Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГАОУ ВО «СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математический анализ»

на тему: «Гамма-функция и ее приложения в теории вероятностей и математической статистике»

Выполнила:

Кривоус Виктория Николаевна

Руководитель работы:

Ляхов П.А.

Ставрополь, 2017 г.



СОДЕРЖАНИЕ

гамма функция уравнение интегральный

ВВЕДЕНИЕ

1. ГАММА-ФУНКЦИЯ

1.1 Определение

1.2 Интегральное представление

1.3 Область определения и полюсы

1.4 Свойства функции «Гамма»

1.4.1 Непрерывность

1.4.2 Основное функциональное уравнение

1.5 Представление Ганкеля через интеграл по петле

1.6 Предельная форма Эйлера

2. ПРИМЕНЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

2.1 Гамма-распределение

2.2 Распределение хи-квадрат

Список используемых источников



ВВЕДЕНИЕ

Одной из важнейших функций, выраженных несобственным интегралом, содержащим параметр, является гамма-функция. Она естественно возникает во многих областях современной математики и приложениях.

Особая роль гамма-функции в математическом анализе определяется тем, что через нее выражаются важные определенные интегралы, суммы рядов и бесконечные произведения. В последнее время усилия многих авторов направлены на получение различных оценок этой функции.

Благодаря её введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её часто облегчает использование гамма-функции , хотя бы в промежуточных выкладках

Гамма-функция находит очень широкое применение в математической статистике и теории вероятностей. В научных дисциплинах широко используется гамма-распределение, частными случаями, которого являются экспоненциальное распределение и распределение хи-квадрат.

Объектом исследования данной курсовой является гамма-функция.

Предметом курсовой работы является гамма-функция и ее приложения в теории вероятностей и математической статистике.

Цель настоящей работы состоит в изучении места и роли гамма-функции и ее приложений в различных областях математической статистики и теории вероятностей.

Для осуществления данной цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Исследовать свойства гамма-функции.

2. Рассмотреть приложения гаммы-функции .

3. Изучить роль гаммы-функции в теории вероятностей и математической статистике.

При выполнении работы были использованы методы математического анализа, математической индукции, прикладного анализа.



1. ГАММА-ФУНКЦИЯ

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственного либо несобственного интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами, зависящими от параметра. К их числу относится гамма-функция Эйлера [5].

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

(1)

1.1 Определение

Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:

n! = 1·2·3·...·n.

Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n [10].

Рассмотрим разностное уравнение

G(z+1)=zG(z). (2)

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией [3].

Гамма-функция распространяет понятие факториала на дробные, отрицательные и даже комплексные значения аргумента z.. Гамма функция не выражается через элементарные функции, но может быть представлена как интеграл вида:

(3)

Для натуральных значений аргумента гамма функция совпадает со значением факториала:

(4)

При этом для любых комплексных значений справедливо равенство:

	(5)

Данное рекуррентное соотношение является очень важным и используется при расчете гамма-функции. Приведем также формулу дополнения:

	(6)

Можно заметить, что при отрицательных значениях , , при этом гамма-функция для отрицательного аргумента может быть вычислена по формуле:

(7)

Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.

1.2 Интегральное представление

Перейдем к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:

(8)

В этом случае правая часть уравнения (8) может быть записана в виде:

zГ(z)=z=

+ (9)

Эта формула справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не известно поведение образа(p). Предположим, что образ гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю [14]. После того, как будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном слагаемом, иначе придется искать Г(z) как-нибудь по-другому.

Левая часть равенства (8) записывается следующим образом:

Г(z+1)=

Тогда уравнение (8) для образа гамма-функции имеет вид:

Это уравнение легко решить:

(10)

Нетрудно заметить, что найденная функция на самом деле такова, что внеинтегральный член в формуле (10) равен нулю.

