Характеристика числовых рядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Г.И. НОСОВА

Кафедра высшей математики № 2

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине Теория вероятности, математическая статистика

на тему Числовые ряды

Исполнитель

Волков А.С.

Руководитель

Акманова З.С.

Магнитогорск 2015

Содержание

Введение

1. Понятие числового ряда, виды числовых рядов

2. Необходимый признак сходимости ряда: теоретическая часть и примеры

3. Достаточные признаки сходимости

3.1 Признаки сравнения для числовых рядов: теоретическая часть и примеры

3.2 Признак сходимости Даламбера: теоретическая часть и примеры

3.3 Радикальный признак Коши: теоретическая часть и примеры

3.4 Интегральный признак Коши: теоретическая часть и примеры

4. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды: теоретическая часть и примеры

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Актуальность изучения данной проблемы обусловлена тем, что раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов. Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий. Такое положение сохраняется и сейчас. Таким образом, представляется актуальным изучить числовые ряды, их основные понятия и свойства.

Цель исследования - изучить числовые ряды, их основные понятия и сойства, а также применить изученный материал для решения задач.

Задачи исследования:

1. Изучить числовые ряды, их сущность и основные свойства.

2. Рассмотреть применение теоретического материала на конкретных примерах.

3. Предложить варианты задач для самостоятельного решения

1. Понятие числового ряда, виды числовых рядов

Числовым рядом называется сумма вида

где a1,a2… - члены ряда образующие бесконечную последовательность, член an - общий член ряда.

В общем виде числовой ряд можно записать так: .

- математический значок суммы;

- общий член ряда ;

Пример 1.

Записать первые три члена ряда

Сначала , тогда:

Затем , тогда:

Потом , тогда:

ответ:

Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности, в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.

Иногда встречается обратное задание

Пример 2.

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть.

В данном случае:

Для проверки полученный ряд можно «расписать обратно» в развернутом виде.

Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость. При этом возможны два случая:

1) Ряд расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: .

2) Ряд сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : . Рассмотрим примеры сходящихся и расходящихся числовых рядов.

Пример 3.

Ряд вида

называется геометрическим .

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Известно, что сумма её первых n членов . Очевидно: это n-ая частичная сумма ряда.

Возможны случаи:

1. :

, ряд принимает вид:

,

, ряд расходится;

, ряд принимает вид:

,

не имеет предела, ряд расходится.

2. , - конечное число, ряд сходится.

3. , - ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при и расходится при .

Пример 4.

Ряд вида

называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

.

Сумма больше суммы, представленной следующим образом:

или .

Если , то , или .

Следовательно, если , то , т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 5.

Ряд вида

называется обобщённым гармоническим.

Если , то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если , то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При имеем геометрический ряд, в котором ; он является сходящимся.

Итак, обобщённый гармонический ряд сходится при и расходится при

2. Необходимый признак сходимости ряда: теоретическая часть и примеры

В подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда затруднительно, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.

Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши и т.д.

Рассмотрим необходимый признак сходимости ряда.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: .

Доказательство следует из того, что , и если

S - сумма ряда, то

Это условие является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий член ряда стремится к нулю при , то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда однако он расходится.

Если , то ряд расходится - это достаточный признак расходимости ряда, т.е. если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится

Если , то ряд расходится.

Для данного признака сходимости можно выделить несколько свойств.

Свойство 1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему, переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда его сумма может измениться).

Доказательство свойства следует из того, что числовой ряд и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

Свойство 2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т.е., если ряд сходится, имеет сумму S и c - некоторое число, тогда

Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства

Свойство 3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т.е. если ряды ,

сходятся,

то и ряд

ходится и его сумма равна т.е.

.

Доказательство следует из свойств предела конечных сумм, т.е.



Необходимый признак сходимости ряда довольно часто встречается в практических заданиях:

Пример 6

Исследовать ряд на сходимость

В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Решаем:

Делим числитель и знаменатель на

Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

3. Достаточные признаки сходимости

3.1 Признаки сравнения для числовых рядов: теоретическая часть и примеры

Существуют два признака сравнения, один можно назвать просто признаком сравнения, другой - предельным признаком сравнения.

Сначала рассмотрим признак сравнения. На практике он встречается довольно редко, Признак сравнения:

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

Рассмотрим два числовых ряда и .

1. Если известно, что ряд - сходится, и выполнено неравенство (для ), то ряд тоже сходится.

