Семейство поверхностей, заданное формулами преобразования координат, и его огибающая

Размещено на http://www.allbest.ru/

Семейство поверхностей, заданное формулами преобразования координат, и его огибающая

А. А. Ляшков

А. М. Завьялов

Вопросам исследования отображения ортогональным проецированием поверхности на плоскость посвящено значительное количество работ: [1, 2, 3, 4] и другие. В них, в основном, определяются некоторые дифференциальные характеристики очерка двумерной поверхности или алгебраической поверхности большей размерности. Так в работе [3] предлагается определять точки контурной линии по уравнениям поверхности, заданным в неявной форме и уравнениям, содержащим дифференциальные характеристики этой поверхности. Для расчета предлагается использовать методы вычислительной математики и методы нелинейного программирования. Что является не простой задачей. Анализа контурной линии и ее проекции не приводится. уравнение поверхность дифференциальный плоскость

Во многих прикладных задачах, связанных с профилированием режущего инструмента, определяют огибающую семейства поверхностей. Наряду с классическим подходом к определению огибающей в последнее время используется и новый. Так, если спроецировать график семейства двумерных поверхностей в пространство R⁴, то получим некоторую трехмерную гиперповерхность У. Криминанта этой поверхности является огибающей рассматриваемого семейства. Исследование поверхности У при задании ее параметрическими уравнениями и уравнением в неявной форме проведено в работах [5], [6]. Установлено ряд новых свойств такой поверхности. В связи с тем, что при профилировании режущего инструмента семейство поверхностей задается формулами преобразования координат [7], важной задачей является исследование полученной таким образом гиперповерхности.

Криминанта гиперповерхности

Пусть исходная поверхность задана в подвижной системе координат 0XYZ уравнением в неявной форме

(1)

Эта поверхность совершает некоторое движение относительно неподвижной системы координат 0₁x₁y₁z₁. В общем виде формулы преобразования координат, выражающие x₁, y₁, z₁ через x, y, z , можно записать так

(2)

где ц - параметр относительного движения.

Уравнения (1) и (2) определяют семейство поверхностей в пространстве R³. При проецировании графика этого семейства в пространство R⁴ будет получена гиперповерхность У в системе координат X₁Y₁Z₁₁ и заданная в виде

(3)

где р - некоторая константа.

Наложим на две координаты y₁ и z₁ условия связи

y₁=a, z₁ =b,

где a и b - некоторые константы.

Тогда функция Лагранжа, позволяющая определить условный экстремум координаты x₁ , будет

Соответствующая система уравнений, из решения которой устанавливается связь параметров поверхности и параметра семейства, имеет вид

Рассматриваем последние три уравнения, с учетом ₄=0, как систему неоднородных линейных уравнений относительно множителей Лагранжа. Из решения этой системы по формулам Крамера имеем

а соответствующие определители будут

После подстановки полученных зависимостей в первое уравнение системы неоднородных линейных уравнений получим

Или после подстановок выражений из определителей

Полученное равенство устанавливает связь координат исходной поверхности и параметра ц их семейства. Тогда уравнения (4), (1) и (3) определяют дискриминанту гиперповерхности, а уравнения (4), (2), (3) - ее криминанту и, соответственно, огибающую рассматриваемого семейства поверхностей.

Огибающая семейства сфер в их поступательном движении

В качестве примеров, иллюстрирующих достоверность полученных результатов, рассмотрим сферу, заданную в подвижной системе координат 0xyz уравнением

(5)

Эта сфера (пример 1) совершает поступательное перемещение вдоль оси y₁ неподвижной системы координат, которое задается формулами преобразования координат

(6)

где ц - параметр движения.

Тогда входящие в равенство (4) определители будут

Подставив полученные выражения в (4), получим y=0.

Уравнения сферы и формул преобразования координат, в которых y=0, позволяют определить огибающую рассматриваемого семейства сфер в виде

Эти уравнения определяют проецирующую относительно координатной плоскости X₁Z₁ цилиндрическую поверхность.

Огибающая семейства сфер в их винтовом движении

Пример 2. Пусть задана та же сфера (5), но совершает она винтовое движение. Формулы преобразования координат, определяющие это движение, имеют вид

(7)

Уравнения (5) и (7) определяют семейство поверхностей в пространстве R³. График этого семейства в R⁴ представляет собой гиперповерхность, заданную в системе координат X₁Y₁Z₁₁ , в виде

(8)

Для установления связи параметров поверхности и движения вычислим определители, входящие в уравнение (4)

Тогда уравнение связи параметров будет: Откуда имеем

(9)

Из уравнения сферы для p=0 (сфера совершает вращательное движение) следует: x²+z²=r² . Из первых двух уравнений системы (7) , а из трех уравнений этой системы получим

После подстановок и преобразований получим уравнение

(10)

После подстановки выражения для y из (9) в уравнение сферы получим

.

Подставив выражения для x и y в уравнения (7) получим уравнения дискриминанты гиперповерхности (8)

(11)

Для p=0 система (11) преобразуется к виду

(12)

Система уравнений (12) в параметрической форме определяет ту же поверхность тора, что и уравнение (10).

Поверхность (11) может быть получена также винтовым движением окружности, расположенной в плоскости, перпендикулярной вектору касательной к винтовой линии. Уравнение винтовой линии, образованной движением точки O, будет

Касательная к винтовой линии определяется равенствами

Для ц=0 координаты касательного вектора Из уравнения плоскости, , перпендикулярной этому вектору получим

Тогда уравнения поверхности, образованной винтовым движением окружности, будут

Введя новый параметр получим уравнение трубчатой винтовой поверхности в виде

Таким образом, проведенные исследования, на основе полученных ранее результатов, гиперповерхности и ее отображения ортогональным проецированием на координатную гиперплоскость позволили получить в общем виде огибающую семейства двумерных поверхностей. Исходная поверхность задается уравнением в неявном виде, а семейство поверхностей определяется формулами преобразования координат.

Полученные результаты апробированы на двух примерах с получением как аналитических зависимостей так и соответствующих компьютерных полигональных моделей поверхностей, иллюстрирующих достоверность приведенных результатов.

Литература

1. Арнольд, В. И. Особенности гладких отображений [Текст] / В. И. Арнольд - Успехи мат. наук. - 1968. - т.XXIII, вып. 1(139). - С. 4-44.

2. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности [Текст]. / Дж., Брус,- М.: Мир, 1988. - 262 c.

3. Быков, В. И. Определение контурной линии на поверхности, заданной уравнением в неявной форме [Текст] // В сб.: Тезисы Всесоюзного научно-методического симпозиума “Применение систем автоматизированного проектирования конструкций в машиностроении”. - Ростов-на-Дону. - 1983 - С. 40-41.

4. Платонова, О. А. Проекции гладких поверхностей [Текст] / О. А. Платонова // Тр. Семинара им. И.Г. Петровского. - 1984. - т. 10. - С. 135-149.

5. Ляшков А. А., Волков В. Я., Отображение ортогональным проецированием гиперповерхности на гиперплоскость [Текст] // Вестник Иркутского Государственного Технического Университета. - 2012. - № 2. - С. 18-22.

6. Ляшков, А. А. Отображение ортогональным проецированием поверхности, заданной параметрическими уравнениями / А. А. Ляшков // Омский научный вестник. - 2012. - № 2(110). - С. 9-13.

7. Лашнев С. И., Юликов М. И. Расчет и конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ [Текст] / М.: Машиностроение, 1975. - 392 с.

Размещено на Allbest.ru