Эмпирические функции распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»

Е.В. Кравец, С. Л. Петухов, Ю. М. Дмитриев

ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

по специальностям « Технология машиностроения», «Стандартизация, метрология и сертификация»

Москва 2010

Разработано в соответствии с Государственным общеобразовательным Стандартом ВПО 2000 г. Для специальности подготовки 151001.65 - «Технология машиностроения», 200500.65 - «Стандартизация, метрология и сертификация» на основе рабочих программ дисциплин «Математическое моделирование процессов в машиностроении», «Статистические методы контроля и управления качеством».

Рецензенты: профессор кафедры «Технология машиностроения» МГТУ «МАМИ» М. М. Стржемечный профессор кафедры «Стандартизация, метрология и сертификация» МГТУ «МАМИ» О. Ф. Вячеславова

Работа подготовлена на кафедрах «Технология машиностроения», «Стандартизация, метрология и сертификация»

Эмпирические функции распределения: методические указания / Е. В. Кравец, С. Л. Петухов, Ю. М. Дмитриев - М.:МГТУ «МАМИ»,2010. - 21 с.

В методических указаниях рассматриваются эмпирическое и теоретическое распределения непрерывной и дискретной случайной величины. Методика сопровождается вариантами заданий.

МГТУ «МАМИ», 2010

Содержание

Введение

1. Теоретическое и эмпирическое распределения

2. Законы распределения случайной величины

3. Характеристики распределения случайных величин

4. Задание к работе

5. Варианты исходных данных

Список литературы

Введение

Предметом исследования в математической статистике является совокупность объектов, однородных относительно некоторых признаков. Совокупность из всех объектов, объединенных этими признаками, называется генеральной. Задачей исследования является изучение признаков генеральной совокупности, которые определяются влиянием некоторых случайных факторов.

Для решения задач исследования проводится эксперимент (измерение), в результате которого получают значение некоторой случайной величины (результат). Если в эксперименте участвуют все объекты генеральной совокупности, то такое обследование называют сплошным. На практике обычно применяют выборочный метод, который заключается в том, что из генеральной совокупности случайным образом извлекают элементов.

Эти элементы называются выборочной совокупностью или выборкой. Количество элементов в выборке называется ее объемом. В процессе эксперимента исследуется и анализируется выборочная совокупность и на основании полученных показателей делается вывод о параметрах генеральной совокупности.

Одной из основных задач статистического анализа является получение по имеющейся выборке достоверных сведений об интересующих исследователя характеристиках генеральной совокупности. Поэтому важным требованием к выборке является ее репрезентативность, то есть правильная представимость в ней пропорций генеральной совокупности. Достижению репрезентативности может способствовать такая организация эксперимента, при которой элементы выборки извлекаются из генеральной совокупности случайным образом.

Человека окружает мир событий, многие из которых носят случайный характер. Часто мы замечаем, что одни события при реализации некого комплекса условий непременно происходят, другие же могут произойти,
а могут и не произойти.

Пример:

Событие	Реализация комплекса условий	Исход
А1	При нагревании проволоки	Ее длина увеличилась
А2	При бросании игральной кости	Выпали 4 очка
А3	При бросании монеты	Выпал герб
А4	При низкой температуре	Вода превратилась в лед

Про события А1 и А4 мы вынуждены сказать, что они произойдут закономерно, а про А2; А3 - что они могли произойти, но могло быть и иначе, т.е. наблюдается некая случайность событий.

Таким образом, событие - это исход наблюдения или эксперимента. В свою очередь событие называют случайным, когда оно при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти, т.е. это качественный результат эксперимента или экспериментов, если они повторяются многократно. Случайная величина обладает целым набором допустимых значений, но в результате каждого отдельного опыта принимает лишь какое-то одно из них. Она может принимать различные значения даже при неизменном комплексе основных факторов. Различают непрерывные и дискретные случайные величины.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно. Например, отклонение диаметра партии деталей, обработанных на настроенном станке есть непрерывная случайная величина, т.к. возможны отклонения из-за возникающих погрешностей ввиду неравномерности распределения припуска на обработку, температурных изменений, неоднородности материала и т.д., а диаметр может принять любое значение из определенного промежутка. Значения непрерывной случайной величины не могут быть заранее перечислены, они непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное или счетное число значений. Возможные значения дискретных случайных величин можно заранее перечислить. Например, «попал» или «не попал» действительный размер в границы допуска.

Чтобы полностью охарактеризовать случайную величину, необходимо не только указывать, какие значения она может принимать, но и как часто.

