Размещено на http://www.allbest.ru/

Державний вищий навчальний заклад

"Запорізький національний університет"

Міністерства освіти і науки України

Математичний факультет

Кафедра математичного аналізу

Курсова робота

"Контрприклади в математичному аналізі"

Студент Хаметова А.Є.

Керівник Красікова І.В.

Запоріжжя - 2014

Реферат

Об'єкт дослідження: множини, диференційне, інтегральне числення та ряди в математичному аналізі.

Предмет дослідження: контрприклади в математичному аналізі.

Мета роботи: розглянути та пояснити контрприклади до правил та теорем математичного аналізу.

Метод дослідження: описовий.

Одержані висновки та їх новизна: в курсовій роботі були розглянуті контрприклади в математичному аналізі, це може бути корисно студентам і викладачам для ілюстрації помилок, можливих при вивченні аналізу.

Результати дослідження можуть бути використані: для більш глибокого вивчення деяких аспектів математичного аналізу.

Перелік ключових слів: КОНТРПРИКЛАД, МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ, МНОЖИНА, НЕПЕРЕРВНА ФУНКЦІЯ, ДИФЕРЕЦІЙОВНА ФУНКЦІЯ, ІНТЕГРАЛ, РЯД, ЗБІЖНІСТЬ ТА РОЗБІЖНІСТЬ РЯДІВ.

Зміст

Вступ

1. Контрприклади в математичному аналізі

1.1 Контрприклади у темі "функції та границі"

2. Контрприклади у темі "диференціювання"

3. Контрприклади у темі "інтеграл Рімана"

4. Контрприклади у темі "нескінченні ряди"

Висновки

Перелік посилань

Вступ

Контрприклад - це факт, що спростовує певне твердження, ілюструє його хибність. Наведення контрприкладу є класичним засобом заперечення гіпотез в математиці. [9] інтегральний математичний контрприклад

Поняття "контрприклади" широко використовується у наукових дослідженнях, математичних припущеннях, визначенні коректності означення та істинності твердження, доведенні теорем.

Контрприкладами називають приклади, які спростовують ті чи інші твердження. Відмінність між прикладами та контрприкладами полягає в тому, що приклади підтверджують загальні положення, а контрприклади ілюструють хибність і вважаються класичним засобом заперечення гіпотези.

Угорський математик Джордж Пойа стверджував, що математика складається з двох речей - теорем та контрприкладів. А на думку американського філософа та історика науки Томаса Куна, не існує жодного дослідження без розгляду контрприкладів, які сприяють виникненню нового і цілком іншого аналізу науки, у межах якого вони не викликають неузгоджень зі встановленими законами, правилами. Вивчення цього питання не залишило байдужим й англійського філософа Карла Поппера. Його модель наукового знання полягала в тому, що основним методом розвитку науки є метод спроб і помилок: після висунення початкової гіпотези, необхідно знайти для неї різні контрприклади (фальсифікатори). І якщо їх можна було побудувати, то гіпотеза вважалася помилковою і відкидалася, її замінює нова. [10]

Розвиток математики та побудова контрприкладів привели до необхідності перебудови та уточнення деяких положень математичних теорій. В даній курсовій роботі візьмемо за мету розглянути контрприклади з книги американських математиків Б.Р. Гелбаума та Дж. М. Олмстеда "Контрприклади в аналізі", перед кожним контрприкладом ознайомимось з теорією та визначеннями.

1. Контрприклади в математичному аналізі

1.1 Контрприклади у темі "функції та границі"

Функція є неперервною в точці , якщо функція має в точці границю і ця границя дорівнює значенню функції в точці .

Наприклад, степенева функція , де - натуральне число, неперервна в кожній точці нескінченної прямої .

В математиці множина раціональних чисел визначається як множина нескоротних дробів із цілим чисельником і натуральним знаменником:

Ірраціональні числа - числа, що не є раціональними, тобто не можуть бути виражені відношенням цілих чисел. Таким чином, ірраціональні числа утворюють множину , де - множина дійсних чисел, а - множина раціональних чисел.

Контрприклад 1. (Приклад 2).

Функція, неперервна лише в одній точці.

Така функція неперервна в точці х=0.

Точка множини називається внутрішньою точкою цієї множини, якщо існує додатнє число таке, що -окіл точки також належить множині .