Иными словами: Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

2. Если известно, что ряд - расходится и выполнено неравенство (для ), то ряд тоже расходится. т.е. из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

Рассмотрим доказательство.

1. Пусть ряд . сходится и его сумма равна В. Последовательность частичных сумм ряда является неубывающей ограниченной сверху числом В, т.е.

Тогда в силу свойств таких последовательностей следует, что она имеет конечный предел, т.е. ряд сходится.

2. Пусть ряд расходится. Тогда, если ряд сходится, то в силу доказанного выше пункта 1 сходился бы и исходный ряд, что противоречит нашему условию. Следовательно ряд . также расходится.

Этот признак удобно применять к определению сходимости рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже известна.

Пример 7

Исследовать ряд на сходимость

Используем понятие обобщенного гармонического ряда и находим похожий ряд: Из теории известно, что он сходится. Теперь нам нужно показать, что для всех значений справедливо неравенство .

Если , то

Если , то

Если , то

Если , то

И так далее.

Оформить решение можно так:

Сравним исследуемый ряд со сходящимся рядом . Используем признак сравнения. Для рассматриваемых рядов выполнено неравенство , значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

На практике для числовых рядов чаще всего используют предельный признак сравнения.

Предельный признак сравнения:

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда:

1) в знаменателе находится многочлен;

2) многочлены находятся и в числителе и в знаменателе;

3) один или оба многочлена могут быть под корнем;

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость

Мы видим, что и в числителе и в знаменателе у нас многочлены, причем, в знаменателе многочлен находится под корнем. Подбираем ряд для сравнения.

1) Находим старшую степень знаменателя. Она равна двум.

2) Выясняем старшую степень числителя. Она равна единице.

3) Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 2 - 1 = 1

Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом , то есть, с расходящимся гармоническим рядом.

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходитсявместе с гармоническим рядом .

3.2 Признак сходимости Даламбера: теоретическая часть и примеры

Одним из распространенных признаков сравнения, который встречается в практических примерах, является признак Даламбера.

1. В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, , , и так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе - важно, что она там присутствует.

2. В общий член ряда входит факториал.

3. Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, .

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:

а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .

б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак (обычно предельный признак сравнения).

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость

Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть , следовательно, используем признак Даламбера:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему: . Из условия мы видим, что общий член ряда . Для того, чтобы получить следующий член ряда необходимо вместо подставить :

.

(2) В числителе раскрываем скобки. В знаменателе выносим четверку из степени.

(3) Сокращаем на . Константу выносим за знак предела. В числителе в скобках приводим подобные слагаемые.

(4) Неопределенность устраняется стандартным способом - делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.

(5) Почленно делим числители на знаменатели, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.

(6) Упрощаем ответ и делаем пометку, что с выводом о том, что, по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

Пример 10.

Исследовать ряд на сходимость

Сначала полное решение, потом комментарии:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

(1)Составляем отношение .

(2) Рассмотрим выражение в числителе и выражение в знаменателе.. Проанализируем старшие степени: если мы вверху раскроем скобки , то получим старшую степень . Внизу у нас такая же старшая степень: . При почленном делении числителя и знаменателя на у нас в пределе получится единица, т.к. многочлены и - одного порядка роста. Таким образом, отношение стремится к единице. Аналогично действуем со второй парой многочленов: и , они тоже одного порядка роста, и их отношение стремится к единице.

Пример 11.

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Даламбера:

Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Пример 12.

Исследовать ряд на сходимость

В общий член ряда входит и степень, и факториал. Необходимо использовать признак Даламбера. (1) Составляем отношение . Для того чтобы получить следующий член ряда, вместо нужно подставить , таким образом: числовой ряд сходимость интегральный

.

(2) Сокращаем всё, что можно сократить. (3) Константу выносим за знак предела. В числителе раскрываем скобки. (4) Неопределенность устраняем стандартным способом - делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.

Оформляем решение:

Таким образом, исследуемый ряд расходится.

3.3 Радикальный признак Коши: теоретическая часть и примеры

Признак сходимости Коши для числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:

а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .

б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда полностью находится в степени,зависящей от «эн». Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда.

Пример 13

Исследовать ряд на сходимость

Общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от , а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:

(1) Оформляем общий член ряда под корень.

(2) Переписываем то же самое, только уже без корня, используя свойство степеней .