1. Теоретическое и эмпирическое распределения

При решении многих прикладных задач необходимые вероятностные характеристики соответствующих случайных величин неизвестны исследователю и должны определяться по экспериментальным данным. Такое статистическое описание результатов наблюдений, построение и проверка различных математических моделей, использующих понятие вероятности, составляет основное содержание математической статистики.

Полученная в результате статистического наблюдения выборка объема n из значений изучаемого количественного признака X образует вариационный ряд. Ранжированный вариационный ряд получают, расположив значения xj , где , в порядке возрастания значений, то есть .

Фундаментальными понятиями статистической теории являются понятия вероятности и распределения вероятности случайной величины.

Изучаемый признак X может быть дискретным, то есть его значения отличаются на конечную, заранее известную величину (год рождения, тарифный разряд, число людей), или непрерывным, то есть его значения отличаются на сколь угодно малую величину (время, вес, объем, стоимость).

Пусть дискретная случайная величина X может принимать в результате опытов значения … . Отношение числа опытов ni, в результате которых случайная величина приняла значение xi, к общему числу производимых опытов n называется частотой проявления события (частотное определение вероятности). Частота сама является случайной величиной и меняется в зависимости от количества произведенных опытов. Но при большом числе опытов она имеет тенденцию стабилизироваться около некоторого значения Pi, называемого вероятностью события , (статистическое определение вероятности):



Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице так как тот факт, что случайная величина примет в результате опыта одно из своих значений, есть достоверное событие. Эта суммарная вероятность распределена определенным образом между отдельными значениями. Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения. Вероятностный ряд является одним из видов законов распределения случайной величины.

Распределение непрерывной случайной величины нельзя задавать при помощи вероятностей отдельных значений. Число значений так велико, что для большинства из них вероятность принять эти значения равна нулю, т.е. событие может произойти, а вероятность его равна нулю. Для непрерывных случайных величин изучается вероятность того, что в результате опыта значение случайной величины попадет в некоторую заданную область.

Дискретную случайную величину можно полностью задать вероятностным рядом, указав вероятность для каждого значения :

Частотой mi в случае дискретного признака X называют число одинаковых значений xi , содержащихся в выборке. В ранжированном вариационном ряду одинаковые значения, очевидно, расположены подряд:

Вариационный ряд для дискретного признака X принято наглядно и компактно представлять в виде таблицы, в первой строке которой указаны k различных значений xi изучаемого признака, а во второй строке - соответствующие этим значениям частоты mi , где . Такую таблицу называют статистическим (выборочным) распределением.

Переход от исходного вариационного ряда дискретного признака X к соответствующему статистическому распределению поясним на простом примере:

вариационный ряд, полученный в результате статистического наблюдения (единицы измерения опускаем) - 7, 17, 14, 17, 10, 7, 7, 14, 7, 14;

ранжированный вариационный ряд -

xj : , где , n = 10;

соответствующее статистическое распределение (, k = 4):

Статистическое распределение для непрерывного признака X принято представлять интервальным рядом - таблицей, в первой строке которой указаны k интервалов значений изучаемого признака X вида (xi-1 - xi ), а во второй строке - соответствующие этим интервалам частоты mi , где . Обозначение (xi-1 - xi ) - указывает не разности, а все значения признака X от xi-1 до xi , кроме правой границы интервала xi .

Для непрерывного признака X частота mi - число различных xj , попавших в соответствующий интервал: xj[xi-1 ; xi ):

Переход от исходного вариационного ряда непрерывного признака X к соответствующему статистическому распределению поясним на простом примере:

вариационный ряд, полученный в результате статистического наблюдения (единицы измерения опускаем) - 3,14; 1,41; 2,87; 3,62; 2,71; 3,95;

ранжированный вариационный ряд - xj : 1,41; 2,71; 2,87; 3,14; 3,62; 3,95; где , n = 6;

соответствующее статистическое распределение (, k = 3):

Если число различных значений дискретного признака очень велико, то для удобства дальнейших вычислений и наглядности статистическое распределение такого дискретного признака также может быть представлено в виде интервального ряда.

Вместо частот mi во второй строке могут быть указаны относительные частоты (частости). Очевидно, что сумма частот равна объему выборки (выборочной совокупности) n , а сумма относительных частот (частостей) равна единице:

.

