Методи розв’язання системи лінійних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Еквівалентні перетворення системи векторів

Означення

Еквівалентними (елементарними) перетвореннями системи векторів називають такі перетворення, які не змінюють ранг цієї системи.

Елементарними перетвореннями системи векторів є такі перетворення:

1) Перестановка місцями векторів;

2) Множення будь-якого вектора системи на число, відмінне від нуля;

3) Додавання до будь-якого вектора системи іншого вектора цієї системи, помноженого на число, відмінне від нуля.

При допомозі елементарних перетворень дану систему векторів можна звести до ступінчастої системи, зовнішній вигляд якої дає можливість відразу знайти ранг і один з базисів.

Приклад.

Знайти ранг системи векторів і будь-якій її базис

(15)

Для спрощення обчислення поміняємо місцями вектори так, щоб перша компонента першого вектора у системі векторів дорівнювала 1. Систему (15) запишемо у вигляді:

(16)

Систему (16) перетворимо так : вектор залишимо без зміни, до додамо -5, до додамо -4, до додамо -3. Дістанемо нову систему векторів з тим же рангом.

(17)

Далі вектори і в (17) залишаємо без зміни. До додаємо -, до додаємо . Матимемо таку систему векторів

або

Отримали ступінчасту систему, вона лінійно незалежна. Ранг початкової системи дорівнює 3, а базис складається з векторів : , , .

Вправи для самостійного розв'язування

1. Знайти вектор , якщо =2-3+, де = (1, 2, 3, 0), = (-2, 1, 5, -1) і = (2, -2, 0, 1).

2. Чи може бути вектор лінійною комбінацією векторів , , і , якщо = (-1, 4), == (-2, -1) , = (1, 1), = (0, 0).

3. Записати у векторній формі систему рівнянь:



4. Систему рівнянь

записано у векторній формі . Записати її в загальній формі.

5. Чи лінійно залежна система векторів:

а)

б)

6. Знайти ранг системи векторів :

а). б)

7. Знайти один з базисів системи векторів і виразити всі її вектори, що не входять до знайденого базису, через цей базис :

а)

б)

в)

2. Матриці

2.1 Початкові відомості про матриці

Означення

Матрицею називається прямокутна таблиця із m рядків і n стовпців.

Таблицю записують в дужках (круглих або квадратних) або обмежують подвійними рисками. Число , які утворюють матрицю, називаються елементами матриці. Таким чином, матрицю, що має m рядків і n стовпців, в загальному вигляді записують так :

, , або (1)

Замість записів (1) часто вживають короткі записи, а саме:

(), [], або , ,

Матриці позначають буквами А, В, С і т.д. Позначаючи матрицю (1) буквою А, записують :

(2)

або скорочено : А= (), А= ,

Сукупність елементів

()

матриці (2) називають і-им рядком , а сукупність елементів

- к-м стовпцем цієї матриці. Рядок можна вважати матрицею, що має один рядок і n стовпців, а стовпець - матрицею з m рядками і одним стовпцем.

Якщо в матриці А= число рядків дорівнює числу стовпців, тобто m=n , то ця матриця називається квадратною матрицею порядку n; якщо ж число рядків не дорівнює числу стовпців, , то вона називається прямокутною матрицею розміру ("ем" на "ен").

Діагональ квадратної матриці

,

що йде з лівого верхнього до правого нижнього кута, тобто утворена елементами називається головною діагоналлю; діагональ , що йде з лівого нижнього в правий верхній кут, тобто утворена елементами називається побічною діагоналлю.

Елементарними перетвореннями матриці А називають такі операції :

1) Переставляння (транспозиція) двох рядків (стовпців) матриці А.

2) Множення рядка (стовпця) матриці А на деяке відмінне від нуля число.

3) Додавання до одного рядка (стовпця) матриці А іншого її рядка (стовпця), помноженого на деяке число відмінне від нуля.

В теорії систем лінійних рівнянь широко використовуються, так званні ступінчасті матриці.

Ступінчастою матрицею називається матриця, що задовольняє такі умови :

1) Якщо в і-му рядку перший відмінний від нуля елемент стоїть на к-му місці, то в наступному і + 1 - му рядку на перших к місцях стоять нулі.

