Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО-СПЕЦАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

«САМАРКАНДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Кафедра: математическОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Курсовая работа

Блуждания, фигурные числа и обобщение биноминальных коэффициентов

Выполнил: Тухтамуродов Н.У.

Научный руководитель: Бурнашев В.Ф.

Самарканд - 2017 г.



Содержание

Введение

1. Блуждания

1.1 Пример

2. Фигурные числа

2.1 Из истории развития фигурных чисел

2.2 Виды фигурных чисел

2.3 Примеры

3. Биноминальные коэффициенты

3.1 Бином Ньютона, Треугольник Паскаля , Обобщение

3.2 Код программы для нахождения биномиальных коэффициентов

Заключение

Литература



Введение

Актуальность исследования: Еще Пифагор сказал: «Числа правят миром». Числа окружают нас повсюду. Две стихии господствуют в математике - числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Само возникновение понятия числа - одно из гениальнейших проявлений человеческого разума. Действительно, с помощью чисел не только записывают результаты измерений, сравнивают величины, вычисляют, но даже рисуют, проектируют, сочиняют, играют, делают умозаключения, выводы.

Понять что такое блуждания.

Нахождения биномиальных коэффициентов.

Цель исследования. В этой работе мы окунемся более подробно в историю числа, в некоторые интересные соотношения между числами и выясним, какие из них называют фигурными, изучим свойства фигурных чисел, установим связь между различными группами фигурных чисел дадим на основание примеров определение блуждания и нахождения биномиальных коэффициентов.

Объект исследования. Блуждания, фигурные числа и обобщение биномиальных коэффициентов.

Методы исследования:

· Анализ (некоторые свойства, признаки и т.д.) и их разностороннее изучение.

· Аналогия

· Классификация

· Наблюдение

· Метод обобщения

· Числовой эксперимент



1. Блуждания

1.1 Пример

Блуждания-- это скитание, колобродство, плутание, кружение, странствования.

Понятие блуждания подробно рассмотрим на следующем примере:

Человек бродит по городу

На рис.1 изображен план города (примерно такой вид имеет план Канберры -- столицы Австралии). В этом городе

n*kпрямоугольных кварталов, разделенных n - 1 «горизонтальными» и k-1 «вертикальными» улицами.

Путник хочет попасть из пункта А в пункт В кратчайшим путем, т. е. двигаясь все время или «слева направо», или «снизу вверх». Сколькими путями он может добраться из А в В?

Ясно, что, каким бы путем ни шел путник, он пройдет через k+ n перекрестков (считая точку А, но не считая точку В). На каждом перекрестке он может идти или направо, или вверх. Соответственно сопоставим каждому пути из А в последовательность из нулей и единиц -- если на очередном перекрестке выбран путь вправо, ставим цифру 0, а если выбран путь вверх, ставим цифру 1. Так как направо путник идет k раз, а вверх n раз, то получится перестановка, содержащая k нулей из n единиц. Каждой такой перестановке в свою очередь соответствует некоторый путь. На рис. 1 изображен путь, соответствующий перестановке 0110001100.

Но число перестановок из k нулей и n единиц равно (надо выбрать из общего n+k перекрестков те k , на которых путник идет направо). Тому же самому равно и число кратчайших путей из А в В.

Задачи о движении в разных направлениях тесно связаны с важными для физики проблемами случайных блужданий. Рассмотрим следующий пример. На рисунке 2 изображена сеть дорог. Из пункта А выходят 2ⁿ человек. Половина из них идет вправо, а половина -- вверх. Дойдя до первого перекрестка, каждая группа разделяется, половина опять идет вправо, а половина -- вверх. Такое же разделение происходит на каждом перекрестке. В каких пунктах окажутся эти люди после того, как они пройдут n перекрестков, и сколько людей будет в каждом из этих пунктов?

Такое движение мы только что разобрали. Так как общее число пройденных каждым человеком отрезков пути равно n, то люди окажутся в пунктах ( п - k),где k принимает значения от 0 до п. Все эти пункты расположены на прямой B_QB_n(см. рис. 2). Теперь остается узнать, сколько человек придет в пункт Виз точки А(0; 0) в каждый пункт Введут путей. . Значит, число путей, идущих из пункта А в пункты, расположенные напрямой B₀B_n , равно 2ⁿ, т. е. в точности равно числу людей, вышедших из пункта А. Это означает, что каждый путь пройдет один и только один человек, а количество людей, оказавшихся в пункте равно числу путей из А в т. е. . Если в каждом пункте указать количество пришедших туда людей, то по линии B₀ B_n окажутся выписанными числа n-й строки арифметического треугольника, т. е. биномиальные коэффициенты.



