Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

мера лебега множество

До сих пор мы изучали точечные множества со стороны их структуры, нигде не давая количественной характеристики той части пространства, которую то или иное множество занимает. Нами не рассматривались никакие обобщения понятия длины, площади, объема на случай любого точечного множества, лежащего на прямой, на плоскости, в пространстве. Перечисленные понятия (длина, площадь, объем) обладают общими свойствами. Если объединить и обобщить эти свойства и распространить их не только на геометрические объекты, и вместо понятий «длину отрезка», «площадь фигуры», «объем тела» будем применять общий термин «мера множества», то получим теорию меры. В этой работе мы займемся изучением некоторых из этих вопросов.

§ 1. Идея построения теории меры

Идея построения теории меры берется из задачи школьной математики: вычисления площади плоской фигуры.

В жизни часто приходится вычислять площади геометрических фигур. Например, приходится определять площадь поля, огорода, спортивной площадки или определять площадь пола в здании, площадь стен или окон в комнате. При всяком измерении необходимо заранее иметь меру, с которой сравнивается измеряемая величина. При взвешивании употребляются меры веса: килограмм, грамм, тонна, центнер. Время измеряется часами, минутами, секундами. При измерении длины отрезка сравниваем его с метром, сантиметром или с какой-нибудь другой мерой длины. При измерении углов пользуемся угловыми градусами, минутами.

Точно так же при измерении площадей геометрических фигур пользуются особыми мерами, с которыми сравниваются эти фигуры. Такими мерами являются квадраты, стороны которых равны какой-нибудь линейной мере: метру, дециметру, сантиметру, миллиметру. При измерении площадей, имеющих большие размеры, за меру может быть принят квадрат, сторона которого равна километру. Квадрат, сторона которого равна какой-нибудь линейной единице, называется квадратной единицей: квадратным метром, квадратным сантиметром, квадратным километром и т. д., в зависимости от того, какой линейной мере равняется сторона квадрата, принятого за единицу измерения.

Измерить площадь какой-нибудь геометрической фигуры -- значит узнать, сколько тех или иных квадратных единиц содержится в фигуре, площадь которой измеряется.

Палетка. В тех случаях, когда измерение площади какой-нибудь фигуры не требует большой точности, а также, когда фигура, площадь которой требуется измерить, ограничена криволинейным контуром (Рис.1), для измерения площади употребляется особый прибор, называемый палеткой. Палетка представляет собой прозрачную пластинку, на которую наносится масштабная квадратная сетка, например, со стороной квадрата, равной 1 см.

Эта пластинка накладывается на фигуру, площадь которой требуется измерить (Рис. 2). Сначала подсчитывается число квадратов, полностью укладывающихся в данной фигуре (желтые квадраты); на рис. 2 их 26. Затем подсчитывается число квадратов, полностью укладывающихся в данной фигуре (желтые квадраты) их 26 и пересекаемых контуром фигуры (синие квадраты); на рисунке их 21 (по-другому: те квадраты, которые имеют хотя бы одну общую точку с фигурой). Если, например, каждый квадрат в действительности соответствует 1 кв. м, то измеряемую площадь можно оценить так: При необходимости уточнения значения площади, надо взять палетку с более мелкими клетками, например, каждый квадрат соответствует 1 кв. см. При этом последовательность значений площадей квадратов, полностью укладывающихся в данной фигуре будет монотонно возрастать, а последовательность значений площадей всех квадратов (пересекающихся с фигурой) будет монотонно убывать. При этом монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху (хотя бы, ранее полученным числом 47), и следовательно, имеет предел, который назовем «внутренней мерой». А монотонно убывающая последовательность, ограничена снизу (хотя бы, ранее полученным числом 26), следовательно, также имеет предел, который назовем «внешней мерой» Если эти последовательности имеют общий предел, то этот предел и будет площадью фигуры, и фигура называется «измеримым». В противном случае, т.е. если пределы не совпадают, то фигура называется «неизмеримым».

На этой идее и построена теория меры. При этом построение теории меры можно проводить на примере, как и одномерного пространства на основе понятия длины отрезка, так и двумерного пространства на основе понятия площади фигуры, как и трехмерного пространства на основе понятия объема тела.

§ 2. Мера Жордана

Пусть на прямой дано некоторое ограниченное точечное множество . Пусть имеется некоторая единица длины - принятый масштаб. Возникает вопрос: что понимать под длиной той части прямой, которая занята множеством? Например: как измерить длину части сегмента , занятую точками канторова множества или множеством рациональных точек сегмента, что называть длиной такого множества, можно ли в этом случае говорить о длине?

Условимся о следующем. Построим сегмент, включающий в себя данное ограниченное множество. Такой сегмент для ограниченного множества всегда существует.

