Реализация операции объединения систем в системном обобщении теории множеств

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

В статье в общем виде сформулирована, обоснована и предложена программная идея системного обобщения математики, суть которой состоит в тотальной замене понятия "множество" на более общее понятие "система" и прослеживании всех математических последствий этого во всех разделах математики, основанных на теории множеств или использующих ее результаты. При этом обеспечивается соблюдение принципа соответствия, обязательного для более общей теории, т.к. чем ниже уровень системности, тем в меньшей степени система отличается от множества, а система с нулевым уровнем системности тождественно и есть множество.

В классической теории множеств, которую мы далее сокращенно будем называть «КТМ», операция объединения множеств реализуется следующим образом. «Объединение множеств (тж. сумма или соединение) в теории множеств - множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается , но иногда можно встретить запись в виде суммы A + B». Графически операция объединения двух множеств может быть представлена в форме диаграммы Эйлера-Венна, приведенной на рисунке 1.

Рисунок 1. Диаграмма Эйлера-Венна для объединения двух множеств

При объединении двух множеств с мощностями A и B образуется множество, включающее все элементы как 1-го, так и 2-го множеств с мощностью Nk, которая является просто суммой числа элементов 1-го и 2-го множеств:

 (1)

(2)

В теории множеств выражения (1) и (2) считаются эквивалентными. Однако выражение (1) внешне выглядит так же, как арифметическое сложение двух количественных величин, которое совпадает по смыслу с объединением множеств только для непересекающихся множеств. Если же множества пересекаются, т.е. одно множество включают некоторые элементы, которые тождественны элементам другого множества, то при сложении эти элементы повторяются в сумме, а при объединении этих повторений в объединенном множестве нет (рисунок 2):

Рисунок 2. Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения двух множеств

Особенно наглядно различие между арифметическим сложением и объединением видно, когда эти операции выполняются над тождественными множествами (3):

(3)

Запись операции объединения множеств с использованием операции арифметического сложения их мощностей предполагает вычитание мощности пересечения множеств из арифметической суммы с целью исключения повторения тождественных элементов (4):

(4)

где: Nk - мощность объединенного множества.

Для непересекающихся множеств:

(5)

и в этом случае выражение (4) с учетом (5) приобретает вид (1) уже не только символически, но и фактически (арифметически).

По мнению автора это означает, что символика выражения (2) точнее или более удачно отражает смысл объединения множеств и его использование предпочтительнее. В отличие от множеств, системы имеют иерархическое строение. Будем считать, что 1-м уровнем иерархии системы является множество базовых элементов, которое будем называть порождающим множеством. В случае объединения двух систем, согласно системной теории множеств (СТМ), на втором и более высоких уровнях иерархии объединенной системы могут возникать новые составные элементы, которых до объединения не было ни в одной из исходных систем и состоящие из элементов обоих систем, что и приводит к системному эффекту S. В результате мощность объединения систем превосходит мощность объединения их порождающих множеств A и B на величину системного эффекта S, возникающего за счет объединения систем:

(6)

Кроме того, в каждой из систем могут возникать составные элементы из ее собственных базовых элементов. Это приводит к системному эффекту, в результате которого система отличается от множества, т.е. содержит больше элементов, чем в порождающем множестве. Этот вид системного эффекта аналитически выражается локальным коэффициентом эмерджентности Хартли (3), который был получен автором в 2001 году и назван так в честь этого ученого, внесшего большой вклад с разработку научной теории информации:

(7)

где: W - количество базовых элементов в системе; m - сложность составного элемента системы, т.е. подсистемы (количество базовых элементов в составном элементе); M - максимальная сложность подсистем (максимальное количество базовых элементов в составном элементе).