2.Фигурные числа

2.1 Из истории развития фигурного числа

Число - важнейшее математическое понятие. Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске ? абаке. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его не возможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", т. е. самое маленькое число, из которого образовывались все числа .

Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и частями", т. е. между целыми числами и дробями. Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как "числового атома", роднило ее с точкой, считавшейся "геометрическим атомом". Вот почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Т.о. пифагорейские числа в современной терминологии ? это натуральные числа. Числа ? камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть "прямоугольными". Так возникли числа, сегодня именуемые, фигурными. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. Например, представляя число 10 в двух формах: 5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a*b=b*a

В том же числе 10: (2+3)*2=2*2+3*2=10 можно "разглядеть" и распределительный закон сложения относительно умножения: (a+b)c=ac+bc.

Наконец, если "камешки", образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника:

S =ab.

В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование.

2.2 Виды фигурных чисел

а) Линейные числа -- числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

б) Плоские числа -- числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …

в) Телесные числа -- числа, представимые произведением трёх сомножителей:

8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …

г) Треугольные числа.

Пусть имеется одна точка. Добавим к ней еще две, получится три точки, которые можно расположить так, что они образуют равносторонний треугольник, а вот 4 и 5 точек расположить таким образом нельзя. Чтобы треугольник сохранился необходимо добавить еще три точки, затем четыре и т.д.Замечаем, что на каждом шаге надо добавить к предыдущему число, равное количеству шагов, точнее говоря мы получаем сумму следовательных k чисел:

1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

Последовательность треугольных чисел

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …,

Здесь можно заметить и то, что стороны второго треугольника ровно в два раза больше сторон первого, стороны третьего треугольника в три раза больше сторон первого и т.д. Кстати, теперь понятно, почему в бильярде шары выкладывают треугольником, во-первых, он правильный и в нем ровно 15 шаров - пятое треугольное число.

д) Квадратные числа.

Пусть опять имеется одна точка. Расположим четыре точки в виде квадрата. Увеличив стороны квадрата в 2 раза, получим новый квадрат, где таких точек уже будет 9, еще раз увеличив стороны первоначального квадрата, получим квадрат с 16-ю точками и т.д.

Замечаем, что получаются числа натурального ряда, взятые во второй степени, отсюда и пошло понятие «возвести в квадрат». А числа стали называть квадратными: 4,9,16, 25 и т.д.

е) Пятиугольные числа:

пятиугольные числа 5,12,22, … Можно получать шестиугольные, семиугольные и т.д.

Общая формула для таких чисел:

(k)=k-2n²-k-4n²

Здесь k показывает, сколько -угольное число будет вычисляться, а n - это номер шага при вычислении числа.

ж) Кубические числа

Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5х5х5=125... и так далее.

Теперь понятно, почему про такие числа говорят: «два в кубе», «три в кубе», «девять в кубе»?

з) Пирамидальные числа

возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.:

1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Последний написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

Большой интерес к фигурным числам проявляли индийские математики.

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Паскаль, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие.

Древнегреческий ученый Диофант нашел простую связь между треугольными числами Т и квадратными К:

8Т+1=К.

Можно наглядно представить эту формулу Диофанта на примере числа 10.

На рисунке изображены 81 клеточек, размещенные в квадрате. Они обрабатывают, квадратное число К. Одна клеточка занимает центр квадрата, а остальные 80 сгруппированы в 8 треугольных чисел Т в форме восьми "прямоугольных треугольников". Получается: 8Т+1=К.

Таблица фигурных чисел

Где n это число, из которого формируется фигурные числа, k--вид фигурного числа, где желтые колонки -- количество фигурных чисел.

2.3 Примеры

a. Вычисление многоугольных чисел и проверка свойств фигурных чисел.

Найдем первые 18 треугольных, квадратных, пятиугольных, шестиугольных, семиугольных и восьмиугольных чисел. Выполнив соответствующие вычисления по формуле F_n(k)=k-2n²-k-4n²

Пьер Ферма обнаружил, например, что

а) всякое натуральное число есть треугольное или сумма двух или трех треугольных чисел;

б) всякое натуральное число есть или квадрат, или сумма двух, трех или четырех квадратных чисел;

в) всякое натуральное число есть или пятиугольное, или сумма двух, трех, четырех или пяти пятиугольных чисел.