Зная образ гамма-функции, легко получить и выражение для прообраза:

Г(z)=C

Это неканоническая формула, для того, чтобы привести ее к виду, полученному Эйлером, надо сделать замену переменной интегрирования: t = exp(-p), тогда интеграл примет вид:

Г(z)=C

Постоянная C выбирается так, чтобы при целых значениях z гамма-функция совпадала с функцией факториал: Г(n+1) = n!, тогда:

Г(1)=C

следовательно C = 1. Окончательно, получаем формулу Эйлера для гамма-функции:

Г(z)= (11)

Эта функция очень часто встречается в математических текстах. При работе со специальными функциями, пожалуй, даже чаще, чем восклицательный знак [1].

Проверить, что функция, определенная формулой (11), действительно удовлетворяет уравнению (8), можно, проинтегрировав интеграл в правой части этой формулы по частям:

Г(z)=+=Г(z+1)

1.3 Область определения и полюсы

В подынтегральной функции интеграла (11) приэкспонента exp(-tz) при R(z) > 0 убывает гораздо быстрее, чем растет алгебраическая функция t^(z-1). Особенность в нуле - интегрируемая, поэтому несобственный интеграл в (11) сходится абсолютно и равномерно при R(z) > 0. Более того, последовательным дифференцированием по параметру z легко убедиться, что Г(z)-голоморфная функция при R(z)>0. Однако, непригодность интегрального представления (11) при R(z)0 не означает, что там не определена сама гамма-функция - решение уравнения (8).

Рассмотрим поведение Г(z) в окрестности нуля. Для этого представим:

Г(z+1)=1+zf(z),

где- голоморфная функция в окрестности z = 0. Из формулы (8) следует:

Г(z)=Г(z+1)/z, тогда Г(z)=+f(z),

то есть Г(z) имеет полюс первого порядка при z=0.

Также легко получить:

Г(z-1)=Г(z)/(z-1)=+

то есть в окрестности точки z=-1функция Г(z) также имеет полюс первого порядка.

Таким же образом можно получить формулу:

= (12)

Из этой формулы следует, что точки z = 0,-1,-2,... - простые полюсы гамма-функции и других полюсов на вещественной оси эта функция не имеет. Нетрудно вычислить вычет в точке z = -n, n = 0,1,2,...:

1.4 Свойства функции «Гамма»

1.4.1 Непрерывность

Функция Г (а) при всех значениях а > 0 непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков [22]. Достаточно доказать лишь существование производных. Дифференцируя интеграл (1) под знаком интеграла, получим:

применение правила Лейбница оправдано тем, что оба интеграла и сходятся равномерно относительно а: первый при х = 0 для а а₀ > 0 (мажоранта ), а второй сходится при х = для а А < (мажоранта х^А е^-х).

Таким же путем можно убедиться и в существовании второй производной

= (11*)

и всех дальнейших.

1.4.2 Основное функциональное уравнение

Из формулы (8) интегрированием по частям получаем:

a. Г (а) = а = =

= + = + =

= = Г (а + 1), то есть Г (а + 1) = а Г (а) (13)

Эта формула, повторно примененная, дает

Г(а+n) = (a+n-1)(a+n-2)…(a+1) a Г(а). (14)

Таким образом, вычисление Г для сколь угодно большого значения аргумента может быть приведено к вычислению Г для аргумента меньше 1 [18].

Если в формуле (14) взять а = 1 и принять во внимание, что

Г(1)==1, (15)

то окажется, что

Г (n + 1) = n!. (16)

Функция «Гамма» является естественным распространением - на область любых положительных значений аргумента - факториала n!, определенного лишь для натуральных значений n [12].

1.5 Представление Ганкеля через интеграл по петле

Выясним, имеет ли гамма-функция нули. Для этого рассмотрим функцию

I(z)= (17)

Полюсы этой функции и есть нули функции Г(z) [11].

