Показательные уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Показательные уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина входит в аргумент показательных функций.

Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств,вспомни что такое показательная функция. Функцию вида y = a^x, где a > 0 и a ? 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = a^x:

Свойство	a > 1	0 < a < 1
Область определения	D(f) = (-?; +?)	D(f) = (-?; +?)
Область значений	E(f) = (0; +?)	E(f) = (0; +?)
Монотонность	Возрастает	Убывает
Непрерывность	Непрерывная	Непрерывная

График показательной функции.

Показательное уравнение - это уравнение вида a^f(x) = a^d(x), где а - положительное число, отличное от 1.

Уравнения, сводящиеся к этому виду, тоже считаются показательными.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1. Показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ? 1) равносильно уравнению f(x) = g(x). Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:



Пример:

Решим уравнение 2^{2х - 4} = 64.

Решение.

Представим 64 в виде 2⁶. Тогда:

2^{2х - 4} = 2⁶.

Мы получили одинаковое значение основания в левой и правой частях уравнения число значит, можем убрать основания, получив равносильное уравнение, и решить его:

2х - 4 = 6

2х = 6 + 4 = 10

х = 10 : 2

х = 5.

Пример1:

Уравнение тогда принимает вид:

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:



Переходя к обратной подстановке, получаем:

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет яв ляться ответом к заданию.

Ответ: x = 3.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9^4-x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

.

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Ответ: x = 6.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2^x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: x = 0.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

Деление обеих частей уравнения на 4^x, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.

Ответ: x = 0.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение: функция y = 3^x, стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = --x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней

Ответ: x = 2.

Показательные неравенства.

Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы: функция уравнение степень преобразование

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

При решении показательных неравенств используются следующие утверждения: A.1. Если a > 1, неравенство a ^f(x) > a ^g(x) , где а - положительное число, отличное от 1. равносильно неравенству f(x) > g(x). Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x) ; f(x) < g(x).

Рассмотрим что-нибудь совсем простое. Например, вот это:

2x>4

Очевидно, что число справа можно переписать в виде степени двойки: 4=22

Таким образом, исходное неравенство перепишется в очень удобной форме:

2x>22

И вот уже руки чешутся «зачеркнуть» двойки, стоящие в основаниях степеней, дабы получить ответ x>2

Но перед тем как что там зачёркивать, давайте вспомним степени двойки:

21=2;22=4;23=8;24=16;...

Как видим, чем большее число стоит в показателе степени, тем больше получается число на выходе.

(12)1=12;(12)2=14;(12)3=18;...

Тут тоже всё логично: чем больше степень, тем больше раз число 0,5 умножается само на себя (т.е. делится пополам). Таким образом, полученная последовательность чисел убывает, а разница между первой и второй последовательностью состоит лишь в основании:

Если основание степени a>1, то по мере роста показателя n число an тоже будет расти;

И наоборот, если 0<a<1, то по мере роста показателя n число an будет убывать. Суммируя эти факты, мы получаем самое главное утверждение, на котором и основано всё решение показательных неравенств:

Если a>1 , то неравенство ax>an равносильно неравенству x>n. Если 0<a<1, то неравенство ax>an равносильно неравенству x<n

Другими словами, если основание больше единицы, его можно просто убрать -- знак неравенства при этом не поменяется. А если основание меньше единицы, то его тоже можно убрать, но при этом придётся поменять и знак неравенства.

Обратите внимание: мы не рассмотрели варианты a=1 и a?0. Потому что в этих случаях возникает неопределённость. Допустим, как решить неравенство вида 1x>3?

Единица в любой степени снова даст единицу -- мы никогда не получим тройку или больше. Т.е. решений нет.

В общем, ещё раз запомните главное правило: если основание в показательном уравнении больше единицы, его можно просто убрать; а если основание меньше единицы, его тоже можно убрать, но при этом поменяется знак неравенства.

Пример Решим неравенство 3^{х + 2} > 81

Решение:

Представим 81 в виде 3⁴. Тогда:

3^{х + 2} < 3⁴.

Теперь в обеих частях неравенства одинаковое основание 3. Оно больше 1. Значит, заменяем неравенство равносильным неравенством того же смысла и решаем его:

х + 2 < 4

х < 4:2

х < 2.

