Рекурентні інтеграли, формули Валліса та Стірлінга

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Зараз одним із питань в математиці є рекурентні інтеграли. Дослідження цих інтегралів започатковано в математичному аналізі. Вони займають провідне місце в вивченні диференціальної геометрії, математичному аналізі та економіці. Рекурентні інтеграли, зокрема, використовуються в дослідженні кривих та поверхонь. Ці інтеграли використовуються також в багатьох інших галузях знань.

Формула Валліса має історичний інтерес як перше бачення числа у вигляді границі легко обчислюваної раціональної варіанти. В теоретичних дослідженнях нею користуються й сьогодні. При наближеному обчисленні числа тепер існують методи, більш швидко, які ведуть до мети.

Формула Стірлінга дозволяє легко оцінювати величину факторіалу при великих значеннях .

Мета роботи: ознайомитись з поняттям «рекурентні інтеграли» та навести пару прикладів, довести правильність формули Валліса та формули Стірлінга, розглянути їх практичне застосування.

Об'єкт дослідження: рекурентні інтеграли, формула Валліса, формула Стірлінга.

Практичне значення. Рекурентні інтеграли застосовуються для більш легшого розв'язання математичних задач, для зведення інтегралів до інтегралів, які легше розв'язуються.

Завдання. Дізнатись як зводити деякі інтеграли до рекурентної формули. Навчитись використовувати формулу Стірлінга та її доведення. Ознайомитись з формулою Валліса.

1. Рекурентні інтеграли

Інтеграл, який через певну кількість перетворень зводиться до рекурентної формули, за допомогою якої розрахунки даного інтегралу зводяться до розрахунків інтегралу такого ж типу, але з меншим на одиницю показником, називається рекурентним інтегралом.

Розглянемо приклади рекурентних інтегралів.

рекурентний інтеграл формула валліс

.

Так ми маємо рекурентну формулу для інтегралу виду:

,

де k - довільне дійсне число , а т = 1, 2, 3,… І вона має такий вигляд:

.

Нехай:

,

Тоді:

.

Після чого отримаємо:

Останній інтеграл можна перетворити наступним чином:

.

Підставляючи цей вираз у попереднє рівняння, отримаємо рівність:

,

Звідки:

Отримана формула зводить розрахунки інтеграла до розрахунків інтегралу з меншим на одиницю значенням. Знаючи інтеграл:

,

і використовуючи формулу, при , знайдемо:

Нехай в формулі , тоді ми отримаємо:

і так далі. Таким чином можна обчислити інтеграл для будь-якого натурального показника п.

,

(при т натуральному).

Інтегруючи по частинам, знайдемо:

.

Подвійна підстановка перетворюється в нуль. Замінюючи на , отримаємо , звідки рекурентна формула , по якій інтеграл послідовно зводиться до або . А саме, при маємо:



Якщо ж , то будемо мати:

.

Такі ж самі отримуються результати і для .

(при п натуральному)

Інтегруючи по частинам, будемо мати:

Якщо до обох частин додати по , то, перетворюючи вираз під знаком інтегралу справа, легко отримати:

.

За цією рекурентною формулою легко вже знайти:

.

Аналогічно:

.

2. Формула Валліса

Формула вигляду:

,

називається формулою Валліса. Доведемо її:

Інтегруючи нерівність , на відрізку , будемо мати:

.

Згідно з тим, що:

,

будемо мати:

,

Звідки:

В силу цієї нерівності, при :

,

через це , тобто довжини відрізків , які містять , прямують до нуля і, відповідно, , . Перше з цих рівенств, згідно до визначення , і означає справедливість формули Валліса.

Вона має історичний інтерес як перше бачення числа у вигляді границі легко обчислюваної раціональної варіанти. В теоретичних дослідженнях нею користуються й сьогодні. При наближеному обчисленні числа тепер існують методи, більш швидко, які ведуть до мети.

3. Формула Стірлінга для п!

Якщо в якості функції взяти , то відповідний ряд Тейлора буде таким:

.

Він сходиться лиш для значень х із проміжку (-1, 1]; значить, тільки для цих значень має зміст досліджувати поведінку додаткового члену .

Візьмемо його спочатку у формі Лагранжа. Так як:

,

.

Якщо , то останній множник не перевершує одиниці, і звідси:

,

так що (при ).

Але при поведінка цього множника стає неясною, і приходиться звертатися до форми Коші додаткового члену.

Маємо:

,

так що:

.

Так як при буде , то останній множник буде менше одиниці; відповідно, лиш тільки , завідомо .

Цікаво, що хоч форма Коші цілком вичерпує питання для всіх значень х між -1 та 1, вона нічого не дає при х=1; в цьому випадку ми отримаємо , але у разі здібності для змінюватися разом з , не можна заключати про те, що .

Отже, по сумі, для усіх значень х з проміжку, дійсно буде:

(1)

Вчасності, при отримаємо вже нам знайомий ряд:

(2)

З ряду (1) можна вивести й інші корисні розклади. Наприклад, замінюючи в ньому х на -х і вираховуючи отриманий ряд почленно з ряду (1), прийдемо до наступного ряду:

. (3)

Покажемо, як з його допомогою може бути виведена одна важлива формула аналізу, яка носить ім'я Стірлінга.