Числа и выберем при этом так, чтобы они были целыми, что также всегда возможно. Будем считать длину любого сегмента , так же как и длину интервала, равной числу . Обозначим разность , гдецелое число. Разделим на равных частей, назвав каждую из них сегментом первого ранга. Подсчитаем, сколько сегментов первого ранга сплошь заполнены точками множества и сколько сегментов первого ранга включают в себя хотя бы по одной точке множества (на рисунке точки множества изображены выступающими на прямой. Число на рисунке равно 4). Сегментов первого ранга, сплошь заполненных точками множества , не имеется. Сегментов первого ранга, включающих в себя точки множества ,

на рисунке имеется 4. Подсчитаем в принятом масштабе общую длину сегментов первого ранга, сплошь заполненных точками множества. Такие сегменты условимся впредь называть заполненными. Обозначим эту общую длину заполненных сегментов первого ранга через. Подсчитаем также общую длину сегментов первого ранга, включающих в себя хотя бы по одной точке множества. Такие сегменты условимся называть включающими. Обозначим общую длину включающих сегментов первого ранга через _. Заметим, что в число включающих сегментов первого ранга необходимо войдут и заполненные сегменты. На рисунке .

Разделим каждый сегмент первого ранга на равных частей, называя каждую такую часть сегментом второго ранга (на рисунке ), и вновь подсчитаем общую длину заполненных сегментов второго ранга и общую длину включающих сегментов второго ранга (на рисунке ). Каждый сегмент второго ранга вновь разделим на равных частей, называя каждую часть сегментом третьего ранга. Подсчитаем общую длину заполненных сегментов третьего ранга и общую длину включающих сегментов третьего ранга. Будем продолжать этот процесс деления сегментов каждого следующего ранга на равных частей с подсчетом каждый раз общей длины заполненных сегментов и общей длины включающих сегментов соответствующего ранга неограниченно. В результате получится две последовательности неотрицательных чисел:

Первая из них называется верхней последовательностью Жордана, вторая -- нижней последовательностью Жордана. Нетрудно видеть, что верхняя последовательность Жордана монотонна и может только убывать, а нижняя монотонна и может только возрастать. Верхняя последовательность Жордана при этом ограничена снизу любым числом, входящим в нижнюю последовательность, а нижняя последовательность Жордана ограничена сверху любым числом, входящим в верхнюю последовательность. Это значит, что каждая из указанных последовательностей имеет предел. Пределы эти могут совпадать, могут и не совпадать. Очевидно, что верхняя и нижняя последовательности Жордана имеют общий предел тогда и только тогда, когда последовательность , являющаяся их разностью, сходится к нулю.

Определение. Предел верхней последовательности Жордана составленной для множества , называется внешней мерой множества по Жордану и обозначается , предел нижней последовательности -- внутренней мерой по Жордану и обозначается . Если внутренняя и внешняя меры по Жордану множества совпадают, то множество называется измеримым по Жордану и общее значение его внутренней и внешней мер по Жордану называется мерой множества по Жордану.

Разность , где и -- члены верхней и нижней последовательностей по Жордану, имеет определенный смысл, заключающийся в следующем.

Рассмотрим замыкание разности множества включающих сег- ментов ранга и множества заполненных сегментов того же ранга . Это множество состоит из сегментов, содержащих в себе все граничные точки множества .

Суммарная длина промежутков, составляющих множество , равна числу для ранга . При величина стремится к пределу, который является внешней мерой множества всех граничных точек множества . Нетрудно видеть,, что множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда этот предел равен нулю, т. е. когда внешняя мера множества всех граничных точек этого множества равна нулю.

Из определения жордановой меры следует, что она всегда не отрицательна и что жордановой мерой сегмента (интервала) является его длина.

Приведем примеры вычисления жордановой меры множеств.

Вычислим жорданову меру канторова совершенного множества . Возьмем сегмент и лежащее на нем канторово совершенное множество.

Сегментом первого ранга будем считать сегмент. Заполненных сегментов первого ранга не окажется. Включающим сегментом первого ранга окажется сегмент . Таким образом .

Разделим сегмент первого ранга на три равные части и назовем каждую из них сегментом второго ранга ( в нашем случае принято равным 3). Заполненных сегментов второго ранга вновь не окажется, включающими сегментами второго ранга окажутся сегменты . Следовательно, . Разделим каждый сегмент второго ранга на три части, установим, что заполненных сегментов третьего ранга тоже не окажется (множество всюду разрывно); значит, , а общей длиной включающих сегментов третьего ранга будет число . Продолжая этот процесс неограниченно, построим верхнюю и нижнюю последовательности Жордана:

Обе они монотонны: первая, уменьшаясь, приближается к нулю, вторая постоянна, состоит из повторяющегося числа 0. Общий предел этих последовательностей-- число 0 -- и следует считать жордановой мерой канторова совершенного множества. Таким образом, .

Для вычисления жордановой меры множества рациональных точек сегмента будем поступать так же, как и в предыдущем случае. При этом мы убедимся, что заполненных сегментов какого бы то ни было ранга для множества рациональных точек сегмента не окажется, т. е. нижняя последовательность Жордана будет состоять из нулей.

Включающими интервалами любого ранга окажутся все интервалы этого ранга с общей длиной их, равной 1, Таким образом, для этого случая

Верхняя и нижняя последовательности Жордана не имеют общего предела. Множество рациональных точек сегмента неизмеримо по Жордану. Множество иррациональных точек сегмента неизмеримо по Жордану, рассуждения те же, что и в предыдущем примере.

