О распределении значений сумм характеров абелевых групп и коротких показательных сумм
Теоремы о распределении значений сумм характеров абелевых групп и показательных тригонометрических сумм по "сдвигам" интервалов суммирования. Асимптотические формулы для дробных моментов этих сумм. Оценка скорости сходимости к предельному распределению.
Рубрика | Математика |
Вид | статья |
Язык | русский |
Дата добавления | 14.05.2017 |
Размер файла | 802,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru//
Размещено на http://www.allbest.ru//
В настоящей работе мы продолжаем исследования, начатые в [1-14]. В [15] была доказана теорема о распределении абсолютных значений сумм характеров абелевых групп, а в [16] получено распределение значений короткой показательной рациональной тригонометрической суммы. Возникают вопросы об оценке скорости сходимости к предельному распределению. Данная статья посвящена ответу на эти вопросы.
Рассмотрим бесконечную последовательность конечных абелевых групп , таких что где -- количество примарных циклических подгрупп в разложении группы и величину вида где суммирование ведется по образующим примарных циклических подгрупп в разложении группы , а -- характер абелевой группы . Обозначим через порядок группы .
Пусть -- моменты рассматриваемой случайной величины. Докажем справедливость следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть -- величина определенная выше Тогда для имеет место асимптотическая формула
абелевый группа сумма распределение
где .
Доказательство. Вычислим момент порядка случайной величины для каждого :
Имеет место равенство
Тогда
Найдем количество решений уравнения В силу однозначности разложения на примарные сомножители набор чисел является перестановкой . Если -- различные, то таких наборов будет ровно , а число решений уравнения равно .
Если среди чисел есть хотя бы два одинаковых, то число таких наборов не превосходит . Соответственно, число решений уравнения среди таких наборов не превосходит .
Пусть теперь . Обозначим
Поделив это равенство на и прологарифмировав его, получаем
Так как верно неравенство то и, считая, что , заключаем
Поскольку то с учетом полученного выше неравенства имеем
Из последнего неравенства следует
А с учетом того, что , получаем неравенство
Таким образом, для верна формула
где . Теорема доказана.
Заметим, что при верно, что
где .
Оценим меру больших значений суммы , где суммирование, как и прежде, ведется по образующим примарных циклических подгрупп в разложении группы . Здесь и -- количество для которых выполняется неравенство в скобках.
Теорема 2. Для меры больших значений суммы верно неравенство
Доказательство. Очевидно, что при будет верно, что . Поэтому можно считать, что . Рассмотрим . Тогда
Пусть . Воспользовавшись тривиальной оценкой , получим
откуда следует, что
Для верны неравенства .
С учетом данных неравенств получаем:
Если , то воспользуемся тривиальной оценкой . Так как при таких оценка верна, то теорема доказана.
Справедлива следующая теорема о скорости сходимости распределения рассматриваемой случайной величины.
Теорема 3. Пусть -- величина определенная выше Тогда найдется такое что для любого справедливо равенство
где -- функция распределения величины и
Доказательство. Согласно доказанному выше, при верно
Положим Очевидно, что . Таким образом, применив следствие 1 теоремы 1 ([17, 20]), получим утверждение теоремы.
Докажем справедливость следующей теоремы о дробных моментах.
Теорема 4. Пусть -- величина определенная выше Тогда найдется такое что для любого и справедливо равенство
где -- гамма-функция Эйлера, и
Где
Доказательство. Воспользуемся тем, что при верно равенство
где .
Положим . Поскольку
то можно применить теорему 1 из [18, 20].
В нашем случае , и , откуда получаем требуемое утверждение.
Далее рассмотрим сумму вида и нормированную случайную величину , где -- простое, , -- первообразный корень по модулю , -- натуральные числа, . Также и .
В дальнейшем нам понадобится следующая теорема
Теорема 5. Пусть -- последовательность натуральных чисел такая что -- фиксированное натуральное число, -- растущее натуральное число -- натуральное число, для которого верно неравенство -- количество решений диофантова уравнения
в целых числах Тогда при
где .