Разностное уравнение для I(z) легко получить, воспользовавшись выражением для Г(z):

I(z)=zI(z+1). (18)

Выражение для решения этого уравнения в виде интеграла можно получить так же, как было получено интегральное выражение для гамма-функции - через преобразование Лапласа:

или

После разделения переменных получим:

(19)

Проинтегрировав (19) получаем:

Или

Переход к прообразу Лапласа дает:

I(z)=C(20)

В полученном интеграле (20) сделаем замену переменной интегрирования:

t=-exp(p), тогда I(z)=C. (21)

Здесь важно заметить, что подынтегральная функция при нецелых значениях z имеет точку ветвления t=0. На комплексной плоскости переменной t проведем разрез по отрицательной вещественной полуоси. Интеграл по этой полуоси представим как сумму интеграла по верхнему берегу этого разреза отдо 0 и интеграла от 0 допо нижнему берегу разреза. Чтобы интеграл (21) не проходил через точку ветвления, устроим вокруг нее петлю [2, 16].

Рисунок 1.Петля в интегральном представлении Ганкеля.

В результате получим:

I(z)=. (22)

Чтобы выяснить значение постоянной, вспомним, что I(1) = 1, с другой стороны:

I(0)=,

Интегральное представление

(23)

называется представлением Ганкеля по петле.

Легко видеть, что функция не имеет полюсов в комплексной плоскости, следовательно, гамма-функция не имеет нулей [17, 21].

С помощью этого интегрального представления (21) можно получить формулу для произведения гамма-функций. Для этого в интеграле сделаем замену переменной , тогда:

то есть

Г(z)Г(1-z)=

1.6 Предельная форма Эйлера

Гамма-функцию можно представить в виде бесконечного произведения. Это можно заметить, если в интеграле (11) представить

(24)

Тогда интегральное представление гамма-функции:

Г(z)= (25)

В этой формуле мы можем поменять пределы - предел интегрирования в несобственном интеграле и предел привнутри интеграла [20]. Приведем результат:

Г(z)=

Возьмем по частям этот интеграл:

Если провести эту процедуру n раз, получим:

Переходя к пределу, получим предельную форму Эйлера для гамма-функции:

(26)



2. ПРИМЕНЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений[4,20].

Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении.

Математическая статистика - это раздел математики, который имеет своим предметом изучения методов сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия решений.

Статистические данные по своей сущности зависят от многих случайных факторов, поэтому математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой[19].

В этих науках широко используется гамма-распределение, частными случаями которого являются экспоненциальное распределение и распределение хи-квадрат.

2.1 Гамма-распределение

Символом обозначают гамма-распределение или Г-распределение.

Это распределение с двумя параметрами ( Распределение сосредоточено на положительной полуоси. Плотность распределения имеет вид:

(1)

где , - положительные параметры, - параметр формы, - параметр масштаба.

Г() - есть гамма-функция Эйлера, по определению равная:

Напомним свойства гамма-функции:

Иными словами, гамма-функция есть обобщение факториала [13].

Кроме этого, полезно знать: Г(1)=1, Г(1/2)= .

При гамма-распределение превращается в обычное экспоненциальное распределение, которое широко используется при анализе телекоммуникационных данных.

Характеристическая функция Г-распределения имеет вид:

(2)

Если случайная величина имеет гамма-распределение, что символически обозначается как , то ее моменты вычисляются по формуле:

(3)

При целых t>0 это может быть получено прямым дифференцированием характеристической функции (2).

В частности, полагая t=1,2 , находим

(4)

Из формул (2), (3) видно, что параметр играет роль масштаба гамма-распределения:

В силу этого многие свойства Г-распределения достаточно изучать при каком-либо одном значении параметра , например . В данной курсовой работе рассмотрено только одно распределение: распределение хи-квадрат.

2.2 Распределение хи-квадрат

Распределение играет важную роль в математической статистике и называется распределением хи-квадрат (или ) [8].

Впервые это распределение было исследовано астрономом Ф.Хельмертом в 1876 году. В связи с гауссовской теорией ошибок он исследовал суммы квадратов n независимых стандартно нормально распределенных случайных величин. Позднее Карл Пирсон (Karl Pearson) дал имя данной функции распределения "хи - квадрат". И сейчас распределение носит его имя.