Далее показаны четыре возможных формы представления статистических распределений с соответствующими краткими названиями:

Дискретный ряд частот	Интервальный ряд частот
xi	x1	x2		xk	xi-1-xi	x0-x1	x1-x2		xk-1-xk
mi	m1	m2		mk ,	mi	m1	m2		mk ,
Дискретный ряд частостей	Интервальный ряд частостей
xi	x1	x2		xk	xi-1-xi	x0-x1	x1-x2		xk-1-xk
wi	w1	w2		wk ,	wi	w1	w2		wk .

Если в статистическом распределении вместо частот (относительных частот) указать накопленные частоты (относительные накопленные частоты), то такой ряд распределения называют кумулятивным.

Накопленной частотой называется число значений признака Х, меньших заданного значения x : H(x) = m(Х x), то есть, число вариант xj в выборке, отвечающих условию xj < x.

Переход от дискретного ряда частот к кумулятивному ряду - дискретному ряду накопленных частот задается соотношениями:

Переход от интервального ряда частот к кумулятивному ряду - интервальному ряду накопленных частот задается соотношениями:

или в табличной форме:

xi-1-xi	--x0	x0-x1	x1-x2		xi-1-xi		xk-1-xk
H(xi)	0	m1	m1+m2		H(xi-1) + mi		H(xk-1) + mk= n.

Накопленной относительной частотой (накопленной частостью) называется отношение числа значений признака Х, меньших заданного значения x , к объему выборки n :

,

то есть, доля значений xj в выборке, отвечающих условию xj < x.

По аналогии с теоретической функцией распределения генеральной совокупности , которая определяет вероятность события Х : = P(Х ), вводят понятие эмпирической функции распределения , которая определяет относительную частоту этого же события Х , то есть

 = .

Таким образом, эмпирическая функция распределения задается рядом накопленных относительных частот.

Из теоремы Бернулли следует, что стремится по вероятности к F(x):

поэтому эмпирическую функцию распределения можно использовать для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности. статистический вероятность интегральный дискретный

Дискретный ряд накопленных относительных частот может быть получен двумя равноправными способами:

1) переход от дискретного ряда частостей к кумулятивному ряду - дискретному ряду накопленных частостей задается соотношениями:

или в табличной форме:

2) переход от дискретного ряда накопленных частот к дискретному ряду накопленных частостей задается соотношением:

Интервальный ряд накопленных относительных частот может быть получен двумя равноправными способами:

1) переход от интервального ряда частостей к кумулятивному ряду - интервальному ряду накопленных частостей задается соотношениями:

или в табличной форме:

xi-1-xi	--x0	x0-x1	x1-x2		xi-1-xi		xk-1-xk
(xi)	0	w1	w1+w2		(xi-1) + wi		(xk-1) + wk= 1;

2) переход от интервального ряда накопленных частот к интервальному ряду накопленных частостей задается соотношением:

Для наглядности принято использовать следующие формы графического представления статистических распределений:

дискретный ряд изображают в виде полигона. Полигон частот - ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (i , i); аналогично, полигон относительных частот - ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (, wi );

интервальный ряд изображают в виде гистограммы. Гистограмма частот есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых - интервалы длиной , а высоты - плотности частот . В случае гистограммы относительных частот высоты прямоугольников - плот-ности относительных частот

.

Здесь в общем случае , однако на практике чаще всего полагают величину h одинаковой для всех интервалов: . Очевидно для ранжированного вариационного ряда ; . В скобках указаны индексы j исходного ранжированного вариационного ряда.

Площадь гистограммы есть сумма площадей ее прямоугольников:

Таким образом, площадь гистограммы частот равна объему выборки, а площадь гистограммы относительных частот равна единице.

В теории вероятностей гистограмме относительных частот соответствует график плотности распределения вероятностей . Поэтому гистограмму можно использовать для подбора закона распределения генеральной совокупности;

Кумулятивные ряды графически изображают в виде кумуляты. Для ее построения на оси абсцисс откладывают варианты признака или интервалы, а на оси ординат - накопленные частоты Н() или относительные накопленные частоты , а затем точки с координатами (i ; H(i )) или (i ; ) соединяют отрезками прямой. В теории вероятностей кумуляте соответствует график интегральной функции распределения .

Если в статистическом исследовании исходным является статистическое распределение в виде интервального ряда (сгруппированные данные), а исходный вариационный ряд недоступен, то точное расположение отдельных значений, попавших в каждый из интервалов неизвестно. Только выбирая в качестве аргумента эмпирической функции распределения правую границу интервала (xi-1-xi), мы уверены, что все значения, попавшие в этот интервал, будут учтены (просуммированы) в значении накопленной частоты (накопленной относительной частоты), соответствующей этому интервалу.