Доказательство теоремы см. в [19] (стр. 19).
Далее, как и прежде, -- моменты рассматриваемой случайной величины. Верна следующая теорема.
Теорема 6. Пусть -- величина определенная выше. Тогда существует такое , что для всех и для имеет место асимптотическая формула
где .
Доказательство. Вычислим момент порядка случайной величины для каждого . При этом будем следовать доказательству из [16].
Поскольку пробегает приведенную систему вычетов по модулю , а -- первообразный корень, то тоже пробегает приведенную систему вычетов по модулю
Имеет место следующее равенство:
Поэтому
где -- количество решений сравнения
а
Поскольку вместо сравнения
можно рассмотреть равенство
Применим теорему 5. В нашем случае , соответственно, , , . Все условия теоремы 5 выполняются, а значит при и имеем
где .
Тогда и
Положим . Так как , то и, таким образом, для
Тогда существует такое , что для всех и можно записать
Теорема доказана.
Оценим меру больших значений суммы . Здесь где -- количество для которых выполняется неравенство в скобках.
Теорема 7. Для меры больших значений суммы верно неравенство
Доказательство. Очевидно, что при будет верно, что . Поэтому можно считать, что . Рассмотрим . Тогда
В ходе доказательства теоремы 6 было получено, что
где -- количество решений уравнения
В [19, стр. 17] было показано, что уравнение такого типа имеет не более решений, где . Так как , то и, таким образом, верна оценка
откуда получаем, что
Для верны неравенства .
С учетом данных неравенств получаем:
Если , то воспользуемся тривиальной оценкой . Так как при таких оценка верна, то теорема доказана.
Для дальнейших рассуждений положим . Для верны неравенства
Существует такое , что для всех верно неравенство . Таким образом, с учетом теоремы 6, при , где и при имеет место следующее выражение:
где .
Справедлива следующая теорема о скорости сходимости распределения рассматриваемой случайной величины.
Теорема 8. Пусть -- величина определенная выше, где Тогда найдется такое что для любого справедливо равенство
где -- функция распределен
ия величины и
Доказательство. Согласно доказанному выше, при верно
Пусть . Поскольку , то можно воспользоваться следствием 1 теоремы 1 из [17, 20], из которого следует требуемая теорема.
Теорема 9. Пусть -- величина определенная выше, где Тогда найдется такое что для любого и справедливо равенство
где -- гамма-функция Эйлера, и
Где
Доказательство. Воспользуемся тем, что при и при верно равенство
где
Положим . Поскольку
то можно применить теорему 1 из [18, 20].
В нашем случае , и , откуда получаем требуемое утверждение.
Литература
1. Бояринов Р.Н., Чубариков В.Н. О распределении значений функций на последовательности Фибоначчи// ДАН. 2001. Т.379. № 1. С. 9-11.
2. Бояринов Р.Н. Центральная предельная теорема для равномерного распределения дробных долей быстрорастущих последовательностей// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2001. № 5. С. 52-54.
3. Бояринов Р.Н., Нгонго И.С., Чубариков В.Н. О новых метрических теоремах в методе А. Г. Постникова// Актуальные проблемы теории чисел: Труды IV Межд. Конф.; Тульский государственный педагогический университет. Тула. 2002. С. 5-31.
4. Бояринов Р.Н. О распределении значений сумм, связанных с быстрорастущими последовательностями// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2003. № 2. С. 57-58.
5. Boyarinov R.N., Chubarikov V.N., Ngongo I.S. Asymptotic formulas for fractional moments of special sums// Чебышевский сборник , т. 4, вып. 4. 2003. С.173-183.
6. Бояринов Р.Н. О распределении значений аналога дзетовой суммы// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2004. № 3. С. 55-56.
7. Бояринов Р.Н. О скорости сходимости к предельному показательному распределению// Чебышевский сборник , т. 6, вып. 1. 2005. С.50-57.
8. Бояринов Р.Н. Аргумент дзета-функции Римана// Чебышевский сборник, т. 11, вып. 1. 2010. С. 54-67.