2) Якщо кожен елемент і-го рядка дорівнює нулю, то й кожен елемент наступного і +1-го рядка також дорівнює нулю.

Ступінчастими, наприклад, є матриці:

, , .

Кожну матрицю скінченним числом елементарних перетворень рядків можна перетворити на ступінчасту матрицю. Якщо матрицю А перетворено на ступінчасту, то говорять, що матрицю А зведено до ступінчастого вигляду.

Приклад

За допомогою елементарних перетворень рядків перетворити матрицю на ступінчасту

.

Матриці А і В вважають рівними, якщо число рядків (стовпців) матриці А дорівнює числу рядків ( стовпців) матриці В і їхні елементи з однаковими індексами рівні

( ; ).

2.2 Операції над матрицями та їхні властивості

Основними операціями над матрицями є додавання і множення матриць та множення матриць на число.

Нехай А = () і В = () - довільно вибрані () - матриці.

Означення 1.

Сумою матриць А = і В = називають матрицю S = , де = () ( ; ), і записують S = А+В.

У розгорнутому вигляді маємо

+ = .

Отже, додавання матриць зводиться до додавання всіх пар їхніх відповідних елементів.

Приклад

, . .

З означення суми матриць випливають такі властивості :

1) Операція додавання матриць асоціативне, тобто для будь-яких матриць А,В,С одного й того ж самого розміру (А+В) + С = А + (В+С).

2) Операція додавання матриць комутативне, тобто для будь-яких матриць А і В одного й того ж розміру А+В = В+А.

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою матрицею і позначається символом О.

Для будь-якої матриці справджуються рівності

.

Нехай А = () - довільно вибрана (m,n) - матриця і л - деяке дійсне число.

Означення 2.

Добутком матриці А = на число л називають матрицею В = , де = л ( ; ), і записується В=лА.

У розгорнутому вигляді маємо

Таким чином, множення матриці на число зводиться до множення всіх її елементів на це число.

Приклад

З означення добутку матриці на число випливають такі властивості:

1) Операція множення матриці на число асоціативне:

.

2) Операція множення матриці на число дистрибутивна відносно додавання матриць:

.

3) Операція множення матриці на число дистрибутивна відносно додавання чисел:

4) Операція множення матриці на число комутативне:

Означення 3.

Добутком матриці А = на матрицю В = називають матрицю С = , елементи якої визначаються за формулами

; ), (3)

і записують С = АВ.

Формула (3) є правилом множення матриці А на матрицю В. Це правило формулюють так : щоб дістати елемент матриці С , слід елементи і-го рядка матриці А помножити на відповідні елементи к-го стовпця матриці В і добутки додати.

Зауважимо, що формулу (3) можна застосовувати тільки тоді, коли кожен рядок матриці А містить стільки елементів, скільки їх у кожному стовпці матриці В.

Добуток АВ визначений тільки тоді, коли число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В, причому число рядків матриці АВ дорівнює числу рядків матриці А, а число стовпців - числу стовпців матриці В.

Приклади

1.

2.

Властивості множення матриць.

1) Операція множення матриць не комутативна.

Проте для деяких пар квадратних матриць А, В може трапитись, що АВ=ВА. Такі матриці називають переставними. Переставними, наприклад, є матриці:

і ,

оскільки

і .

2) Операція множення матриць асоціативна, тобто якщо добутки АВ і ВС визначені,то (АВ)С = А(ВС).

3) Операція множення матриць дистрибутивна відносно операції додавання :

а) якщо добутки АС і ВС визначені, то (А+В)С = АС+ВС;

б) якщо добутки СА і СВ визначені, то С(А+В) = СА+СВ;

4) Якщо добуток АВ матриць А і В визначений, то для будь-якого числа л

.

Крім розглянутих основних операцій над матрицями застосовується ще одна операція - транспонування матриць.

Транспонуванням матриці А називається таке її перетворення, при якому рядки цієї матриці стають стовпцями з тими самими номерами.

Сума і добуток матриць та добуток матриці на число транспонують за такими правилами :

1) Для будь-яких матриць А і В того самого розміру

.

