Моделирование 3-ткани для минимальных поверхностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделирование 3-ткани для минимальных поверхностей

Ю.М. Бельченко

Н.М. Шумун

Аннотация

В пространстве задана некоторая замкнутая кривая; среди всех возможных поверхностей, проходящих через эту кривую, найти такую, для которой часть её, заключённая внутри кривой, имела бы наименьшую площадь. Кривизна произвольной кривой на поверхности в заданной ее точке равна кривизне плоского сечения поверхности соприкасающейся плоскостью кривой.

Ключевые слова: минимальные поверхности, моделирование, 3-ткань, кривизна поверхности, уравнение средней кривизны.

Минимальными называются поверхности, у которых средняя кривизна во всех точках равна нулю. Минимальные поверхности появляются при решении следующей вариационной задачи: в пространстве задана некоторая замкнутая кривая; среди всех возможных поверхностей, проходящих через эту кривую, найти такую, для которой часть её, заключённая внутри кривой, имела бы наименьшую площадь.

Условие равенства 0 средней кривизны не является достаточным, т. е. не гарантирует минимума площади, однако впоследствии название "минимальные поверхности" было сохранено за всякой поверхностью с нулевой средней кривизной. Если предположить поверхность заданной явным уравнением , то, приравнивая нулю выражение для средней кривизны, приходят к дифференциальному уравнению с частными производными 2-го порядка:

,

где

, , , , .

Примерами минимальных поверхностей могут служить: обыкновенная винтовая поверхность, катеноид - единственная вещественная; среди поверхностей вращения - "поверхность Шерка", имеющее уравнение вида:

.

Условие минимальности поверхности определяется уравнением

,

где G, E, F - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности,

D, D?, D?? - коэффициенты второй квадратичной формы поверхности.

Заявленная задача сформулирована следующим образом. Пространственную кривую перекрываем 3-тканью. Определим условие, при котором полученная поверхность будет минимальной.

Выберем в качестве направляющей кривую Вивиани (линия пересечение сферы и кругового цилиндра) (рис. 1).

Рис. 1. - Чертеж кривой Вивиани

Уравнение кривой Вивиани имеет вид:

,

,

,

где - радиус сферы.

Рассмотрим пространственную 3-ткань с независимыми дифференциальными операторами

, (1)

где j =1, 2, 3.

В каждой точке поверхности пересекаются три кривые разных семейств 3-ткани (рис. 2). кривизна катеноид квадратичный

Рис. 2. - Три-ткань на поверхности

Средняя кривизна такой поверхности должна быть равна 0 по определению минимальной поверхности. Выражение средней кривизны для 3-ткани запишется так:

, (2)

где k1, k2, k3 - главные кривизны линий 1-го, 2-го и 3-го семейств.

Если записать выражение средней кривизны поверхности через коэффициенты 1-й и 2-й квадратичных форм, то оно выглядит следующим образом:

.Для того, чтобы выполнялись условия уравнения (2), необходимо, чтобы соблюдалось условие:

.

Тогда возможны следующие варианты выполнения такого условия:

1) ;

2) ;

3) .

Однако, известна теорема: "Все кривые, проходящие через данную точку поверхности с общей касательной и общей соприкасающейся плоскостью, имеют одну и те же кривизну".

Следовательно, кривизна произвольной кривой на поверхности в заданной ее точке равна кривизне плоского сечения поверхности соприкасающейся плоскостью кривой.

Для нашего случая в точке М 3-ткани (рис. 2) кривизна k3 линии 3-го семейства будет равна кривизне k2 линии 2-го семейства. Таким образом, из рассмотренных выше вариантов нужно выбрать следующий:

. (3)

Из уравнения (1) можно составить систему

Если задать 3-ткань функцией W (u1, u2, u3) в области ее определения уравнением

,

тогда кривизну можно вычислить из уравнений

Или

,

,

.

Учитывая уравнение (3), условие минимальности поверхности запишем следующим образом

,

.

Литература

1. Бельченко Ю.М., Шумун Н.М. Конструирование плоскостей на базе плоской шестиугольной 3-ткани // Инженерный вестник Дона, 2015, №2 (часть 2). URL: ivdon.ru/magazine/archive/ n2p2y2015/2884/.

2. Рачковская Г.С. Математическое моделирование кинематических линейчатых поверхностей на основе однополостного гиперболоида вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов // Инженерный вестник Дона. 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1499.

3. Рачковская Г.С. Математическое моделирование и компьютерная визуализации сложных геометрических форм // Инженерный вестник Дона. 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1498.

4. Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1987. 312 с.

5. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometric model of kinematic surfaces on the base of one-sheet hyperboloidal surfaces of revolution (one fixed axoid is located in the interior of another axoid). Japan: 14th International Conference on Geometry and Graphics, 2010, 385 p.

6. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometrical model and computer graphics of kinematic ruled surfaces on the base of pairs axoids: torse - cone and cone - torse. Canada, Toronto: 15th International Conference on Geometry and Graphics, 2012, 415 p.

7. Жан Гастон Дарбу Лекции по общей теории поверхностей и геометрические приложения анализа бесконечно малых. В 4 томах. Том 1. Общие понятия. Криволинейные координаты. Минимальные поверхности. М.: Институт компьютерных исследований, 2013. 620 с.

8. Толстихина Г.А. Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размермерностей: автореф. дис. д-р физ.-мат. наук: 01.01.04. - Казань, 2007. - 29 с.

9. Пиджакова Л.М. Три-ткани с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.04. - Тверь, 2009. - 20 с.

10. Гольдберг В.В. О существовании паратактических три-тканей // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2008. - №4 (551). - С. 22-27.

References

1. Bel'chenko Ju.M., Shumun N.M. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №2 (chast' 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/2884/.

2. Rachkovskaya G.S. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1499/.

3. Rachkovskaya G. S. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1498/.

4. Dao Chong Thi, Fomenko A.T. Minimal'nye poverhnosti i problema Plato. M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat.lit., 1987. 312 p.

5. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometric model of kinematic surfaces on the base of one-sheet hyperboloidal surfaces of revolution (one fixed axoid is located in the interior of another axoid). Japan: 14th International Conference on Geometry and Graphics, 2010, 385 p.

6. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometrical model and computer graphics of kinematic ruled surfaces on the base of pairs axoids: torse - cone and cone - torse. Canada, Toronto: 15th International Conference on Geometry and Graphics, 2012, 415 p.

7. Darbu Zh.G. Lekcii po obshhej teorii poverhnostej i geometricheskie prilozhenija analiza beskonechno malyh. V 4 tomah. Tom 1. Obshhie ponjatija. Krivolinejnye koordinaty. Minimal'nye poverhnosti. M.: Institut komp'juternyh issledovanij, 2013. 620 p.

8. Tolstikhina G.A. Algebra i geometriya tri-tkaney, obrazovannykh sloeniyami raznykh razmermernostey: avtoref. dis. d-r fiz.-mat. nauk: 01.01.04 [Algebra and geometry three - the fabrics formed by sloyeniye of different razmermernost]. Kazan', 2007, 29 p.

9. Pidzhakova L.M. Tri-tkani s kovariantno postoyannymi tenzorami krivizny i krucheniya: avtoref. dis. kand. fiz.-mat. nauk: 01.01.04. [Tri - fabrics with covariant constant tensors of curvature and torsion]. Tver', 2009, 20 p.

10. Goldberg V.V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika (Rus), 2008. №4 (551). URL: cyberleninka.ru/article/n/o-suschestvovanii-paratakticheskih-tri-tkaney.

Размещено на Allbest.ru