9. Бояринов Р.Н. О скорости сходимости к предельному распределению// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2011. № 2. С. 20-27.
10. Бояринов Р.Н. Вероятностные методы в теории аргумента дзета-функции Римана// Теория вероятностей и ее применения, Т.56. № 2. 2011. С. 209-223.
11. Бояринов Р.Н. О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы// Дискр. матем. Т.4, № 1. 2012. С. 26-29.
12. Тимергалиев И.С. О распределении значений сумм Клостермана// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2013. № 5. С. 37-41.
13. Тимергалиев И.С., Бояринов Р.Н. О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы на коротких интервалах// Чебышевский сборник т.14, вып 2. 2013. С. 154-163
14. Тимергалиев И.С., Бояринов Р.Н. О распределении значений неполных сумм Гаусса// Чебышевский сборник Т.14, вып 3. 2013 С.132-138
15. Бояринов Р.Н., Нгонго И.С., Чубариков В.Н. О моделировании случайных величин на последовательности конечных абелевых групп// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2004. № 2. С. 69-71.
16. Нгонго И.С. О распределении значений коротких сумм: Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 2002, 82 с.
17. Бояринов Р.Н. О скорости сходимости распределений случайных величин// ДАН.2010. Т.435. № 3. С. 295-297.
18. Бояринов Р.Н. О дробных моментах случайных величин// ДАН.2011. Т.436. № 3. С. 299-301.
19. Бояринов Р. Н. О распределении значений сумм арифметических функций: дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 2002, 84 с.
20. Бояринов Р. Н. Вероятностные методы в теории чисел и приложения в теории аргумента дзета-функции Римана: дисс. доктора физ.-мат. наук. М., 2012, 277 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Идея элементарного доказательства великой теоремы Ферма исключительно проста: разложение чисел a, b, c на пары слагаемых, группировка из них двух сумм U' и U'' и умножение равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 1
статья [12,9 K], добавлен 07.07.2005Сведения о семье Якоба Бернулли, его тайное увлечение математикой в юности и последующий вклад в развитие теории вероятности. Составление ученым таблицы фигурных чисел и выведение формул для сумм степеней натуральных чисел. Расчет значений чисел Бернулли.
презентация [422,7 K], добавлен 02.06.2013Понятие знакочередующихся рядов. Последовательность частичных сумм четного и нечетного числа членов. Исследование сходимости ряда. Проверка выполнения признака Лейбница. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда.
презентация [82,8 K], добавлен 18.09.2013Основные виды линейных интегральных уравнений. Метод последовательных приближений, моментов, наименьших квадратов и коллокации. Решение интегральное уравнение методом конечных сумм и методом моментов. Ненулевые решения однородной линейной системы.
контрольная работа [288,4 K], добавлен 23.10.2013Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.
контрольная работа [129,1 K], добавлен 03.12.2010Общая характеристика математической модели радиотехнического сигнала. Значение спектрального разложения функций в радиотехнике. Работа вещественных одномерных детерминированных сигналов и система синусоидальных и косинусоидальных гармонических функций.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 13.08.2011Понятие интеграла Римана, анализ его определений. Интеграл как предела интегральных сумм Римана, единственное число, разделяющее верхние и нижние суммы Дарбу. Интеграл от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона-Лейбница).
курсовая работа [2,2 M], добавлен 30.10.2015Группа как непустое множество с бинарной алгебраической операцией, ее свойства и требования. Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп. Доказательство основных теорем. Соотношения ортогональности для характеров.
курсовая работа [380,6 K], добавлен 22.09.2009Формулировка и доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии (теорема Дирихле). Определение и основные свойства характеров. Суммы характеров и соотношение ортогональности. Характеры, L-функция Дирихле. Доказательство основных лемм.
курсовая работа [214,2 K], добавлен 12.08.2009Сущность метода деления многочлена на линейный двучлен. Особенности вычисления значений аналитической, логарифмической и показательной функций. Сущность теоремы Безу. Расположение вычислений по схеме Горнера. Вычисление значений синуса и косинуса.
презентация [142,0 K], добавлен 18.04.2013