A.2. Если 0 < a < 1, неравенство a ^f(x) > a ^g(x) равносильно неравенству f(x) < g(x). Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x) ; f(x) > g(x).

Решим неравенство 0,5^{х - 3} < 0,25.

Решение:

Представим 0,25 в виде 0,5². Тогда:

0,5^{х - 3} < 0,5².

Теперь у нас одинаковое основание в обеих частях неравенства: 0,5. Это число меньше 1. Значит, заменяем неравенство на равносильное неравенство с противоположным смыслом и решаем его:

х - 3 > 2

х > 2 + 3

x > 5.

A.3. Неравенство

[h(x)] ^f(x) > [h(x)] ^g(x)

равносильно совокупности систем неравенств

h(x) > 1,

f(x) > g(x),

0 < h(x) < 1,

f(x) < g(x).

Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай

h(x) = 1,

x I D(f); D(g),

где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g). A.4. Если b ? 0, неравенство a^f(x) < b не имеет решений (следует из свойств показательной функции). A.5. Если b ? 0, множеством решений неравенства a^f(x) > b является x D(f). A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство a^f(x) > b равносильно неравенству f(x) > log_ab. Аналогично, a ^f(x) < b ; f(x) < log_ab. A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство a ^f(x) > b равносильно неравенству f(x) < log_ab. Аналогично, a ^f(x) < b ; f(x) > log_ab.

ПРИМЕР . Решите неравенство:

Решение: представим исходное неравенство в виде:

Разделим обе части этого неравенства на 3^2x, при этом (в силу положительности функции y = 3^2x) знак неравенства не изменится:

Воспользуемся подстановкой:

Тогда неравенство примет вид:



Итак, решением неравенства является промежуток: переходя к обратной подстановке, получаем

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ:

Приложение1.

Решение показательных неравенств

Пример1..Решить неравенство: (методом вынесения общего множителя за скобки). Решение: Вынесем за скобки в левой части неравенства , в правой части неравенства и разделим обе части неравенства на (-2), поменяв знак неравенства на противоположный:

Так как , то при переходе к неравенству показателей знак неравенства опять меняется на противоположный. Получаем . Таким образом, множество всех решений данного неравенства есть интервал .

Ответ: .

Пример2.Решить неравенство (методом введения новой переменной).

Решение: Пусть . Тогда данное неравенство примет вид: или , решением которого является интервал .

Отсюда . Поскольку функция возрастает, то .

Ответ: .

Пример3.Решить неравенство

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

Введем новую переменную:

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

Окончательно получаем ответ:

Пример 4. Решите неравенство:

Делим обе части неравенства на выражение:

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

Воспользуемся заменой переменной:

Исходное уравнение тогда принимает вид:



Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательный ответ:

Пример 5. Решите неравенство:

Решение:

Ветви параболы y = 2x+2-x² направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

Ветви параболы y = x²-2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3^x2-2x+2, стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3¹ = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Ответ: x = 1.

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств. Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени при постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных неравенств основано на строгой монотонности показательной функции. Известно, что:

· при основании, большем единицы, показательная функция возрастает;

· при положительном основании, меньшем единицы, показательная функция убывает.

· При решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

· Если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется.

· Если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении.



Литература

1. М.А.Алилов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала анализа» Пробный учебник для 10-11 кл. средней школы. М.: «Просвещение» 2002 г.

2. В.А.Гусев, А.Г.Мордович «Математика. Справочные материалы» Книга для учащихся М.: «Просвещение» 1990 г.

3. С.В.Кравцов, Б.Н.Макаров и др. «Методы решения задач по алгебре» Экзамен «Оникс 21 век» М.: 2001 г.

4. Под.ред. Г.С.Ковалевой «ЕГЭ Математика» Контрольные измерительные материалы. М.: «Просвещение» 2003 г.

5. Клово А.Т., Калашников В.Ю. и др

6. И.И.Мельников, И.Н. Сергеев «Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах», М.: Издательство МТУ, 1990 г.

7. М.И.Сканави «Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы». Ташкент «Учитавчи» 1992 г.

8. О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев. «Математика. Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы». М.: АСТ-ПРЕСС ШКОЛА.

9. Вольфсон. Б.И. «Готовимся к экзамену по математике». Ростов н/Д: Феникс, 2005.

Размещено на Allbest.ru