:

Серед непустих понять виділяють одиничні і загальні.

О д и н и ч н и м називається поняття, у обсязі якого узагальнюється один предмет. Наприклад, "Засновник логіки", "столиця Франції", "Перший Президент України" тощо.

З а г а л ь н и м називається поняття, у обсязі якого узагальнюється більше ніж один предмет. Наприклад, "столиця", "підручник", "трикутник", "злочин", "правова норма", "юридична особа", "правочин" тощо.

За характером елементів обсягу, поняття поділяються на збірні і незбірні.

З б і р н и м називається поняття, у обсязі якого узагальнюються не окремі предмети, а деякі множини, що мисляться як окремі предмети. Наприклад, "колектив", "сузір'я", "список студентів", "бібліотека", "ліс" тощо. Елементами обсягу збірного поняття "сузір'я" є не окремі предмети (зірки), а одиничні множини: "сузір'я Лева", "сузір'я Рака" тощо.

Н е з б і р н и м називається поняття у обсязі якого узагальнюються окремі предмети. Наприклад, "злочин", "студент", "трикутник" тощо.

Збірні поняття можуть бути одиничними ("наукова бібліотека Київського університету імені Т.Шевченка", "Голосіївський ліс" тощо) і загальними ("футбольна команда", "суддівська колегія" тощо).

Треба мати на увазі, що збірними і незбірними, як і одиничними і загальними, можуть бути тільки непусті поняття.

За типом елементів обсягу, розрізняють конкретні і абстрактні поняття.

К о н к р е т н и м називається поняття, у обсязі якого узагальнюються предмети або їх упорядковані сукупності. Наприклад, "книги", "рослина", "сучасник" тощо.

А б с т р а к т н и м називається поняття, у обсязі якого узагальнюється властивості предметів. Наприклад, "талант", "успішність", "одночасність" тощо.

За характером ознак, що складають зміст поняття виділяють позитивні та негативні, співвідносні та безвідносні.

П о з и т и в н и м називається поняття, зміст якого складається із позитивних ознак, або у назві якого є вказівка на наявність певної ознаки у предмета. Наприклад, "старанний студент", "успішність", "провідник електричного струму", "історизм" тощо.

Н е г а т и в н и м називається поняття, у змісті якого є негативні ознаки, або в назві якого міститься вказівка на відсутність якоїсь ознаки у предмета. Наприклад, "антиісторизм", "безвідповідальність", "іногородній" тощо.

С п і в в і д н о с н и м називається поняття, зміст якого немає автономного смислу, тобто зміст якого є осмисленим тоді і тільки тоді, коли воно похідне відносно будь-якого іншого поняття. Наприклад, "кінець занять" - "початок занять", "батьки" - "діти", "причина" - "наслідок", "учитель" - "учень", "позивач" - "відповідач", "злочин" - "кара", "боржник" - "кредитор" тощо).

Б е з в і д н о с н и м и називаються поняття, зміст яких має самостійний автономний смисл. Наприклад, "геометрична фігура", "університет", "злочин", "договір", "норма права", "необхідна оборона", "вина" тощо.

Таким чином, поділ понять за кількістю елементів обсягу і за характером елементів обсягу називають екстенсіональним. У літературі цей поділ іноді називають "види понять за обсягом". А поділ понять за типом елементів обсягу і за характером ознак, що складають зміст поняття називають інтенсіональним. У підручниках з логіки його іноді називають "поділом понять за змістом".

Але оскільки зміст і обсяг поняття взаємозв'язані (що знайшло своє відображення у законі оберненого відношення між змістом та обсягом поняття), то типологія понять за обсягом чи за змістом у значній мірі є умовною. Визначення виду поняття завжди передбачає урахування обсягових і змістовних характеристик. Треба мати на увазі, що підстави поділу понять на види не виключають одна одну. Тому коли здійснюють логічну характеристику поняття, то враховують кожну із чотирьох підстав.

Дати логічну характеристику поняття означає визначити до яких видів належить певне поняття. Наприклад, необхідно дати логічну характеристику поняття "злочин". Для цього необхідно співставити це поняття із кожною з чотирьох підстав. Отже, дане поняття - 1) загальне, 2) незбірне, 3) конкретне, 4) безвідносне.

Размещено на Allbest.ru