2) Якщо добуток АВ матриць А і В визначений, то

.

3) Для кожної матриці А і будь-якого числа л

.

Доведемо справедливість другого правила. Нехай А = , В = . Елемент, що стоїть в і-му рядку й к-му стовпці матриці , дорівнює елементу, який стоїть у

к-му рядку й і-му стовпці матриці АВ, тобто дорівнює :

.

Проте цей вираз є сумою добутків елементів і-го рядка матриці на відповідні елементи к-го стовпця матриці . Отже . <

Справедливість правил 1) і 3) пропонуємо довести самостійно.

Нехай А = () і В = () - квадратні матриці порядку n, тоді добуток АВ визначений і є квадратною матрицею порядку n. Серед квадратних матриць n-го порядку особливу роль відіграє матриця

,

всі елементи головної діагоналі якої дорівнюють одиниці, а інші - нулю. Ця матриця називається одиничною матрицею n-го порядку й позначається символом Е. Для будь-якої матриці А порядку n справджуються нерівності

АЕ = ЕА = А, А0 = 0А = 0.

Квадратна матриця вигляду

називається діагональною матрицею, а матриця вигляду

- скалярною матрицею.

Діагональну матрицю позначають символом (), а скалярну - символом .

Кожна скалярна матриця, очевидно, є діагональною матрицею. Одинична матриця і квадратна нульова матриця є скалярні, а отже, і діагональні матриці.

Кожна скалярна матриця . переставна з будь-якою матрицею n-го порядку:

матриця вектор лінійне рівняння

А=А

2.3 Обернена матриця. Обчислення оберненої матриці елементарними перетвореннями

Будемо розглядати квадратні матриці порядку n

А= .

Кожний рядок і кожний стовпець матриці А вважатимемо вектором простору . Таким чином, з матрицею А можна зв`язати дві системи векторів :

(4)

і

. (5)

(4) - система векторів-рядків, (5) - система векторів-стовпців.

Ранг системи (4) дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (рядковий ранг матриці А). Аналогічно визначається стовпцевий ранг матриці А. Далі буде доведено, що вони співпадають. Тому їх називають просто рангом матриці.

Означення 5.

Квадратна матриця n-го порядку називається не виродженою (або неособливою), якщо ранг її векторів-рядків дорівнює n. В противному випадку вона - вироджена (особлива).

Іншими словами, матриця А називається не виродженою, якщо система її векторів-рядків лінійно незалежна.

Означення 6.

Матриця В називається оберненою для матриці А, якщо виконується рівність АВ = ВА = Е.

Позначимо В = , тоді матимемо А = А = Е.

Обернену матрицю може мати лише квадратна не вироджена матриця. Нульова матриця 0 не має оберненої, оскільки для будь-якої матриці В даного порядку 0В = В0 = 0.

Лема 1..

Якщо С = АВ і між рядками матриці А існує лінійна залежність, то точно така ж залежність існує між рядками матриці С.

Припустимо, що між рядками матриці А існує залежність, тобто виконується рівність

, (6)

де - деякі числа, не рівні одночасно нулю. Доведемо, що така ж рівність справедлива для рядків матриці С, тобто, що

. (7)

Візьмемо довільний стовпець матриці В. Помножимо (6) на вектор

Звідси

Або .

Отже, при кожному j=1,2,…,n маємо рівність

. (8)

А це означає, що справедлива рівність (7).

Дійсно, Тому

(9)

тобто виконується рівність (7). <

Теорема 1.

Для особливості матриці А не існує оберненої.

Припустимо, що для матриці А існує обернена матриця В. Тому виконується рівність АВ = Е. Оскільки за умовою матриця А особлива, то її рядки лінійно залежні. В силу леми 1 така ж залежність повинна бути і між рядками матриці Е. Але це неможливо, бо рядками матриці Е є одиничні вектори, які, як відомо, лінійно незалежні.

Одержане протиріччя показує, що для особливої матриці А обернена не існує.

Теорема 2.

Будь-яку неособливу матрицю А за допомогою елементарних рядкових перетворень можна привести до одиничної матриці.

