Численное исследование двумерной задачи, содержащей неизвестную границу
Построение математических моделей физических процессов и явлений. Применение вариационных методов для решения задач со свободными границами. Разработка численного алгоритма решения для двумерной задачи с неизвестной границей в прямоугольной области.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.05.2017 |
| Размер файла | 179,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Численное исследование двумерной задачи, содержащей неизвестную границу
Онишкова А. М.
Москва
Построение математических моделей некоторых физических процессов и явлений часто сводится к краевым задачам математической физики, содержащим изначально неизвестные поверхности или границы, которые требуется определить в ходе решения.
Начиная с работ Дж.Гиббса[1], для решения задач со свободными границами применяются вариационные методы[1,2].
Идея решения заключается, как правило, в определении минимума соответствующего функционала. При варьировании нужно рассматривать не только неизвестные функции, но и положение свободной границы. В итоге математическая задача сводится к поиску , где u - некоторые функции из определенного пространства H, а Г - положение неизвестной или свободной границы.
В данной работе предлагается численный алгоритм для решения двумерной задачи со свободной границей.
Постановка задачи В прямоугольной области, где задано уравнение k±?u=f, где и условия Дирихле на границе, необходимо определить положение неизвестной границы Г, на которой заданы условия согласования .
Граница Г находится из условий минимума некоторого функционала
Алгоритм решения
1. Задаем a, b, h, k+, k- и тип границы.
2. Строим сетку: na - количество точек на [0, a]; nb - количество точек на [0, b];
xi=(i-1)*h, i=1…na; yj=(j-1)*h, j=1…nb.
3. В массивы xG, yG помещаем узлы сетки, через которые проходит граница (border). xG хранит координаты x границы, а yG - координаты y.
4. Строим на графике сетку и полученную границу.
5. Получаем множества (multitrudes) V+ и V-. V+ будет храниться в массивах xVP - узлы по x и yVP- узлы по y; V- будет храниться в массивах xVM - узлы по x и yVM - узлы по y.
6. Определяем местоположение границы, запоминаем координаты узлов границы в массивах gNy и gNx.
7. Присваиваем границе неизвестную постоянную a - массив неизвестных.
8. Ищем up - решение на V+:
a. Записываем граничные условия up(:,1)=0, up(1,:)=0, up(nb,:)=0.
b. Вычисляем f(x,y) в узлах сетки на V+- fij.
c. Для внутренних узлов составляем уравнения, пользуясь разностными формулами[13].Уравнение k+?up=f(x,y) принимает вид
upi+1j-2upij+upi-1j+upij+1-2upij+upij-1-fijh2/k+=0.
9. Решаем полученную систему уравнений.
10. Получаем решение up, которое зависит от a.
11. Аналогично повторяем действия для um:
a. Записываем граничные условия um(:,na)=0, um(1,:)=0, um(nb,:)=0.
b. Вычисляем f(x,y) в узлах сетки V-- fij.
c. Для внутренних узлов составляем уравнения, пользуясь разностными формулами[13].Уравнение k-?um=f(x,y) принимает вид
umi+1j-2umij+umi-1j+umij+1-2umij+umij-1-fijh2/k-=0
12. Получаем решение um, которое зависит от a.
13. Используем условие согласования на границе для поиска a.
14. Определяем нормаль на границе и составляем разностные уравнения, используя формулы[13]
15. Получаем уравнение для каждого узла границы.
16. Из системы таких уравнений находим a.
17. Так как a найдено, um и up тоже известны.
18. Поиск функционала
1. Слагаемое превращается в
Здесь
, , , .
2. Слагаемое превращается в
Здесь .
3. Слагаемое превращается в so=sop+som, где
sop = ,
som = , .
4. Функционал I=sp+sm-so.
19. Запоминаем функционал и границу, для которой он был найден.
20. Рассматриваем остальные возможные границы заданного типа, для каждой из них ищем функционал и запоминаем его.
21. Находим минимальное значение функционала.
Решение модельной задачи.
Рассмотрим решение модельной задачи для эллиптического уравнения[21]
В прямоугольнике с центром в начале координат, высотой единица и шириной, равной двум. На сторонах прямоугольника поставлены однородные условия Дирихле. Известно точное решение .
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Заключение
математический численный алгоритм физический
Для двумерной задачи с неизвестной границей, заданной в прямоугольной области, разработан численный алгоритм решения.
Литература
1. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987.
2. Материалы с эффектом памяти формы / Под ред. В.А. Лихачева. Спб.: Изд-во НИИХ СПбГУ, 1998.
3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1985.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.
6. Зеньковская С.М., Моршнева И.В., Цывенкова О.А. Методические указания к практикуму по курсу «Численные методы». Методы решения задач Коши и краевых задач. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2001.
7. Конюшенко В.В., Matlab. Начало работы с Matlab.
8. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB7. СПб.: Изд. БХВ-Петербург, 2005.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Нахождение полинома Жегалкина методом неопределенных коэффициентов. Практическое применение жадного алгоритма. Венгерский метод решения задачи коммивояжера. Применение теории нечетких множеств для решения экономических задач в условиях неопределённости.
курсовая работа [644,4 K], добавлен 16.05.2010Структура текстовой задачи. Условия и требования задач и отношения между ними. Методы и способы решения задач. Основные этапы решения задач. Поиск и составление плана решения. Осуществление плана решения. Моделирование в процессе решения задачи.
презентация [247,7 K], добавлен 20.02.2015Изучение прямых методов решения вариационных и краевых задач математического анализа. Основные идеи методов Ритца и Галеркина для нахождения приближенного обобщенного решения задачи минимизации функционала. Особенности, сходство и отличие данных методов.
презентация [187,9 K], добавлен 30.10.2013Построение квадратичной двумерной стационарной системы, нахождение состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости. Необходимые и достаточные условия существования у системы двух частных интегралов. Построение траектории в круге.
дипломная работа [118,3 K], добавлен 07.09.2009Приемы построения математических моделей вычислительных систем, отображающих структуру и процессы их функционирования. Число обращений к файлам в процессе решения средней задачи. Определение возможности размещения файлов в накопителях внешней памяти.
лабораторная работа [32,1 K], добавлен 21.06.2013Применение математических и вычислительных методов в планировании перевозок. Понятие и виды транспортных задач, способы их решения. Особенности постановки задачи по критерию времени. Решение транспортной задачи в Excel, настройка параметров решателя.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 12.01.2011Вычисление приближенных величин и погрешностей. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений, интерполяция функций и методы численного интегрирования. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических функциональных зависимостей.
курсовая работа [378,5 K], добавлен 08.01.2013- Численное интегрирование системы дифференциально-алгебраических уравнений с запаздывающим аргументом
Исследование численного решения начальной задачи для системы дифференциально-алгебраических уравнений с запаздывающим аргументом. Условия преобразования задачи к аргументу, обеспечивающему наилучшую обусловленность соответствующей системы уравнений.
статья [1,4 M], добавлен 12.10.2010 Особенности математических моделей и моделирования технического объекта. Применение численных математических методов в моделировании. Методика их применения в системе MathCAD. Описание решения задачи в Mathcad и Scilab, реализация базовой модели.
курсовая работа [378,5 K], добавлен 13.01.2016Рассмотрение общих сведений обратных задач математической физики. Ознакомление с методами решения граничных обратных задач уравнений параболического типа. Описание численного решения данных задач для линейно упруго-пластического режима фильтрации.
диссертация [2,8 M], добавлен 19.06.2015