Проверим, так ли это. Возьмём число 1000.

а) 1000 - не треугольное число. Тогда возьмём треугольное число 990. 10 - это тоже треугольное число. 990+10=1000.

б) 1000 - не квадратное число. Тогда возьмём квадратное число 900. 1000-900=100 100 -квадратное число.

900+100=1000

в)1000 - не пятиугольное число. Тогда возьмём пятиугольное число 925.

1000-925=75. 75 - не пятиугольное число, но есть число 70. И возьмём число 5, оно тоже пятиугольное.

925+70+5=1000

Можно заметить некоторую закономерность: натуральное число есть треугольное или сумма 2 или 3 треугольных чисел. Натуральное число есть или квадрат, или сумма двух, трех или четырех квадратных чисел. Натуральное число есть или пятиугольное, или сумма двух, трех, четырех или пяти пятиугольных чисел. Значит, всякое натуральное число есть шестиугольное или сумма двух, трёх, четырёх, пяти или шести шестиугольных чисел.

Убедимся в этом. 1000 - не шестиугольное число. Возьмём число 861.

1000-861=139. 139 - не шестиугольное число. Возьмём числа 66 ,45 и 28.

861+66+45+28=1000

Всякое натуральное число есть семиугольное или сумма двух, трёх, четырёх, пяти, шести или семи семиугольных чисел.

Возьмём числа 342, 469, 148, 34 и 7.

342+469+148+34+7=1000.

Представим все это в виде таблицы:

	треугольные	четырехугольные	пятиугольные	шестиугольные	семиугольные
	10	100	5	28	7
	990	900	70	45	34
			925	66	148
				861	342
					469
Сумма	1000	1000	1000	1000	1000

Вывод:

всякое натуральное число есть n-угольное или сумма двух, трёх, четырёх, пяти, шести и т.д. или n-угольных чисел

б) В результате работы с таблицей выяснилось следующее: сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат.

Действительно, возьмем числа 6+10=16=4² - квадратное, или 36+45=81=9² - квадратное , или 120+136=256=16²

- квадратное и т.д.

в) Во всех четных многоугольных числах четность чередуется, а во всех нечетных многоугольных числах четность меняется через два числа.

г) Если сложить вторые треугольное число, квадратное число, пятиугольное число, шестиугольное число, то заметим ,что на каждом шаге сумма увеличивается на 10.

Сложим: 3+4+5+6=18.

Возьмем третьи числа в каждой группе: 6+9+12+15=42

Возьмем четвертые числа в каждой группе 10+16+22+28=76

Выясним, как изменяется результат: треугольное + квадратное + пятиугольное +шестиугольное

76-42=34 42-18=24. То есть 18 увеличиваем на 24, 42 увеличиваем на 34. Проверим!

15+25+35+45 Пример должен увеличиться на 44

15+25+35+45=120 120-76=44. Всё верно!

Что же мы замечаем?

Сумма третьих больше на 24, чем сумма вторых

Сумма четвертых на 34 больше суммы третьих

Сумма пятых на 44 больше суммы четвертых и т.д.

Тогда, например сумма четырнадцатых больше суммы тринадцатых на 134!

Можно предложить однокурсникам фокус: найти разность суммы шестнадцатых соответствующих чисел и пятнадцатых ответ 154! Необходимо всего лишь к номеру чисел, которые вычитаем приписать 4.

b. Нахождение суммы подряд идущих чисел, то есть вычисление треугольных чисел.

Сначала попробуем сосчитать сумму чисел1+2+3+4+….Для этого рассмотрим две лесенки одна из них перевернута и соединим их в прямоугольник, тогда получится квадратиков в два раза больше, но количество их равно площади прямоугольника со сторонами 4 и 5. (4*5)/2=10. Можно также посмотреть другую сумму, например1+2+3+4+5+6+7, тогда сумма будет вычисляться по той же схеме: (7*8) /2=28. Пронаблюдав за этими суммами, делаю вывод: сумма вычисляется по формуле S = n (n+1)²

c. Понаблюдаем за квадратными числами.

Посмотрим, прежде всего, на сколько камней отличаются соседние квадраты?