Навпаки, якщо деяка матриця А приводиться до матриці Е при допомозі рядкових перетворень, то ця матриця неособлива.

Нехай маємо неособливу матрицю А розміру .

А= .

В цій матриці не може бути нульового стовпця, бо тоді б ранг матриці А був би менший за n, що протирічить умові (матриця А неособлива). Переставляючи рядки, можна домогтись того, щоб . Помноживши тоді перший рядок на число , ми перетворимо в одиницю. Потім при допомозі декількох рядкових перетворень всі інші елементи першого стовпця перетворимо в нулі. В результаті дістанемо матрицю .

,

Яка буде неособливою в силу не особливості матриці А. Дійсно, кожне елементарне перетворення не змінює ранг матриці і тому переводить неособливу матрицю в неособливу.

Розглянемо в матриці під матрицю, обведену пунктирною лінією. Оскільки і вона є неособливою (лінійна залежність між рядками цієї матриці означала б лінійну залежність між рядками матриці А), то хоч один із елементів її першого стовпця відмінний від нуля.

Переставляючи рядки матриці , домагаємось щоб (перший рядок уже не чіпаємо). Далі перетворюємо в одиницю, а всі інші елементи другого стовпця - в нулі. В результаті отримуємо матрицю вигляду :

.

І так далі. Після n коренів дістанемо одиничну матрицю Е.

Навпаки, нехай матриця А при допомозі рядкових перетворень приведена до одиничної матриці Е. Оскільки елементарні рядкові перетворення не змінюють ранг матриці, то ранг А дорівнює рангу Е, тобто n. Це означає, що матриця А неособлива.

Наслідок.

Кожну не вироджену матрицю елементарними перетвореннями стовпців можна перетворити в одиничну матрицю.

Має місце таке твердження:

Будь-яке рядкове перетворення матриці А рівносильне множенню цієї матриці зліва на деяку допоміжну матрицю (типу , чи ).

В цьому можна переконатися безпосередньою перевіркою.

Розглянемо матриці , , .

В матриці всі елементи дорівнюють нулю за винятком n-2 елементів на головній діагоналі і ще двох елементів за діагоналлю.

В матриці всі елементи дорівнюють 1, крім одного, який дорівнює , а інші елементи - нулі.

В матриці всі елементи дорівнюють 1, є ще елемент , інші елементи нулі.

Матрицю А дістаємо з матриці А перестановкою в ній і-го і j-го рядків;

Матрицю А дістаємо А множенням і-го рядка на число ;

Матрицю А дістаємо з матриці А додаванням до і-го рядка j-го рядка, помноженного на .

Враховуючі цей результат, з теореми 2 отримуємо наслідок.

Якщо неособливу матрицю А помножити зліва послідовно на деякі матриці , то дістанемо одиничну матрицю Е :

. (10)

Тут - матриці типу , , , які відповідають рядковим перетворенням матриці А, які приводять її до одиничної. Оскільки А = Е, то з рівності (10) виплаває, що

= . (11)

Помножимо обидві частини рівності (11) на матрицю Е, отримаємо

= Е.

Отже, якщо до матриці Е застосувати той же ланцюжок рядкових перетворень, при допомозі яких матриця А зводиться до Е, то отримаємо матрицю .

Будь-яке стовпцеві перетворення матриці А рівносильне множенню цієї матриці справа на деяку матрицю (типу , , ). Для перетворень стовпців міркування аналогічні.

В результаті сформулюємо такі правила:

1. Для знаходження матриці, оберненої до квадратної матриці n-го порядку А, необхідно прямокутну матрицю розміру за допомогою елементарних перетворень рядків звести до вигляду . Одержане при цьому матриця С є оберненою для матриці А.

2. Для знаходження матриці треба прямокутну матрицю розміру за допомогою елементарних перетворень стовпців звести до вигляду . Одержана при цьому матриця С буде оберненою до матриці А.

Приклад.

Знайти матрицю , обернену до матриці

.

Матриця А не вироджена, оскільки ранг її векторів рядків дорівнює трьом. Отже, матриця існує.

Запишемо прямокутну матрицю

.

