Числовые ряды
Определения, понятия и элементарные свойства сходящихся числовых рядов. Необходимое условие и достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда. Признаки сравнения; признаки Даламбера, Коши. Исследование знакопеременных рядов; теорема Лейбница.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.07.2017 |
| Размер файла | 123,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.Allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
Конспект лекций
по теме:
«Числовые ряды»
Волгодонск
Числовые ряды
Определение: Рассмотрим бесконечную числовую последовательность: числовым рядом называется выражение
,
где - общий член ряда.
Пример:
- знакоположительный ряд
- знакочередующийся ряд
Последовательность , где
;; - последовательность частичных сумм ряда.
Каждая частичная сумма содержит конечное число слагаемых.
Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный
, то ряд называется расходящимся и суммы S не имеют.
1) Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии
,
где n - частичная сумма ряда - сумма n первых членов геометрической прогрессии.
Рассмотрим 3 случая:
1) геометрическая прогрессия убывающая.
сходится и имеет сумму
2)
3)
= не существует - ряд расходится.
Вывод: ряд из членов геометрической прогрессии сходится если и расходится
Элементарные свойства рядов
1) Если (1) сходится и имеет сумму S, то (2) тоже сходится, и имеет сумму CS, где С - const.
Доказательство: Пусть , n-я частичная сумма 1 ряда.
,
n-я частичная сумма 2 ряда
Т.к. 1 ряд сходится, то
Рассмотрим (2) ряд сходится.
Конец доказательства.
2) Если (1) сходится с суммой S1, и (2) сходится с суммой S2.
тоже сходится с суммой .
Доказательство:
Обозначим - n - частичная сумма 1 ряда.
- n - частичная сумма 2 ряда.
Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда
и сумма .
Конец доказательства
3) Любой ряд может быть представлен в виде:
,
где - n - частичная сумма
- n - остаток ряда.
n - остаток ряда тоже является рядом.
Если , то и его остаток тоже сходится.
Доказательство: доказательство этого факта следует из того, что сумма ряда и сумма его остатка отличаются друг от друга на конечное число cлагаемых.
Конец доказательства.
Следствие: на сходимость ряда не влияет отбрасывание или приписывание в начало ряда конечного числа членов, например: 1+3+9+27+…
Дописывание: 1/9+1/3+1+3+9+27+.. отбрасывание: 1+3+5+7+9+11
4) Если сходится с суммой S.
Общий вывод: на практике необязательно выяснять сходимость ряда по определению (вычисляя сумму S). Достаточно просто знать сходится этот ряд или расходится, поэтому, основное место в теории рядов занимают теоремы - признаки сходимости, которые позволяют исследовать ряд на сходимость, не вычисляя его суммы.
Признаки сходимости
Необходимый признак сходимости:
Если сходится, то общий член
Доказательство:
Пусть - n - частичная сумма
- число.
При ,тоже и - n-1 - частичная сумма
Она имеет предел
Т.к
конец доказательства.
Необходимый признак сходимости неудобен на практике, т.к. по поведению общего члена Un на бесконечности нельзя судить о сходимости ряда. На практике удобно пользоваться достаточным признаком расходимости ряда:
Если не стремится к 0 при
Примеры:
1)
2)
Числовые ряды с положительными членами
Рассмотрим знакоположительный числовой ряд , где
Последовательность частичных сумм такого ряда будет всегда возрастающей:
На 1 курсе была доказана теорема о том, что: монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху имеет конечный предел.
- число
Для знакоположительного ряда достаточно доказать, что, последовательность частичных сумм ограничена сверху числом (возрастание и так есть).
1й признак сравнения
Дано 2 ряда с положительными членами (1) и (2) и начиная с некоторого номера N выполняется неравенство , тогда если (2) сходится то и (1) сходится. Если (1) расходится то и (2) тоже расходится, (ряд меньший сходящегося тоже сходится, ряд больший расходящегося тоже расходится).
Доказательство: Обозначим через - n - частичная сумма 1 ряда и - n - частичная сумма 2 ряда.
Т.к . Пусть 2 ряд сходится, тогда , причём ограничена сверху числом (1) сходится.
Пусть 1 ряд расходится , т.к. расходится.