Поэтому в случае интервального ряда значения и H(x) точно определены лишь для правой границы интервала: x = xi . В остальных точках интервала xi-1 < x xi значения и H(x) можно задать лишь приближенно. Примером может служить кумулята, отрезки прямых, которой представляют собой выраженную в графической форме линейную интерполяцию значений и H(x) на интервале xi-1 < x xi .

В случае дискретного ряда использовать кумуляту для изображения и H(x) можно лишь условно, для наглядности. Более корректным является изображение эмпирической функции распределения (а также H(x)) по аналогии с теоретической функцией распределения дискретной случайной величины, показанной на рисунке 1 ступенчатым графиком - отрезками прямых, параллельных оси абсцисс; длины отрезков - hi = xi - xi-1 , расстояния от отрезков до оси абсцисс - (или H(xi)).

2. Законы распределения случайной величины

Аналитическими выражениями законов распределения случайной величины являются функции распределения вероятностей интегральная и дифференциальная.

Интегральная функция распределения случайной величины показывает вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого заданного или текущего значения , т.е. она определяет вероятность события :

Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины заключено между и , равна разности значений функции распределения, вычисленной в двух этих точках:

Аналогично,

.

Интегральная функция распределения случайной величины обладает следующими свойствами:

;

;

для всех ;

1. если , т. е. F(x) - неубывающая функция.

В виде функции распределения можно задать распределение как непрерывной, показанной на рисунке 1а, так и дискретной, показанной на рисунке 1б, случайной величины. Как видно из определения, есть неубывающая функция . Ордината кривой , соответствующая точке , представляет собой вероятность того, что случайная величина при испытании окажется меньше . Интегральная функция распределения дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков равна единице.

Если функция дифференцируема для всех значений случайной величины, то закон распределения вероятностей может быть выражен в аналитической форме также с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей:

, где

Таким образом, значение функции приближено равно отношению вероятности попадания случайной величины в интервал к длине этого интервала, когда бесконечно малая величина. Поэтому функцию называют также функцией плотности распределения вероятностей (функцией плотности вероятности).

Отметим основные свойства функции:

С помощью дифференциальной функции распределения вычисляется вероятность нахождения случайной величины в любой области из множества ее возможных значений. Например:

3.

а -

б -

в -

Для непрерывной случайной величины вероятность можно определить как относительную долю площади под кривой плотности распределения вероятностей. Так, например, вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , равна относительной доле площади под кривой слева от точки (рисунок 2а); вероятность того, что эта величина примет значение, большее , равна относительной доле площади под кривой справа от точки (рисунок 2б); вероятность того что она примет значение, заключенное между значениями и равна относительной доле площади под кривой между точками и (рисунок 2в).

3. Характеристики распределения случайных величин

В математической статистике, при изучении распределений случайных величин, используют два вида числовых характеристик.

Меры положения - числовые характеристики, описывающие положение центра группирования. К ним относятся математическое ожидание, среднее арифметическое значение, медиана и мода.

Меры рассеивания - числовые характеристики рассеивания. К ним относятся дисперсия, среднее квадратическое отклонение и размах.

Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которой функция распределения равна 0,5. Это означает, что вероятность случайной величины принять меньшее медианы, равна вероятности этой величины принять значение, большее медианы.

Медиана определяется из соотношения:

Геометрически медиана является абсциссой такой точки кривой плотности вероятности (дифференциальной функции распределения) , ордината которой делит площадь под кривой на две равные части.

Модой называется такое значение случайной величины , которое имеет: для распределения дискретной случайной величины - наибольшую вероятность; для распределения непрерывной случайной величины - наибольшую плотность вероятности :

Кривая распределения может иметь один или несколько одинаковых максимумов. В этом случае ее называют одномодальной (рисунок 4а) или многомодальной (рисунок 4б). Если максимумы резко выражены, но различны по величине, то кривая называется многовершинной (рисунок 4в). Если в центральной части кривой распределения имеется минимум, по обе стороны от которого происходит непрерывное возрастание кривой до границ областей значений случайной величины, то такая кривая называется антимодальной (рисунок 4г). определяют положение центра группирования случайных величин в данном распределении.

Около этого центра сосредоточено наибольшее количество значений изучаемой величины. По мере удаления от центра группирования (влево, право) число значений случайной величины убывает.

4. Задание к работе

Дана выборка объема . ; . По прилагаемым исходным данным:

а) разбить интервал (, ) на 10 подинтервалов равной ширины ;

б) заполнить таблицу частот по образцу.