Множина називається відкритою, якщо будь-яка точка цієї множини є її внутрішньою точкою.

Будемо казати, що система відкритих множин утворює покриття множини , якщо будь-яка точка множини належить хоча б одній з множин системи .

Нехай - довільна множина дійсних чисел. Множина називається компактною множиною (або компактом), якщо з будь якої системи відкритих множин, утворюючої покриття множини можна виділити скінченну підсистему, також утворюючу покриття множини . [2]

Контрприклад 2. (Приклад 3).

Неперервна і необмежена функція, визначена на довільній некомпактній множині:

(а) Якщо - необмежена множина дійсних чисел, то покладемо:

(b) Якщо - обмежена, але не замкнута множина дійсних чисел, то покладемо:

,де - гранична точка множини , що не належить .

Якщо неперервна на компактній множині А, то обмежена на ній.

Щільна множина - це підмножина простору, точками якого можна скільки завгодно добре приблизити будь-яку точку охоплюючого простору. Формально кажучи, A щільно в X, якщо будь-який окіл будь-якої точки з Х містить елемент з . [2]

Якщо границя функції існує, але функція не визначена в цій точці, або границя не співпадає зі значенням функції в цій точці:

,

тоді точка зветься точкою усуненого розриву функції. Якщо "поправити" функцію в усувній точці і покласти

,

тоді отримаємо функцію, неперервну в даній точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до неперервності, що і обгрунтовує назву точки як усувної точки. [5]

Контрприклад 3. (Приклад 17).

Функція з щільною множиною точок розриву, кожна з яких усувна.

Нехай - раціональне число. Покладемо

.

Тоді

,

тобто функція стає неперервною в точці .

Замкнута множина - це підмножина простору, доповнення до якої відкрито.

Контрприклад 4. (Приклад 22).

Функція, точки розриву якої утворюють довільно задану замкнуту множину. Нехай - замкнута множина. Визначимо множину наступним чином:

, якщо або .

Далі покладемо

Якщо , то розривна в цій точці. Насправді, якщо , тоді . Тоді як с є граничною точкою множини R\A, на якій f тотожно дорівнює 0; якщо , то . Причому є граничною точкою множини \, на якій дорівнює 0; нарешті, якщо , то , в той час як є граничною точкою множини , на якій тотожно дорівнює 1.

Відзначимо, що на множині функція неперервна, оскільки ця множина відкрита, і функція стала на ній.

2. Контрприклади у темі "диференціювання"

Має місце теорема. Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці.

Доведемо її. Оскільки функція диференційовна в точці , то існує кінцева границя

.

Тоді за теоремою про зв'язок нескінченно малої з функцією, яка має кінцеву границю, будемо мати

,

де - нескінченно мала величина при .

Звідки

.

Переходячи в цій формулі до границі при , отримаємо згідно властивостей нескінченно малих, що

.

Отже, функція в точці є неперервною.

Обратна теорема не є вірною, тобто функція може бути неперервною в даній точці, але не бути диференційовною в цій точці.

Функція sgn(x) визначається наступним чином:

.

Контрприклад 1. (Приклад 3).

Розривна функція, яка всюди має похідну, (не обов'язково кінцеву).

Для того, щоб такий приклад став можливий, потрібно розширити визначення похідної так, щоб воно включало значення ±?. Тоді розривна функція має похідну

.

Ми переконалися, що функція всюди має похідну, але є розривною.

Окіл точки - це множина, яка містить дану точку та близькі до неї.

Теорема Дарбу. Точки, в яких похідна функції дорівнює 0 або не існує, поділяють область визначення функції на проміжки, усередині яких похідна зберігає знак.

Контрприклад 2. (Приклад 4).

Диференційовна функція, похідна якої не зберігає знака в жодному односторонньому околі екстремальної точки.

Функція:

Маємо абсолютний мінімум в точці . А її похідна:

У будь якому околі нуля похідна має як додатнє, так і від'ємне значення. Функція не є монотонною ні в якому односторонньому околі точки .

Не зростаючі та не спадаючі функції називаються монотонними.

Функція строго зростаюча або строго спадна на проміжку називається строго монотонною на цьому проміжку.

Теорема. Якщо похідна функції на деякому проміжку Х, то функція зростає на цьому проміжку, якщо ж на проміжку Х, то функція спадає на цьому проміжку. [2]

Приклад. Дослідити функцію на монотонність на всій числовій прямій.