Чтобы получить число 4 нужно к одному камушку добавить еще по одному по бокам и один в уголке: 2*2=1*1+1+1+1=1*1+1+2

Чтобы из квадрата 2*2 сделать квадрат 3*3 нужно к квадрату 2*2 добавить 2 камушка сбоку и 2 камушка сверху и еще 1в правый угол: 3*3=2*2+2+2+1=2*2+2+3

Чтобы из квадрата 3*3 сделать квадрат 4*4, нужно добавить три камушка снизу, еще три сбоку и один в уголке: 4*4=3*3+3+3+1=3*3+3+4. Чтобы из квадрата 4*4 получился квадрат 5*5, нужно положить два раза по 4 камушка - снизу и сбоку - и опять еще один, в уголке: 5*5=4*4+4+4+1= 4*4+4+5. Итак, если мы знаем что 10 в квадрате- это 100, то мы легко найдем, чему равно 11 в квадрате: 11*11= 10*10+10+11=100+ 10+11= 121. Тогда я могу сделать вывод, чтобы найти квадрат очередного числа не обязательно считать камушки, а надо к квадрату предыдущего числа а прибавить число а и прибавить следующее за ним по счету. Например: 12*12=11*11+11+12=121+23=144. Тогда легко найти, например, квадраты чисел, которые на 1 больше, круглого числа, которое легко умножить само на себя.

2*2=1*1+1+1+1

3*3=2*2+2+2+1

4*4=3*3+3+3+1

5*5=4*4+4+4+1

6*6=5*5+5+5+1

21*21=20*20+20+21=441

31*31=30*30+30+31=961

401*401=400*400+400+401=2401 и т.д.

Разглядывая далее картинку с квадратными числами легко сообразить, чему равен квадрат суммы двух чисел. Например, чтобы найти (3+4)*(3+4), нужно приложить уголком друг к другу квадраты 4*4 и 3*3 и добавить два прямоугольника 3*4 и 4*3: (3+4)*(3+4)= 4*4+3*3+3*4+4*3=16+9+12+12=25+24=49.

d. Рассмотрим теперь пятиугольники.

Первым считаем, как и раньше, пятиугольник из одного камушка, во втором пять камней, в третьем- 12, в четвертом- 22 и т.д. Посмотрите на рисунок. Во втором пятиугольнике два камня снизу и еще три раза по одному; в третьем- 3 камня снизу и еще три треугольника - три вторых по счету треугольных числа. А в четвертом? 4 камня снизу и три третьих по счету треугольных числа: 4+3*6=22. По этому правилу, не рисуя картинку, можно найти и пятое пятиугольное число: 5 камней будут снизу, и еще три четвертых по счету треугольных числа, т. е. 5+3*10=35. Если теперь представить все это в виде таблицы

Номер пятиугольного числа	Само число
2	2+3*1=5
3	3+3*3=12
4	4+3*6=22
5	5+3*10=35
10	10+3*45=145

Вывод: чтобы найти какое-нибудь пятиугольное число с заданным номером надо к этому номеру прибавить утроенное треугольное число с номером на единичку меньшим.



3. Биномиальные коэффициенты

3.1 Бином Ньютона

Бином Ньютона--формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид:

(a+b)ⁿ=a^n-kb^k

Биномиальный коэффициент (n и k) является обобщением числа сочетаний , которое определено только для неотрицательных целых чисел n, k.

Биномиальные коэффициенты часто возникают в комбинаторных задачах и теории вероятностей.

при и называется биномиальным коэффициентом. В западной литературе принято обозначение .

Пример.

Теорема 1. Для любых натуральных и справедливы следующие формулы:



Теорема 2. Имеет место формула бинома Ньютона

Доказательство ведется индукцией по . Для формула справедлива. Предположим, что она справедлива для степени , докажем ее справедливость для степени , т.е. докажем, что в разложении по степеням a и b коэффициент при равен .

Последнее равенство следует из пункта теоремы 1. ¦

Для малых значений показателя вычисления биномиальных коэффициентов удобно производить по следующей схеме.

Задача. Для произвольных вещественных чисел a,b и натурального n выписать разложение выражения по степеням и .

Из школьного курса алгебры известны эти разложения для малых :



Выражение

Биномиальные коэффициенты -- коэффициенты в разложении (1+x)ⁿ по степеням x (т. н. бином Ньютона):

(1+x)ⁿ=(n⁰)+(n¹)x+(n²)x2+?=?(n^k)xk.

Значение биномиального коэффициента (nk) определено для всех целых чисел n и k. Явные формулы для вычисления биномиальных коэффициентов:

(n^k)=n!k!(n?k)!=n(n?1)(n?2)...(n?k+1))k!