Построить эмпирическую функцию

5. Варианты исходных данных

Вариант 1	Вариант 2
164,57	465,14	347,99	381,39	147,24	151,23	0,20	0,27	456,54	54,27
389,25	340,30	499,01	133,08	200,06	145,21	0,56	0,14	68,23	456,89
169,22	132,03	314,43	119,95	199,39	131,58	2,365	2,54	457,24	98,25
427,93	289,35	386,72	437,62	187,75	9,62	158,69	124,28	145,26	76,58
249,26	235,62	380,75	194,07	317,20	13,56	287,36	456,27	13,25	0,58
285,37	413,23	353,32	298,27	349,28	23,45	452,13	147,25	0,25	45,68
269,10	181,52	164,09	361,69	374,79	0,32	465,23	254,24	0,12	149,24
228,70	149,30	373,43	288,63	39,09	156,98	236,59	456,29	84,56	265,28
236,49	247,55	252,70	321,85	91,38	161,23	156,36	156,25	145,23	368,23
397,76	468,52	356,23	286,76	60,83	0,36	499,01	214,23	87,98	69,49
140,03	313,45	222,62	429,06	270,61	463,23	56,48	235,0	458,97	45,28
227,02	326,66	204,06	239,21	444,15	347,15	279,58	28,23	147,56	46,57
434,81	182,61	52,45	88,76	311,99	214,23	146,29	265,35	187,14	56,28
0,14	39,85	173,86	243,77	200,18	289,23	160,39	145,24	289,15	193,26
181,62	386,12	401,81	370,96	272,12	25,63	0,23	145,17	126,59	8,14
221,71	334,28	78,48	166,91	151,23	0,23	465,27	458,12	0,26	47,23
300,30	255,89	216,17	278,66	131,28	0,58	156,27	479,26	0,45	56,49
367,77	386,96	90,13	300,45	145,25	236,96	154,28	0,245	35,24	25,26
316,40	304,39	136,01	131,71	148,62	230,23	247,23	1,256	28,12	354,23
220,24	349,75	246,41	192,39	130,62	156,39	459,25	12,45	46,59	11,45
Вариант 3	Вариант 4
151,23	347,99	0,27	381,39	54,27	18,254	347,99	89,25	381,39	185,45
145,21	499,01	0,14	133,08	456,89	146,56	499,01	456,25	133,08	65,24
131,58	314,43	2,54	119,95	98,25	0,23	314,43	200,21	119,95	112,35
9,62	386,72	124,28	437,62	76,58	13,25	386,72	498,78	437,62	17,89
13,56	380,75	456,27	194,07	0,58	136,56	380,75	89,65	194,07	56,24
23,45	353,32	147,25	298,27	45,68	124,25	353,32	11,54	298,27	234,62
0,32	164,09	254,24	361,69	149,24	89,25	164,09	0,65	361,69	265,28
156,98	373,43	456,29	288,63	265,28	95,63	373,43	2,35	288,63	384,12
161,23	252,70	156,25	321,85	368,23	32,56	252,70	62,35	321,85	400,35
0,36	356,23	214,23	286,76	69,49	147,54	356,23	61,38	286,76	487,33
63,23	222,62	235,0	429,06	45,28	156,32	222,62	450,23	429,06	0,45
147,15	204,06	28,23	239,21	46,57	320,21	204,06	0,36	239,21	12,35
214,23	52,45	265,35	328,76	56,28	0,36	52,45	89,56	328,76	189,65
289,23	173,86	145,24	243,77	193,26	0,58	173,86	55,68	243,77	465,21
25,63	401,81	145,17	370,96	298,14	1,24	401,81	352,23	370,96	35,12
0,23	177,48	458,12	166,91	47,23	45,65	177,48	25,23	166,91	89,56
0,58	216,17	479,26	278,66	56,49	54,98	216,17	220,68	278,66	1,25
236,96	90,13	0,245	300,45	25,26	97,63	90,13	44,25	300,45	400,35
230,23	136,01	1,256	131,71	354,23	46,58	136,01	12,35	131,71	25,49
156,39	246,41	12,45	192,39	11,45	100,39	246,41	0,44	192,39	0,28

Список литературы

1) Солонин И. С., «Математическая статистика в технологии машиностроения «, - М.: Машиностроение, 1982 - 216 с.

2) Вентцель Е. С., Овчаров Л. А., «Теория вероятностей и ее инженерные приложения», - М.: Наука, 1988 - 480 с.

3) Поллард Дж., «Справочник по вычислительным методам статистики, М.: Финансы и статистка, перевод с англ., 1982 - 344 с.

Размещено на Allbest.ru