Знайдемо похідну заданої функції:

.Для будь якого дійсного : , а тому робимо висновок, що задана функція зростає на всій дійсній осі.

Контрприклад 3. (Приклад 5).

Диференційовна функція, похідна якої додатня у деякій точці, але сама функція не монотонна ні в якому околі цієї точки.

Функція

має похідну, рівну:

У будь якому околі нуля похідна має як додатнє, так і від'ємне значення.

Як зазначалось раніше, функція може бути неперервною в даній точці, але не бути диференційовною в цій точці.

Контрприклад 4. (Приклад 8).

Всюди неперервна, але ніде не диференційовна функція. Функція всюди неперервна, але не диференційовна в точці х=0. Дослідимо функцію в точці , яка неперервна в точці (так як і в інших точках числової прямої). В цій точці її лівостороння та правостороння границі дорівнюють нулю, що співпадає зі значенням самої функції в точці 0. За означенням

.

Таким чином, функція в точці має кінцеві, але не рівні одна одній односторонні похідні. Тому вона не має похідної в цій точці і не є в ній диференційовною.

Розглянемо теорему про середнє. [3]

Теорема Лагранжа. Якщо функція безперервна на відрізку , диференційована на проміжку , то знайдеться така точка , що:

.

Контрприклад 5. (Приклад 9).

Диференційовна функція, для якої теорема про середнє не має місця.

Функція дійсної змінної всюди неперервна та диференційовна. Однак не існує такого інтервалу , , для якого при деякому справедлива рівність:

.

Якщо припустити, що ця рівність можлива, то, прирівнюючи квадрати модулів (абсолютних значень) обох її частин, ми отримаємо рівність:

,

яка після елементарних перетворень набуде вигляду:

.

Але, так як не існує додатнього h, такого, що , то ми отримали протиріччя.

3. Контрприклади у темі "інтеграл Рімана"

Функція називається інтегрованою за Ріманом на сегменті , якщо для цієї функції на вказаному сегменті існує границя її інтегральних сум при спрямуванні діаметру розбиттів до нуля.

Число називається визначеним інтегралом Рімана від функції в границях від до і об означається символом [8]

Таким чином, за означенням

Приведемо простий приклад інтегрованої за Ріманом функції. Покажемо, що функція

інтегрована на будь якому сегменті , причому

Дійсно, при будь якому розбитті та будь якому виборі точок на сегментах справедлива рівність Отже,

для будь якого розбиття та будь якого вибору точок .

Тому

Примітивна функція - інша назва первісної функції. [7]

Контрприклад 1. (Приклад 3).

Функція, інтегровна за Ріманом та не має примітивної на жодному інтервалі.

Якщо положити , то функція буде інтегровна на так як вона монотонна на цьому інтервалі. Однак ця функція не має примітивної на жодному підінтервалі з , оскільки безліч точок її скачків всюди щільно на інтервалі .

Як пише В.А. Зорич у своїй книзі "Інтеграл", композиція інтегрованих функцій не мусить бути інтегрованою функцією. [8]

Контрприклад 2. (Приклад 9).

Дві функції, інтегровні за Ріманом, композиція яких не інтегровна за Ріманом.

Нехай

для та .

Далі, нехай - звуження функції

на замкнений інтервал [0,1]. Тоді є звуженням на [0,1] характеристичної функції множини всіх раціональных чисел. Ця функція дорівнює 1, якщо х раціональне, та дорівнює 0, якщо х ірраціональне.

4. Контрприклади у темі "нескінченні ряди"

Числовий ряд - це числова послідовність, яка розглядається разом з іншою послідовністю, яка називається послідовністю часткових сум (ряда). [6]

Нехай - послідовність часткових сум нескінченного ряда

, тобто

для

Якщо існує і скінченний, то кажуть, що ряд збігається.

Цю границю називають сумою ряда і пишуть:

.

Якщо нескінченний або не існує, то кажуть, що ряд розбігається.

Контрприклад 1. (Приклад 3).

Збіжний ряд та розбіжний ряд , такі, що

В якості можна взяти умовно збіжний знакоочередний гармонійний ряд

, а в якості - розбіжний гармонійний ряд

.