Фактически максимальная сложность подсистем M не может быть больше количества базовых элементов в системе W: , т.к. самым сложным элементом системы может быть элемент, состоящий из всех базовых элементов. Но формально это ограничение можно не соблюдать, т.к. при согласно выражения (7) будут получаться нулевые слагаемые под логарифмом в числителе, отражающие тот факт, что соответствующих составных элементов просто не существует. Поэтому за соблюдением этого условия можно особо не следить и математически объединять выражения, указывая один максимальный уровень сложности из всех возможных при различных количествах базовых элементов в разных системах, что пригодится нам в будущем.

Будем считать, что составные элементы в системах не могут образовываться за счет многократного использования одних и тех же базовых элементов в одном составном (повторений):

- это предполагается самим видом математического выражения (7) и понятием комбинаторики «число сочетаний из n по m»;

- в противном случае уровень сложности элементов и системы в целом, а также ее мощность, могли бы неограниченно возрастать, например, за счет наличия в системе элементов, представляющих собой сколь угодно высокую степень любого из базовых элементов.

Непосредственно из вида выражения для коэффициента эмерджентности Хартли (7) ясно, что он представляет собой относительное превышение количества информации в системе при учете системных эффектов (смешанных состояний, иерархической структуры ее подсистем и т.п.) над количеством информации без учета системности (только в базовом уровне или порождающем множестве), т.е. этот коэффициент отражает уровень системности объекта.

Получим аналитические выражения для количества элементов в объединенной системе и величины системного эффекта, образующегося не за счет объединения базовых элементов в отдельно-взятой системе (что отражается локальным коэффициентом эмерджентности Хартли), а за счет объединения систем, а затем проведем и количественные оценки с использованием этих выражений и численного моделирования.

Аксиома о максимальной мощности системы системной теории множеств (СТМ) и СТИ: в системе, основанной на множестве из W неповторяющихся элементов, которые мы будем называть базовыми, может содержаться не более Nmax элементов, включающих как все базовые элементы, так и составные элементы (подсистемы), образованные из всех возможных различных сочетаний базовых элементов по 2, 3, …, W элементов (без повторений):

 (8)

Эта аксиома СТМ аналогична аксиоме булеана классической теории множеств, в которой постулируется существование и единственность множества всех подмножеств некоторого множества из W элементов, т.е. булеана, а также доказывается, что мощность булеана равна 2W.

В этой связи необходимо сделать два замечания.

Замечание 1: мощность системы, базирующейся на W элементах, всегда на 1 меньше мощности булеана, образованного на тех же элементах:

(9)

Это связано с тем, что по определению булеан включает как элемент самого себя, а система не включает в качестве элемента саму себя, но включает элемент наивысшего уровня сложности (иерархии), состоящий из всех базовых элементов.

Замечание 2: в самой аксиоме булеана классической теории множеств не содержится алгоритма или способа нахождения всех элементов образуемого множества, но такой алгоритм предлагается в рамках СТМ и его идея основана на аксиоме о максимальной мощности системы: это алгоритм формирования всех возможных различных (без повторений) сочетаний базовых элементов системы. Подобные алгоритмы известны и поэтому здесь не приводятся.

Однако, фактически количество элементов в системе всегда меньше максимального, т.к. действуют определенные правила запрета на образование некоторых составных элементов. Среди таких правил запрета могут быть, например, ограничения на максимальное (или/и минимальное) количество базовых элементов в составных элементах (т.е. на их сложность), а также запрет на повторное включение базовых элементов в составные (когда один и тот же базовый элемент не может несколько раз входить в один и тот же составной элемент). Если система образована на основе W базовых элементов, то в ней существует M уровней иерархии, на 1-м из которых находятся сами базовые элементы и этот уровень иерархии системы тождественно является порождающему множеству, на 2-м - составные элементы, образованные различными сочетаниями базовых элементов по 2, на 3-м - по 3, и на последнем - по M. Если количество уровней иерархии в системе M (будем называть его рангом системы) равно количеству ее базовых элементов W, то все базовые элементы входят в единственный элемент наивысшего уровня иерархии. В системе отсутствуют составные элементы, включающие больше базовых элементов, чем ранг системы.

