Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию РФ

ГОУВПО

Воронежский государственный технический университет

Факультет автоматизации и роботизации машиностроения

Кафедра компьютерных интеллектуальных технологий проектирования

Курсовая работа

по дисциплине «Математический анализ»

Тема:

Тройной интеграл

Воронеж 2011

Оглавление

• 1. Тройной Интеграл
• 2. Свойства тройного интеграла
• 3. Тройной интеграл в цилиндрической системе координат
• 4. Тройной интеграл в сферической системе координат
• 5. Приложение тройного интеграла
• Литература
• 1. Тройной интеграл
• Чтобы ввести понятие тройного интеграла, предварительно рассмотрим задачу о нахождении массы тела переменной плотности
• Пусть в системе координат Оxyz (рис. 1) задано некоторое ограниченное тело U с переменной плотностью г = f(x;y;z) > 0, (x;y;z) U.
• Требуется приближенно вычислить массу этого тела.
• Рис. 1
• Для этого разрежем это тело на n" достаточно мелких частей" ДUi, i = 1, 2, ..., n.
• Внутри этого "кусочка" можно принять, что г ? const = f (Mi), где Mi(x;y;z) - некая "средняя" точка в ДUi.
• Обозначим объём "кусочка" ДUi через ДVi, тогда масса "кусочка" ДMi: ДMi ? f (Mi) · ДVi.А для всего тела:
• - получена интегральная сумма.
• Затем переходим к пределу при n > ? и ДVi 0, i = 1, 2, ..., n и получаем:
• Если предел интегральной суммы существует, то он называется тройным интегралом от функции f(x; y; z) по объему U и обозначается:
• После этого можно сформулировать более точное и общее определение тройного интеграла.
• Определение 1
• Пусть f(x; y; z), (x; y; z) U - произвольная функция трех переменных, U - ограниченная трехмерная область
• Разобьем U произвольным образом на части ДU1, ДU2, ..., ДUn. В каждой из них возьмем произвольную точку Mi(xi;yi;zi) Ui и составим интегральную сумму:
• Если существует предел интегральной суммы:
• не зависящий от способа разбиения U на n частей ДU1, ДU2, ..., ДUn, а также от произвола в выборе точек Mi Ui, то этот предел I обозначается через и называется тройным интегралом от функции f(x; y; z) по объёму U. При этом функция f(x; y; z)называется интегрируемой по U.
• Теорема 2
• Если f(x; y; z), (x; y; z) U непрерывна, то она интегрируема по U.
• Определение 2
• Тройные интегралы от непрерывных функций называются собственными тройными интегралами (или просто тройными интегралами), а тройные интегралы от разрывных функций - несобственными тройными интегралами.

1. Физический смысл тройного интеграла

Если f(x; y; z) > 0 на U, то масса M тела переменной плотности г = f(x; y; z) вычисляется по формуле:

2. Объём тела

Доказательство

Так как f(x; y; z) = I > 0 на U, то - масса тела с плотностью г = 1. Поэтому M = г · V = 1 · V = V. В итоге I = V, что и требовалось доказать.

3.

4.

5. Если U = U1 U2, где U1 и U2 не пересекаются, то

6. Если известны наименьшее m и наибольшее M значения непрерывной функцииf(x;y;z), (x;y;z) U в области U, то тройной интеграл оценивается так:

7. Теорема 2. (о среднем значении для тройного интеграла):

где M* - некая "средняя" точка области U,

f(x; y; z) - непрерывна в U.

Доказательство

Используем свойство (6):

Число I/U - является промежуточным значением непрерывной функции f(x; y; z), поэтому существует точка M*, такая, что

в итоге ,

что и требовалось доказать.

3. Тройной интеграл в цилиндрической системе координат

Рассмотрим цилиндрическую систему координат: Оrцz, которая совмещена с декартовой системой координат Оxyz (Рис. 2).

При этом

Рис. 2

тройной интеграл функция цилиндрический сферический

Вычислим Якобиан перехода от декартовой системы к цилиндрической:

Следовательно,

Тогда тройной интеграл примет вид:

Пример 1

Найти объём тела, ограниченного: x2 + y2 + z2 = 8, z = , (z ? 0).

Решение

Имеем: x2 + y2 + z2 = 8 - сфера радиуса R = v8, с центром в точке O(000), z=- верхняя часть конуса z2 = x2 + y2 с осью симметрии Оz и вершиной в точке O (рис. 3).

Рис. 3

Найдем линию пересечения сферы и конуса:

И так как по условию z ? 0, то

- окружность R = 2, лежащая в плоскости z = 2.

Поэтому

Где область U ограничена сверху (часть сферы), снизу - (часть конуса); область U проектируется на плоскости Оху в область D - круг радиуса 2.

Следовательно, целесообразно перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатам, используя формулы:

Пределы изменения ц, r находим по области D - полный круг R = 2 с центром в точке O, тем самым: 0 ? ц ? 2р, 0 ? r ? 2. Таким образом, область U в цилиндрических координатах задается следующими неравенствами:

Тогда

Заметим, что

Тогда

Ответ:

4. Тройной интеграл в сферической системе координат

Рассмотрим сферическую систему координат

ОсИц, совмещённую с декартовой системой Оxyz. При этом максимальные пределы изменения сферических координат таковы: 0 ? ц ? 2р, 0 ? с ? ?

Из рис. нетрудно вывести следующие формулы, связывающие декартовые и сферические координаты:

с помощью которых получим преобразования:

Таким образом, переход к сферическим координатам в тройном интеграле осуществляется по формулам:

5. Приложение тройного интеграла

1. Вычисление объёма тела:

2. Вычисление массы тела переменной плотности г (x; y; z):

3. Координаты центра тяжести тела с постоянной плотностью:

4. Координаты центра тяжести тела с переменной плотностью г (x; y; z):

Пример

Найти массу тела с переменной плотностью , если тело U ограничено: , , , , .

Решение

Имеем:

Тело U ограничено: - сферой R = 1 с центром в точке O(0; 0; 0);

- сферой R = 4 с центром в точке O(0; 0; 0);

- верхней частью конуса z2 = x2 + y2 с осью симметрии Оz и вершиной в точке О; x = 0 - координатной плоскостью Оyz;y = 0 - координатной плоскостью Оxz;

При наличии двух сфер и конуса целесообразно перейти к сферическим координатам, подставляя формулы в каждое уравнение границ области U:

x ? 0, y ? 0 - первая четверть на плоскости ; то есть

Плотность в сферических координатах:

Тогда:

Ответ:

Размещено на Allbest.ru