Конец доказательства
Замечание: при доказательстве этого признака мы считали, что неравенство выполняется с 1 номера. Этот факт не влияет на сходимость, т.к. по свойству рядов отбрасывание n - первых членов ряда на сходимость ряда не влияет.
Для сравнения необходим стандартный набор рядов, о сходимости всё известно. К таким рядам относятся:
|
Ряды для сравнения: |
||
Ряды членов геометрической прогрессии: |
Обобщенно гармонический ряд:(строгое доказательство будет проведено после интегрального признака сходимости) |
Примеры:
1)
2)
3)
2й признак сравнения (предельный)
Дано 2 ряда с положительными членами (1) и (2) и - число (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.
Доказательство:
- число по определению предела последовательности:
с которого
Пусть (2) сходится, тогда сходится и
Из правой части следует, что (1) ряд меньше сходящегося ряда по 1 признаку сравнения (1) сходится
Пусть (2) расходится выберем настолько малым, чтобы оставалось >0, для знакоположительности ряда - расходится. Из левой части (*) (1) ряд>ряда расходящегося по I признаку сравнения (1) ряд расходится.
Конец доказательства.
Примеры:
1)
2)
3)
числовой сходимость даламбер коши лейбниц
Признак сходимости Даламбера
Дан ряд с положительными членами и
Если - сходиться
Если - расходиться
Если - вопрос о сходимости не решен.
Доказательство:
, начиная с которого
1) Пусть D<1 выберем настолько малым, чтобы обозначим
рассмотрим правую часть
Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии , т.к. ряд q<1этот ряд сходится.
Т.к. исходный ряд меньше сходящегося ряда из членов меньшего ряда, то исходный ряд сходится по I признаку сравнения.
2) Пусть D>1 выберем настолько малым, чтобы >1<(D-) из левой части >, следовательно, члены ряда растут не стремится к 0 , ряд расходится по достаточному признаку расходимости.
3) D = 1
Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда - расходится и - сходится.
Для D=
Для D=
При D = 1 ряд может сходиться или расходиться и вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Конец доказательства.
Примеры:
1)
2)
3)
Радикальный признак Коши
Дан ряд с положительными членами и
Если - сходится
Если - расходится
Если - вопрос о сходимости не решен
Доказательство:
по определению , начиная с которого
1) Пусть С<1 выберем настолько малым, чтобы , тогда из правой части <, ряд , где q<1 сходится как ряд из членов геометрической прогрессии, со знаменателем <1, тогда исходный ряд сходится по I признаку сравнения, т.к. его члены меньше членов сходящегося ряда.
2) Пусть С>1 выберем настолько малым, чтобы >1 из левой части >;(q>1) расходится, как ряд из членов геометрической прогрессии, расходится по I признаку сравнения, т.к. его члены больше членов сходящегося ряда.
3) С = 1. Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда - расходится (p = 1) и - сходится (p = 2>1) и покажем, что С = 1.
Таким образом, при С=1 ряд может как сходится так и расходится.
Конец доказательства.
Примеры:
1)
2)
3)
Интегральный признак Коши
Дан ряд с положительными членами , что () и функция f(x) - положительная и убывающая, связанная с рядом равенством f(n)= . Тогда несобственный интеграл и сходится и расходится одновременно.
Доказательство: f(n) = Un
Размещено на http://www.Allbest.ru/
n
S ступенчатой фигуры над рядом (f(x))
- n частичная сумма ряда.
S ступенчатой фигуры под графиком функции f(x)
- n+1 частичная сумма ряда.
очевидно неравенство
Пусть несобственный интеграл сходится
Из левой части <числа - ограничена сверху числом - сходится.
Пусть расходится из правой части (*) неограничен ряд расходится.
Конец доказательства.
Докажем, с помощью интегрального признака Коши, что обобщенно-гармонический ряд:
свяжем с эти рядом несобственный интеграл
(доказано в несобственном интеграле) исходный несобственный интеграл сходится или расходится одновременно.
Примеры:
1)
2)
Знакочередующиеся числовые ряды
Ряд вида , где Un>0 называется знакочередующимся числовым рядом. Un - общий член. Положительный и отрицательный член ряда чередуются по знакам через один.
Для знакочередующихся числовых рядов справедлива теорема Лейбница - достаточное условие сходимости такого ряда.