Чтобы учесть в выражении (7) 1-е ограничение (на максимальную сложность составных элементов M) и получить выражение для количества элементов в системе ранга M, модифицируем его следующим образом:

(10)

В частности, если есть два множества, в 1-м из которых A элементов, а во 2-м - B, то согласно системной теории множеств (СТМ) на базе 1-го множества образуется система с числом элементов NA:

, (11)

а на базе 2-го - с числом элементов NB:

, (12)

В случае объединения этих 2-х систем по правилам классической теории множеств (КТМ) (4), т.е. считая систему множеством всех ее элементов: и базовых, и составных, количество элементов в объединенной системе Nk равно просто сумме числа элементов 1-й и 2-й систем (11) и (12), как в случае множеств:

(13)

где: NA - множество всех элементов (базовых и составных) системы A;

NB - множество всех элементов (базовых и составных) системы B.

Выражение (13) является системным аналогом теоретико-множественного выражения (4), но проще его записать аналогично (2):

(14)

Подставим в выражение (14) переменные NA и NB из (11) и (12):

(15)

В выражении (15) все элементы систем A и B (базовые и составные) по сути, рассматриваются как элементы множеств. Операторы суммирования вычисления количества сочетаний в выражении (15) понимаются не как арифметические операторы, а как символические порождающие операторы теории множеств, которые содержат обобщенное аналитическое описание алгоритма генерации элементов систем на базе порождающих множеств A и B. Однако в системной теории множеств в случае объединения 2-х и более систем возникает системный (синергетический) эффект, состоящий в отклонении от аддитивности (6), т.е. в том, что сумма элементов в объединенной системе (16) превосходит сумму элементов в исходных системах (15). Математически это можно выразить, добавив в выражение (15) еще одно слагаемое S, отражающее системный эффект:

(16)

Это слагаемое S равно числу тех составных элементов объединенной системы, которые могли возникнуть только в результате объединения этих 2-х систем, т.е. которые включают элементы как 1-й, так 2-й систем, и которых до объединения этих систем не было ни в одной из них.

Например, при объединении 2-х систем, содержащих на 1-м уровне иерархии простые числа, а на 2-м уровне составные числа, являющиеся произведениями различных пар простых сомножителей, образуется объединенная система, 1-й уровень которой является объединением 1-х уровней исходных систем, а 2-й образуется по тому же алгоритму, что и в них (рисунок 3):

Рисунок 3. Объединение 2-х систем из простых чисел на базовом уровне и сложных чисел, образованных из пар простых, на 2-м уровне

Может возникнуть впечатление, что пример объединения символических числовых систем носит какой-то абстрактный и узко-специальный характер и не имеет отношения к реальным системам. Но это не так, что ясно уже из того, что элементы базового уровня реальных систем в самых разных предметных областях могут быть закодированы с помощью простых чисел, а их составные элементы, образованные из базовых - соответствующими составными числами, образованными этими простыми сомножителями, и между этими числовыми кодами и элементами реальных систем будет установлено взаимно-однозначное соответствие. Таким образом, рассматриваемую в данном примере символическую систему можно рассматривать как универсальную и адекватную модель реальных систем. Так если закодировать элементы таблицы Д.И.Менделеева простыми числами, то различным образованным из них химическим соединениям будут соответствовать сложные числа, образованные произведениями соответствующих простых сомножителей. Аналогично, если символам алфавита поставить в соответствие простые числа, то словам будут соответствовать числа, представляющие собой их произведения. Если же взять логарифм от составного числа, то он будет равен сумме логарифмов его простых сомножителей (что соответствует переходу к логарифмической шкале и в некоторых случаях удобнее, т.к. размер чисел меньше и мультипликативность взаимно-однозначно заменяется аддитивностью).

В таблицах 1-4 приведены данные о том, какие составные числа произведениями каких простых являются в рассматриваемом примере:

Таблица 1 - Состав элементов 1-й системы