Благодаря тесной связи с нормальным распределением, -распределение играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике. -распределение, и многие другие распределения, которые определяются посредством -распределения (например - распределение Стьюдента), описывают выборочные распределения различных функций от нормально распределенных результатов наблюдений и используются для построения доверительных интервалов и статистических критериев [9,21].

Распределение Пирсона (хи - квадрат) - распределение случайной величины , где - нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение - единице.

Сумма квадратов распределена по закону ("хи - квадрат").

При этом число слагаемых, т.е. n, называется "числом степеней свободы" распределения . C увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному [9, 14].

Плотность этого распределения

где dt- гамма-функция; в частности,

Итак, распределениезависит от одного параметра n - числа степеней свободы.

Функция распределения имеет вид:

если ?0.

На Рисунке 1 изображен график плотности вероятности и функции - распределения для разных степеней свободы.

Рисунок 1. Зависимость плотности вероятности ц(x) в распределении (хи - квадрат) при разном числе степеней свободы.

Моменты распределения "хи-квадрат":

Распределение "хи-квадрат" используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных [6].



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В курсовой работе была изучена гамма-функция, которая является удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

В данной курсовой работе было рассмотрено применение гаммы-функции в математической статистике и теории вероятностей.

В этой работе были рассмотрены такие распределения, как гамма-распределение и -распределение. Благодаря тесной связи с нормальным распределением, -распределение играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике. описывают выборочные распределения различных функций от нормально распределенных результатов наблюдений и используются для построения доверительных интервалов и статистических критериев.



СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ. Теория аналитических функций. -М.: Просвещение, 1985.-159 с.

2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. - М.: Наука, 1966. - 735 с.

3. Боровков А.А. «Математическая статистика» -- М.: Наука, 1984. 5. Вентцель Е.С. «Теория вероятностей» -- М.: Физматгиз, 1962-35 с.

4. Бронштейн И.Н., Смендяев К.А. «Справочник по математике для студентов вузов». - М., Наука. 1965. - 360 с.

5. Дейвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1979.-69 с

6. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1984.-189 с.

7. Ивченко Г.И., Энатская Н.Ю. Основные сведения по распределениям. МИЭМ. М., 2008.-145 с.

8. Кендалл М. Дж., Стюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966.-45 с.

9. Клейн Ф. «Элементарная математика с точки зрения высшей: - М.»: Наука, 1987. - 243 с.

10. Колмогоров А.Н., и др. «Введение в теорию вероятностей» -- М.: Наука, 1982. -346 с.

11. Королюс В.С. «Справочник по теории вероятностей и математической статистике»-- М.: Наука, 1985. -125 с.

12. Кремер Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика»: Учебник для вузов. -- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. -- 543 с.

13. Лаврентье., Шабат Б.В. «Методы теории функций комплексного переменного» - М.: Наука, 1973. - 620 с.

14. Магазинников Л.И. «Курс лекций по теории вероятностей»-- Томск: Изд- во ТГУ, 1989.-79 с.

15. Орлов Ф. «Асимптотика и специальные функции». - М.: Наука, 1973 - 215 с.

16. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление: т. 1», - М.: Интеграл-пресс, 2002. - 415 с.

17. Ротарь В.И. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 1992.-14 с.

18. Феллер В. «Введение в теорию вероятностей и ёе приложения» (в 2-х томах) -- М.: Мир, т. 1 1964, т. 2, 1966.

19. Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2». - М.: Физматгиз, 1962. - 807 с.

20. Чистяков В.П. «Курс теории вероятностей» -- М.: Наука, 1982. -222 с.

21. Энатская Н.Ю., Е.Р. Хакимуллин. Теория вероятностей. Уч. пос., МИ- ЭМ, М., 2010-116 с.

Размещено на Allbest.ru