Тоді для

Теорема Лейбниця для знакоочередних рядів стверджує, що ряд , де та , збігається, якщо:

(1) .;

(2) ;

(3) .

Контрприклад 2. (Приклад 7).

Про умови теореми Лейбниця для знакоочередних рядів.

Жодні дві з трьох умов теореми Лейбниця самі по собі не забезпечують збіжність, тобто не одну з цих трьох умов не можна опустити. Цей факт підтверджується наступними трьома прикладами.

(1) Покладемо

,

. З іншого боку, существенно саме чергування знаків у членів ряду. У цьому можна переконатися на тому ж прикладі, якщо у якості взяти наступну послідовність з трійок чисел: 1, 1,-1, 1,1,-1,… .

(2) Покладемо

,

якщо парне, та

,

якщо n - непарне.

(3) Покладемо

,

або що ще простіше, , .

Нехай є неперервною, додатньою і монотонно спадаючою функцією на проміжку [1;+?).

Тоді ряд

збігається, якщо збігається невласний інтеграл , і розбігається, якщо .

Розглянемо приклад.

Визначити, збігається чи розбігається ряд

.

Використовуємо інтегральну ознаку Коші. Обчислимо відповідний невласний інтеграл:

.

Таким чином, даний ряд розбігається.

Контрприклад 3. (Приклад 12).

Додатня неперервна функція при така, що інтеграл збігається, а ряд розбігається.

Положимо для будь якого цілого , а на замкненних інтервалах та функцію визначимо, як лінійну та рівну нулю в кінцевих нецілих точках.

Нарешті, в тих точках , де ще не визначена, покладемо . Тоді функція



додатня та неперервна для , рівність не має місця, а невласний інтеграл збігається. Якщо опустити вимоги додатності функції, то простим прикладом, який задовольняє залишившимся вимогам, є інтеграл:

.

Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум.

Ряди можна множити за правилом Коші:

, ;

.

Висновок: додаток двох степеневих рядів за правилом Коші - степеневий ряд із сумою, яка дорівнює додатку сум вихідних рядів.

Контрприклад 4. (Приклад 18).

Два розбіжних ряда, добуток яких збігається абсолютно.

Добутком (за Коші) наступних двох рядів:

2+2+

є ряд

В більш загальній формі, якщо і для , причому , то член ряду, є добутком рядів і , рівний (при ):

Отже, якщо

і .

Якщо при цьому і пов'язані рівністю , то і обчислюються за формулами

Висновки

В математиці існують приклади двох типів - ілюстративні приклади і контрприклади. Перші показують, чому те чи інше твердження має сенс, а інші - чому те чи інше твердження позбавлено сенсу. Можна стверджувати, що будь який приклад є у той же час контрприкладом для деякого твердження, а саме для твердження, що такий приклад неможливий. [1]

Побудова контрприкладів відіграє важливу роль у розвитку математичної думки та математики як науки загалом, дає можливість відповісти на ряд важливих застережень щодо певних математичних тверджень, надає іншого значення тривіальним доведенням.

В курсовій роботі були розглянуті контрприклади в математичному аналізі, це може бути корисно студентам і викладачам для ілюстрації помилок, можливих при вивченні аналізу, та може розкрити деякі аспекти теорем та правил математичного аналізу.

Перелік посилань

1. Гелбаум Б., Олмстед Д., Контрпримеры в анализе. - М.: МИР, 1967. - 250 с.

2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Бл. Х. Сендов. Под ред.. А.Н. Тихонова Математический анализ. Начальный курс - 2 изд., перераб. - М.: Изд-во МГУ, 1985.-662 с.

3. Зорич В.А. Математический анализ, часть I. - М.: Физматлит, 1984. - 544 с.

4. Дороговцев А.Я. Математический анализ. Краткий курс в современном изложении (2-е издание). Киев: Факт, 2005. - 305 с.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (В 3-х томах). - М.: Физматлит, 2008. - 338с.

6. Сакс С. Теория интеграла, М.: Факториал Пресс, 2006г. - 209 с.

7. Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций, М.: МГУ, 1934. - 310 с.

8. Зорич В.А. Интеграл - М.: Физматлит, 1984. - 6 с.

9. uk.wikipedia.org

10. Кужель О.В. Контрприклади в математиці. - К.: Рад. Школа, 1988. - 96 с.

Размещено на Allbest.ru