За допомогою елементарних перетворень рядків зведемо цю матрицю до вигляду :

.

Отже, .

Теорема 3.

Для не особливості матриці А завжди існує обернена і тільки одна.

Нехай і - дві обернені матриці для А, тобто АВ = Е і А= Е. Помножимо другу рівність зліва на В, отримаємо ВА = ВЕ.

Оскільки ВА = Е, то маємо =В.<

Вправи для самостійного розв'язування

1. Обчислити:

3А - 4В , якщо , .

2. Знайти добуток матриць :

а) ; б) .

3. Обчислити ранг матриці за допомогою елементарних перетворень:

а) ; б) ; в) .

4. Обчислити , якщо:

а) , ; б) , .

5. Знайти матрицю, обернену до матриці:

а) ; б) ; в) .

6. Розв'язати матричне рівняння:

а) АХ = С, б) ХВ = С, в) АХВ = С, якщо : , , .

3. Системи лінійних рівнянь

3.1 Загальні відомості про системи лінійних рівнянь

Рівняння з n невідомими називається лінійним, якщо його можна записати у вигляді :

, (1)

де - коефіцієнти рівняння (1), b - вільний член цього рівняння.

Нехай дано m лінійних рівнянь з n невідомими

(2)

- коефіцієнт, що стоїть в і-му рівнянні при невідомому ; - вільний член і-го рівняння. Число рівнянь m у системі (2) не обов'язково дорівнює числу невідомих n. Якщо m=n, то система називається квадратною системою лінійних рівнянь, якщо , то вона називається прямокутною лінійною системою. Якщо , то система (2) називається однорідною, в протилежному випадку - неоднорідною.

Означення 1.

Розв'язком системи лінійних рівнянь (2) називається сукупність записаних у певному порядку чисел (), що є розв'язком кожного з рівнянь цієї системи.

Із шкільного курсу математики відомо, що одні системи лінійних рівнянь мають розв'язки, інші - їх не мають.

Нагадаємо, що система лінійних рівнянь, яка має розв`язки, називається сумісною; система рівнянь, яка немає жодного розв`язку, називається несумісною.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має лише один розв'язок, і невизначеною, якщо число її розв'язків більше одного.

Розв`язати систему лінійних рівнянь означає дослідити, сумісна вона чи ні; в разі суміжності встановити число її розв`язків і знайти ці розв`язки. При розв'язуванні систем лінійних рівнянь доводиться одну систему рівнянь замінити іншою, простішою (також може бути еквівалентна система).

Означення 2.

Дві системи лінійних рівнянь з однаковою кількістю невідомих називаються еквівалентними, якщо кожен розв`язок однієї з них є розв`язком іншої.

Інакше: дві системи називаються еквівалентними, якщо множини їх розв`язків збігаються.

Дану систему рівнянь можна перетворити на рівносильну їй систему за допомогою так званих елементарних перетворень. На цих перетвореннях ґрунтується універсальний метод розв'язування систем лінійних рівнянь.

Означення 3.

Елементарними перетвореннями систем лінійних рівнянь називають такі операції :

1. Переставляння (транспозиція) двох рівнянь системи.

2. Множення якого-небудь рівняння системи на число, відмінне від нуля.

3. Додавання до одного рівняння системи іншого її рівняння, помноженого на деяке число.

Теорема 1.

Кожне елементарне перетворення будь-якої системи лінійних рівнянь переводить її в еквівалентну систему.

Розглянемо систему лінійних рівнянь (2). Позначимо її символом S, а систему яку дістанемо після застосування елементарного перетворення, позначимо символом .

Якщо виконано перетворення першого типу, то система відрізняється від системи S лише порядком запису рівнянь. Тому кожен розв'язок () системи S є розв'язком і системи . Якщо виконано перетворення другого або третього типу, то система відрізняється від системи S одним рівнянням, наприклад першим :

, (3)

. (4)

Очевидно, якщо система чисел () задовольняє всі рівняння системи S, вона задовольняє також і рівняння (3) і (4). Тому і в цьому випадку кожен розв'язок системи S є розв'язком і системи . Таким чином, системи S і еквівалентні.

Размещено на Allbest.ru