Комплексні числа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Піднесення комплексного числа до цілого степеня

Якщо комплексне число задане в алгебраїчній формі, тобто то для піднесення його до цілого додатного степеня треба застосувати формулу бінома Ньютона і тоді при будь-якому невід`ємному цілому узяти

Якщо комплексне число задане в тригонометричній формі, то піднесення його до цілого степеня виконують за формулою Муавра.

Теорема. Для будь-якого цілого числа справедлива рівність

яка називається формулою Муавра.

Спочатку методом математичної індукції доведемо справедливість формули (7) для натуральних . При формула (7), очевидно, правильна.

Припустимо, що вона справедлива для , тобто

Доведемо, що вона справедлива і для , тобто

Дійсно,

Отже, формула (7) за принципом математичної індукції справедлива для будь-якого натурального показника .

Припустимо, що - ціле від`ємне число. Вважатимемо, що ( - натуральне число). Тоді

Отже, і при будь-якому цілому від`ємному показнику формула (7) справедлива.

При справедливість формули (7) очевидна.

А. Муавр (1667-1754) - англійський математик (за походженням француз). Формулу названо ім`ям Муавра тому, що в неявному вигляді вперше вона зустрічається в його працях, починаючи з 1707 р. Сучасного вигляду формулі Муавра надав Леонард Ейлер (1748 р.).

Приклади.

1.

2.

3.

Якщо у формулі Муавра візьмемо то дістанемо рівність

Ця рівність дає змогу виразити і через і . Розклавши ліву частину рівності (8) за формулою бінома Ньютона, матимемо

Прирівнявши окремо дійсні частини й коефіцієнти уявних лівої і правої частин рівності (9), дістанемо записи і через і .

Покажемо це, наприклад, для .

звідки

2. Добування кореня з комплексного числа

Розглянемо питання про добування квадратного кореня з комплексного числа. Припустимо, що квадратний корінь з числа існує і дорівнює , тобто

Тоді або

.

Визначимо x і y. Для цього прирівняємо дійсні й уявні рівності (10). Дістанемо

Піднісши обидві частини кожної з цих рівностей до квадрата і почленно додавши їх, матимемо Звідси

(беремо додатне значення кореня, оскільки числа x і y дійсні, і, отже, ).

З рівностей (11) і (13) знаходимо

Звідси випливає, що

За рівність (12) знак добутку xy повинен збігатися із знаком числа b. Отже, при b>0 значення x і y повинні мати однакові знаки і тому радикали треба брати з Тим самим знаком. Якщо b<0, то значення x і y повинні мати протилежні знаки і, отже, радикали треба брати з тригонометричними знаками. Таким чином, маємо формули:

Якщо то

Приклади. 1.

2. Розв`язати рівняння

Добути корінь вищого (ніж другий) степеня з комплексного числа в алгебраїчній формі в загальному випадку неможливо.

Означення. Коренем n-го степеня (n-будь-яке натуральне число) з комплексного числа називатимемо таке число , що , і позначатимемо його символом

Нехай комплексне число задане в тригонометричній формі . Припустимо, що , . Тоді

.

Однак, за формулою Муавра,

.

Отже,

корінь аргумент комплексний число

.

Відомо, що два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні модулі, а аргументи або рівні, або відрізняються доданком, кратним . Тому з рівності (17) випливає, що , де k - будь-яке ціле число. Звідси , де - арифметичне значення кореня з додатного числа , оскільки є число додатне.

Отже,

,

- довільне ціле число.

Корінь n-го степеня з комплексного числа має лише n різних значень, які знайдемо за формулою (18) при Позначимо ці значення символами Тоді

Таким чином, має n значень, які визначаються за формулою (19).

З`ясуємо, який геометричний зміст мають значення при . Всі n значень мають той самий модуль . Аргумент дорівнює , аргументи дістаємо послідовним додаванням кута .

Отже, точки комплексної площини, якими зображують числа , є вершинами правильного n-кутника, вписаного в коло радіуса з центром у початку координат, причому одна з вершин зображує число з аргументом , чим однозначно визначається положення всіх інших вершин.

Приклад. 1. Знайти .

Запишемо число в тригонометричній формі

Далі, за формулою (19), маємо

,

Звідси дістанемо

Размещено на Allbest.ru