для 0?k?n; (n^k)=0 для k или 0?n<k; (n^k)=(?1)k(?n+k?1k) для n, где n! и k! -- факториалы чисел n и k.

Треугольник Паскаля.

Правила формирования его просты: на сторонах треугольника ставится , а элемент каждой строки получается суммированием двух стоящих над ним в предыдущей строке. Обоснование этой схемы, очевидно, следует из формул теоремы 1.

Обобщение

Теорема. Выражение при раскладывается по степеням чисел с помощью обобщения биномиальных коэффициентов -- так называемых мульти биномиальных коэффициентов¹⁾:

где суммирование идет по всем различным наборам неотрицательных целых индексов, удовлетворяющих ограничению

Доказательство приведем для случая . Выражение можно представить в виде бинома

Все возможные слагаемые (мономы) полного разложения, содержащие сомножителем , присутствуют в слагаемом . Если нас интересует конкретное слагаемое, содержащее , то коэффициент при этом слагаемом вычислится с помощью биномиального разложения, т.е. он равен

Пример.

Непосредственное доказательство того, что мульти биномиальные коэффициенты -- числа целые (т.е. что число делится нацело на при )

Суммы биномиальных коэффициентов

Формулы Вандермонда:

Связь с числами Фибоначчи:

фигурный число пирамидальный биномиальный

3.2 Код программы «Вычисление биномиальных коэффициентов»

При составление программы использовалась след формула:

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.ComponentModel;

using System.Data;

using System.Drawing;

using System.Linq;

using System.Text;

using System.Windows.Forms;

namespace Binom

{

public partial class Form1 : Form

{

public Form1()

{

InitializeComponent();

}

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)

{

try

{

listBox1.Items.Clear();

Int32 i, j, m, n, mn, s, fact;

s = 1; n = Convert.ToInt32(textBox1.Text); fact = 0;

label3.Text = textBox1.Text;

for (i = 1; i <= n; i++)

s = s * i;

j = 0; m = 1; mn = 1;

while (j <= n)

{

for (i = 1; i <= j; i++)

m = m * i;

for (i = 1; i <= n - j; i++)

mn = mn * i;

fact = m * mn;

i = s / fact;

listBox1.Items.Add(i);

j++;

m = 1; mn = 1;

fact = 0;

}

}

catch

{

MessageBox.Show("Error");

}

}

}

}

Пользовательский интерфейс программы.

Описание применения

Найти биномиальные коэффициенты Бинома Ньютона при n=5. Запускаем программу Binom.exe.

В появившейся форме задаем, значение n=5 нажимаем клавишу ENTER ,результат представлен на рисунке.



В результате выполнения программы мы получаем Бином Ньютона при n=5.

(a+b)⁵=1a⁵b⁰+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+a⁰b⁵;



Заключение

Выводы:

В результате работы над данной темой мы узнали, что значит фигурные числа, блуждания, биномиальные коэффициенты. Изучили свойства и заметили некоторые закономерности. Научились возводить в квадрат числа, которые на 1 больше круглого числа, нахождения коротких путей для блуждания. Можно заметить, как изменяется последовательные суммы некоторых фигурных чисел, научились вычислять сумму треугольных чисел, нашли биномиальные коэффициенты n-й степени. В ходе изучения материала могут встретиться и другие числа: совершенные, дружественные. Поэтому нам надо узнать как можно больше о числах, которые удивляют нас и понятия о блужданиях, биномиальных коэффициентов.

Мною разработана программа, которая находит биномиальные коэффициенты степени n.



Список использованной литературы

1. А.Д. Бендукидзе, Квант, №6, 1974г

2. В. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. Пер. с англ. Данилова. М., “Оникс”, 1994. 509 с. с илл.

3. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. - 5-е изд. - М.: Наука 1986.

4. Депман И. Я., Виленкин И. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5 -6 кл. сред. шк. - М :Просвещение, 1989. - 287 с.: ил.

5. Н.Я.Виленкин, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд, В.И.Жохов Математика, учебник 6 класса, задача № 249, 255 стр.

6. Математический большой энциклопедический словарь/ Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: Большая Советская энциклопедия, 1988. - 845 стр.

7. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк./ И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин - М.: Просвещение, 1989

Интернет ресурсы:

http://ru.wikipedia.org/wiki/Фигурные_числа

http://kvant.mirror1.mccme.ru/editor.html

Размещено на Allbest.ru