Візьмемо в (3):

,

де - довільне натуральне число. Так як тоді

,

то ми отримаємо розклад:

, (4)

яке можна переписати у вигляді:

Цей вираз, очевидно, більше одиниці, але менше, ніж:

.

Отже, маємо:

,

звідки можна вивести:

.

Введемо тепер змінну:

.

Тоді:

,

та з попередніх нерівностей випливає, що:

,

так що, з однієї сторони:

,

з іншої ж:

.

Таким чином зі збільшенням змінна зменшується (залишаючись обмеженою знизу, наприклад, нулем), і прямує до кінцевої границі , змінна же зростає, очевидно до тої самої границі . Так як, при будь-якому , виконується нерівність , то знайдеться таке число , замкнене між нулем та одиницею, що або .

(Помітимо, що число , загалом, залежить від .) Якщо згадати означення змінної , то матимемо:

(5)

Залишається визначити величину незмінної . З цією метою згадаємо формулу Валліса, яку можна записати у вигляді:

.

Вираз в дужках перетворимо наступним чином:

;

підставив сюди замість його вираз за формулою (5), а замість аналогічний вираз:

,

після елементарних перетворень отримаємо:

,

так що:

.

Звідси: та .

Підставляючи це значення в формулу (5), ми й прийдемо до формули Стерлінга:

,

яка дозволяє легко оцінювати величину факторіалу при великих значеннях .

4. Формула Стірлінга для logГ(а)

Звернемося тепер до виводу зручних наближених формул для logГ(а) та до питання про обчислення значень цього логарифму.

Точкою відліку нам буде слугувати формула для логарифмічної похідної Г:

Так як підінтегральний вираз являє собою неперервну функцію від обох аргументів х та а при та , то можна проінтегрувати по а, від 1 до а, під знаком інтегралу:

 .

Змінюючи знак змінної інтегралу, перейдемо до проміжку :

.

І цей інтеграл сходиться рівномірно при для ; про інтегруємо знову по а, від а до а+1, під знаком інтегралу:

.

Ми використаємо отриманий інтеграл, рівно як і елементарний інтеграл Фруллані:

.

.

Вважаючи, для зручності,

І підставляючи замість R(a) вираз інтегралу Раабе, отримаємо:

.

Використовуючи розклад на прості дроби гіперболічного котангенсу:

,

дійсне для всіх значень . Замінюючи х на , можна перетворити його до виду:

,

або, на кінець:

.

В обличчі ми впізнаємо функцію, яка входить у підінтегральний вираз. Фіксуємо будь-яке невід'ємне ціле число т і заміняємо кожний член ряду тотожною йому сумою:

Сумуємо окремо доданки:

при Припускаючи, як звичайно:

,

отримаємо результат:

;

якщо ввести п-е число Бернуллі:

,

то цей результат перепишеться так:

.

Що ж стосується останніх доданків, які містять множники , які представляють додатні правильні дроби, то, сумуючи їх, перейдемо до члену:

,

де є також додатнім правильним дробом.

Вкінці отримаємо такий вираз для :

.

Підставив про інтегруємо почленно. Так як:

,

то знаходимо, що:

.

На кінець, якщо, замість , підставити отриманий вираз, то ми прийдемо до формули:

яка носить ім'я Стірлінга. В легшому випадку при т=0 формула приймає вигляд:

.

Нехай а тут рівне натуральному числу п (та добавляючи до обох частин logn), отримаємо формулу:

.

Якщо, відкинув додатковий член (який містить множник ), продовжити ряд членів у формулі до нескінченності, то вийде так званий ряд Стірлінга. Цей ряд буде розбіжним. Дійсно, абсолютна величина загального члена ряду Стерлінга:

,

при .

Тим не менш відрізок цього ряду, який дається формулою, можна з успіхом користуватися для наближених обчислень. З форми додаткового члену видно, що погрішність по абсолютній величині менше першого з відкинутих членів. Члени ряду спочатку швидко зменшуються, потім вони зростають - навіть до нескінченності; вигідніше за все, таким чином, перервати ряд на члені, найменшим по абсолютній величині.

Звісно, для фіксованого а таким шляхом не можна отримати наближення з довільно заданою точністю. Однак цього можна досягти, якщо взяти а достатньо великим.

Висновки

В цій курсовій роботі розглянуто поняття «рекурентні інтеграли» та наведено пару прикладів з їх розв'язком, доведено правильність формули Валліса та формули Стірлінга, розглянуто їх практичне застосування.

Формула Валліса має історичний інтерес як перше бачення числа у вигляді границі легко обчислюваної раціональної варіанти. В теоретичних дослідженнях нею користуються й сьогодні. При наближеному обчисленні числа тепер існують методи, більш швидко, які ведуть до мети.

Формула Стірлінга дозволяє легко оцінювати величину факторіалу п! при великих значеннях п.

Результати роботи можуть бути використані в навчальному процесі студентів.

Дослідження над темою цієї курсової роботи дозволило мені краще навчитись розв'язувати задачі з використанням рекурентних інтегралів, формулою Валліса та формулою Стірлінга.

Література

1) Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления том 2. Москва «Ленинград». 1951. - с. 864.

2) Кудрявцев Л.В. Курс математического анализа. Москва «Высшая школа». 1988-1989. - с. 703.

3) Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие. - 13-е изд., испр. - М.: Изд-во Моск. ин-та, ЧеРо, 1997. - 624с.

Размещено на Allbest.ru