Поверхности конгруэнции эквиаффинных образов окружности

Ключевые слова: конгруэнция, эквиаффинное преобразование, эллиптический поворот, параметрические уравнения, образующая, окружность.

Исследования, направленные на формообразование поверхностей, являются одними из ключевых для прикладной геометрии. С развитием технологий, открытием новых материалов и усовершенствованием методов расчетов инженеры, проектировщики, архитекторы и конструкторы всё больше используют нестандартные решения, требующие использования новых форм.

Главными критериями вновь создаваемых поверхностей являются: соответствие назначению, ясность задания образующих линий, в которые могу встраиваться задаваемые линии, легкость реализации в CAD, CAM и CAE системах. Последнему пункту наиболее отвечают параметрические модели [1].

Основной способ задания поверхностей в настоящее время - кинематический [2-4] и дискретный каркас, аппроксимируемый сплайновыми поверхностями [5]. Однако широко используются и другие способы: классические аналитические поверхности [6], метод качения [7,8], выделение поверхностей из конгруэнций [9-11].

Цель работы - разработать конструктивную схему конгруэнции эквиаффинных образов окружности, найти ее параметрические уравнения, а также синтезировать уравнения поверхности данной конгруэнции с произволом задания погружаемой в нее линии.

Представим следующую модель конгруэнции. Прообразом образующих линий конгруэнции является окружность переменного радиуса v с параметром точки на ней u, расположенная в плоскости XOY. Окружность подвергается эквиаффинному преобразованию - эллиптическому повороту [12] с переменным углом поворота цw. При этом плоскость преобразования окружности совершает поступательное движение вдоль оси OZ - hw. Таким образом, параметрические уравнения конгруэнции примут вид:

 (1)

где s - коэффициент растяжения-сжатия эллиптического поворота (), ц - угол поворота точки, h - аппликата плоскости, параллельной XOY, на которой точка завершает эллиптический поворот с заданными параметрами. Первые два параметра являются постоянными для данного эквиаффинного преобразования.

Стоит заметить, что сама окружность является линией конгруэнции только в частных случаях. В общем случае u-линии конгруэнции - это концентрические эквиаффинные образы окружности переменного радиуса - равновеликие ей эллипсы. То есть при фиксированном значении v=const получаем цилиндрическую поверхность с плоскостью параллелизма XOY, сечения которой представляют собой эллипсы с разным соотношением полуосей и углом поворота главных осей, но одинаковой площадью сечения. v-линии конгруэнции представляют собой прямые в плоскостях, параллельных плоскости XOY. w-линии конгруэнции являются винтообразными линиями, накрученными на эллиптический цилиндр.

С точки зрения конструирования поверхностей, интерес представляет конгруэнция u-линий. Тогда параметрами поверхности будут: u - параметр, определяющий положение точки на эквиаффинном отображении окружности, t - параметр положения точки на погружаемой линии.

Конгруэнция (1) имеет первый порядок, так как через произвольную точку пространства проходит только одна линия конгруэнции.

Конгруэнция не имеет фокальных линий.

Поверхность выделяется из u-конгруэнции (1) путем погружения в нее произвольной линии, выраженной уравнениями:

фокальный конгруэнция окружность эллиптический

 (2)

Выразив из уравнений (1) параметры v и w через x, y, z, получим:

(3)

Параметрические уравнения поверхностей u-конгруэнции синтезируем путем обратной подстановки выражений (3), в которых заменим x, y, z уравнениями погружаемой линии (2), в уравнения (1):

(4)

Ограничения, накладываемые на параметры поверхностей (4): .

Как видно из уравнений (4), если z_l = const, то поверхность вырождается в плоское поле.

На рис. 1 приведены примеры поверхностей (4):

Рис.1а - поверхность образована погружением прямой, проходящей через точки (0,0,0) и (1,1,4). Параметры конгруэнции:

.

Рис.1б - поверхность образована погружением эллипса с параметрами , расположенного в плоскости . Параметры конгруэнции:

Рис.1в - поверхность образована погружением цилиндрической линии с параметрами формы . Параметры конгруэнции:

Рис. 1. Примеры поверхностей конгруэнции эквиаффинных образов окружности

В статье были получены параметрические уравнения конгруэнции эквиаффинных образов окружности и ее поверхностей. Уравнения поверхностей представлены с произволом задания погружаемой линии. Таким образом, уравнения (4) могут задавать множество поверхностей, форма которых будет зависеть от типа и расположения погружаемой линии, что показано в примерах. Данные поверхности могут быть использованы в дизайне и архитектуре тонких оболочек.

Литература

1. Сальков Н.А. Параметрическая геометрия в геометрическом моделировании // Геометрия и графика. 2014. №3. С. 7-13. DOI: 10.12737/6519.

2. Barton M., Shi L., Kilian M., Wallner J., Pottmann H. Circular arc snakes and kinematic surface generation // Computer Graphics Forum “Eurographics”. 2013. DOI:10.1111/cgf.12020.

3. Bo P., Pottmann H., Kilian M., Wang W., Wallner J.: Circular arc structures // ACM Trans. Graphics “SIGGRAPH”, 2011. DOI:10.1145/ 1964921.1964996.

4. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований). М.: Машиностроение, 1987. 192 с.

5. Замятин А.В., Кубарев А.Е., Замятина Е.А. Алгоритм аппроксимации поверхности сплайнами // Науковедение. 2012. № 3 (12). URL: naukovedenie.ru/sbornik12/12-90.pdf

6. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. М.: Либроком, 2010. 560 с.

7. Рачковская Г.С. Математическое моделирование и компьютерная визуализации сложных геометрических форм // Инженерный вестник Дона. 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1498

8. Замятин А.В. Развитие каркасно-кинематического метода для формообразования сложно-структурированных поверхностей: дис. … докт. техн. наук: 05.01.01. Ростов-на-Дону, 2013. 307 с.

9. Михайленко В.Е., Обухова В.С., Подгорный А.Л. Формообразование оболочек в архитектуре. Киев: Будівельник, 1972. 208 с.

10. Кокарева Я.А. Параметрические уравнения конгруэнции прямых, заданной фокальными окружностями // Научное обозрение. 2014. №11. С. 689-692.

11. Кокарева Я.А. Линейчатая поверхность эквиаффинных сечений // Инженерный вестник Дона. 2015. №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2015/3355.

12. Цвицинский И.В. Конструктивное исследование однопараметрических групп преобразований. Кишинев: Издательство «Штиинца», 1977. 82 с.

Размещено на Allbest.ru