(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что

(4) В результате у нас получилась неопределенность . Почленно делим числитель и знаменатель прямо под степенью-константой. Для устранения неопределенности делим числитель и знаменатель на (старшую степень).

(5) Собственно выполняем почленное деление, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.

(6) Помечаем, что и делаем вывод о том, что ряд расходится.

Оформляем решение:

Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Пример 14

Исследовать ряд на сходимость

Используем радикальный признак Коши:

1) Помещаем общий член ряда под корень.

(2) Переписываем то же самое, но уже без корня, при этом раскрываем скобки, используя формулу сокращенного умножения: .

(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель и указываем, что .

(4) Получена неопределенность вида . Здесь можно прямо в скобке почленно поделить числитель на знаменатель на «эн» в старшей степени. (5) Собственно выполняем почленное деление и указываем, какие слагаемые у нас стремятся к нулю.

(6) Неопределенность устранена, у нас остался простейший предел: .

(7) Указываем, что и делаем вывод о том, что ряд сходится.

Оформляем решение:



Таким образом, исследуемый ряд сходится.

3.4 Интегральный признак Коши: теоретическая часть и примеры

Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная.

Пример 15

Исследовать ряд на сходимость

Используем интегральный признак:

Подынтегральная функция непрерывна на

Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Пример 16.

Исследовать ряд на сходимость

Используем интегральный признак Коши:

Подынтегральная функция непрерывна на

Получено конечное число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

4. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды: теоретическая часть и примеры

Числовой ряд

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

,

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочерёдно). Например,

;

;

.

Для исследования знакочередующихся рядов на сходимость. используют признак Лейбница.

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится, т.е.

1. Ряд является знакочередующимся.

2. Члены ряда убывают по модулю: . Причём, убывают монотонно.

Если выполнены оба условия, то ряд сходится.

Пример 17

Исследовать ряд на сходимость

В общий член ряда входит множитель , а значит, нужно использовать признак Лейбница

1. Проверка ряда на знакочередование.

2. Для того чтобы определить, убывают ли члены ряда по модулю, Необходимо решить предел, - члены ряда не убывают по модулю. Вывод: ряд расходится.

Пример 18

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1.

Ряд является знакочередующимся.

2. - члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Если ряд сходится по признаку Лейбница, то также говорят, что ряд сходится условно.

Если сходится и ряд, составленный из модулей: , то говорят, что ряд сходится абсолютно.

3. Исследуем наш ряд на абсолютную сходимость.

Составим ряд из модулей:

расходится (гармонический ряд).

Таким образом, наш ряд не является абсолютно сходящимся.

Исследуемый ряд сходится только условно.

Пример 19

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1.

Данный ряд является знакочередующимся.

2.

члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , значит, убывание монотонно.

Вывод: Ряд сходится.

3. Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Анализируя ряд, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения.

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения.

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд сходится вместе с рядом .

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 20

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница.

1. Ряд является знакочередующимся.

2.

Члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

3.Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Очевидно, что нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, ряд сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 21

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

1. Ряд является знакочередующимся.

2. ,

так как более высокого порядка роста, чем .
Члены ряда убывают по модулю, начиная с некоторого номера , при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

3. Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 22

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница.

1.

Ряд является знакочередующимся.

2.

так как более высокого порядка роста, чем

Члены ряда убывают по модулю, начиная с некоторого номера , при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно.

Вывод: Ряд сходится.

3. Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд - сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Заключение

На основе анализа изученной специальной литературы, необходимо сделать ряд выводов:

Ряд -- математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) существует, то говорят, что ряд сходится. В противном случае говорят, что он расходится.

Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности: u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . = Непосредственно просуммировать ряд нельзя, т.к. число слагаемых бесконечно.

Приходится вводить специальную процедуру.

Числовой ряд сходится, если выполнены следующие условия: последовательность монотонна и ограничена

Список использованной литературы

1. Майков Е.В. Математический анализ: Числовые ряды. М., Изд-во МГУ, 1999 - 61 с..

2. Никольский С.М. Курс математического анализа, М., изд. «Наука», 1990г - 468с.

3. Щипачев А.В.Основы высшая математика, 2-е изд., М., изд. «Высшая школа», 1994г - 479 с.

4. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 1990 - 495 с.

5. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 - 256 с.

Данко П.Е., Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч. - В.: Высшая школа, 1986. Ч. 1. - 304 с

Размещено на Allbest.ru