Теорема Лейбница: Дан знакочередующийся числовой ряд - члены которого:
1) Убывают ()
2) , т.е
ряд сходится и его сумма S удовлетворяет неравенству 0<S< U1
Доказательство:
Рассмотрим четную частичную сумму ряда:
>0
перепишем по-другому
Последовательность четных частичных сумм возрастает и ограничена сверху U1, поэтому существует (по теореме о предельном переходе в неравенствах: 0<S< U1)
Рассмотрим нечетную частичную сумму ряда
перейдём к
Конец доказательства.
Следствие: т.к. , где - n-й остаток ряда, т.е. с помощью теоремы Лейбница появляется возможность оценить погрешность (остаток ) возникающую при замене суммы ряда его частичной суммой.
Т.к. n остаток ряда - тоже является рядом из чередующихся чисел, то
Определение: Числовые ряды, в которых члены произвольны по знакам называется знакопеременными рядами. Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Для знакопеременных рядов очень трудно установить сходимость, но можно рассмотреть ряд из модулей (отбросить знаки). Такой ряд будет знакоположительным.
Для знакопеременного ряда справедлива следующая теорема:
Пусть - знакопеременный числовой ряд. Ряд из - соответствующий ему ряд из модулей.
Если сходится то и тоже сходится.
Доказательство: обозначим - сумма положительных слагаемых
сумма отрицательных слагаемых.
n частичная сумма ряда из модулей.
Т.к ряд сходящийся, то и
Рассмотрим n частичную сумму ряда
- сходится.
Определение: Дан знакопеременный числовой ряд Если ряд из модулей - сходится, то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся. Если - расходится, а ряд все таки сходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.
При исследовании знакопеременного ряда на абсолютную сходимость нужно проверить следующие условия:
1) , если не стремится, то ряд расходится и исследование окончено.
2) На абсолютную сходимость заменим рядом из модулей. К ряду из модулей можно применять I и II признаки сравнения, признаки Даламбера, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши.
Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Исследование можно закончить.
3) На условную сходимость по теореме Лейбница: и
Примеры:
1)
2)
3)
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Описание признака сходимости числовых рядов Даламбера, решение задач на исследование сходимости. Формулировка радикального признака сходимости Коши знакоположительного ряда в предельной форме. Доказательство знакочередующихся и знакопеременных рядов.
реферат [190,9 K], добавлен 06.12.2010Решение неравенств и определение области сходимости рядов по признаку Даламбера и теореме Лейбница для знакопеременных рядов. Условия и пределы сходимости ряда. Исследование границ интервала. Проверка условия Лейбница при знакочередующемся ряде.
контрольная работа [127,2 K], добавлен 07.09.2010Изучение понятия числового ряда и его суммы. Особенности сходящихся и расходящихся рядов. Число e, как сумма ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Алгебраические операции и сходимость. Ряды с неотрицательными членами. Интегральный признак Коши-Маклорена.
методичка [514,1 K], добавлен 26.06.2010Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010Определение условий сходимости положительного ряда и описание свойств гармонических рядов Дирихле. Изучение теорем сравнения рядов и описание схемы Куммера для вывода из нее признаков сравнения ряда. Вывод признаков сравнения Даламбера, Раабе и Бертрана.
курсовая работа [263,6 K], добавлен 14.06.2015Рассмотрение особенностей сравнения рядов. Характеристика признаков сходимости Даламбера. Критерий Коши как ряд утверждений в математическом анализе. Анализ геометрической интерпретации интегрального признака. Способы определения сумы числового ряда.
контрольная работа [214,6 K], добавлен 01.03.2013Основные понятия числового и знакопеременного ряда. Необходимые и достаточные признаки сходимости. Признак Лейбница. Исследование на абсолютную и условную сходимость ряда. Действия с суммой бесконечного числа слагаемых, расстановка скобок. Формула Эйлера.
курсовая работа [501,8 K], добавлен 12.06.2014Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
реферат [89,3 K], добавлен 08.06.2010Первое упоминание и использование числового ряда, его понятие и структура, этапы и направления дальнейшего исследования. Задачи, приводящие к понятию числового ряда и те, в которых он использовался. Признак Даламбера и Коши, Маклорена и сравнения.
курсовая работа [114,2 K], добавлен 01.10.2014