Замечание. Из определения внешней меры Жордана и приведенных примеров следует, что внешняя мера Жордана множества есть нижняя грань множества значений суммарной длины конечной системы сегментов, включающей данное множество (включающее сегменты). Если внутреннюю меру определить как разность

 длина ,

где -- сегмент, включающий в себя данное множество, что по существу совпадает с прежним определением, то тогда внутренняя мера Жордана окажется верхней гранью множества значений суммарной длины конечной системы неперекрывающихся сегментов, включенных в данное множество.

Мера Жордана не достаточно полно отображает свойство изучаемых множеств. Например, достаточное простое множество рациональных чисел не измеримо по Жордану.

Поэтому французским математиком Анри Лебегом в 1902 году было введено расширение понятия меры.

Замечание. После открытия Лебегом нового понятия меры, теория меры Жордана утратила свою значимость в математических исследованиях, но педагогическое значение этой теории всегда останется большим, ибо она подготавливает к восприятию более сложной теории меры Лебега и доступна в основном для изучения даже, например, на кружковых занятиях старших классов средней школы.

§ 3. Мера Лебега

Подойдем теперь к определению меры ограниченного множества , составленного из точек прямой, с иной точки зрения. Мерой сегмента и интервалабудем по-прежнему считать одно и то же число , равное длине каждого из них в принятом масштабе. Мерой суммы непересекающихся интервалов будем считать сумму их длин. Условимся рассматривать только ограниченные множества и, кроме того, условимся считать, что все множества лежат на сегменте . Последнее условие не нарушит общности наших рассуждений. Обозначая какое-нибудь множество, например, через , мы черезбудем обозначать множество, дополнительное к относительно , т. е. через будем обозначать множество, составленное из точек S, не принадлежащих .

Рассмотрим множество. Его точки можно различными способами заключить в конечную или счетную систему интервалов

т. е. построить такую систему интервалов, чтобы каждая точка принадлежала хотя бы одному из интервалов системы. Сумму длин интервалов обозначим через . Очевидно, чтодля любой системы интервалов, покрывающих, есть величина положительная: . Следовательно, бесконечное числовое множество значенийдля данного множества, соответствующих различным системам интервалов, ограничено снизу и потому имеет нижнюю грань . Эта нижняя грань, зависящая только от множества , называется внешней мерой множества и обозначается .

Из определения внешней меры следует, что, каково бы ни было положительное число , всегда можно найти такую систему интервалов включающих в себя все точки множества , что

Внутренней мерой множества называется разность между длиной сегмента и внешней мерой дополнительного множества .

Перечислим некоторые свойства внешней и внутренней мер, вытекающие из их определений:

1. Внешняя и внутренняя мера произвольного множества не могут быть отрицательными.

2. Внутренняя мера множества не может быть больше его внешней меры.

3. Внутренняя или внешняя мера части множестване может оказаться больше соответственно внутренней или внешней меры всего множества .

Определение. Если внешняя и внутренняя мера множества равны, то множество называется измеримым по Лебегу или, короче, просто измеримым и общее значение мер и называется мерой множества по Лебегу или, короче, просто мерой и обозначается .

Из основного определения непосредственно вытекает, что измеримость одного из множествавлечет за собой измеримость другого.

Рассмотрим примеры измеримых множеств.

Всякое множество, внешняя мера которого не более нуля, измеримо. Действительно, внешняя мера множества не может быть отрицательной: ; с другой стороны, по условию, откуда следует:.

Внутренняя мера множества, являясь также неотрицательной, не может превышать его внешней меры. Значит, в данном случае

Всякое множество,состоящее из конечного числа точек, измеримо. Пустьсостоит из точек. Построив окрестности каждой точки длиной , получаем совокупность интервалов, покрывающих множество общей длиной , гдесколь угодно мало. Следовательно, внешняя мера . Внутренняя мера не может быть отрицательной; значит, и внутренняя мера в этом случае равна нулю: , а следовательно, и мера множества, состоящего из конечного числа точек, равна нулю:

Пустое множество , являясь частью любого множества, в том числе и конечного, не может иметь внешнюю меру более внешней меры конечного множества, т. е. не может быть больше 0; следовательно, оно измеримо, и мера его 0.

Всякое множество, состоящее из счетного числа точек, измеримо.

Убедимся в этом. Пронумеруем точки множества. Выберем число. Построим окрестность длиной для первой точки, длиной -для второй,...,- для й и т.д. Сумма всех этих окрестностей включает в себя данное множество . Суммарная длина окрестностей не больше чем . Поэтому . Следовательно, и , откуда

Множество рациональных точек сегмента , являющееся счетным множеством, измеримо. Мера этого множества, как всякого счетного множества, равна нулю. Заметим, что по Жордану множество рациональных чисел - неизмеримо.

Множество иррациональных точек сегмента [0, 1] измеримо, так как

его дополнительное множество (множество рациональных точек) измеримо. Мера множества иррациональных точек сегмента равна единице.

Всякое открытое множество есть сумма конечного или счетного числа попарно не пересекающихся интервалов Его мера есть сумма длин этих интервалов.

Всякое замкнутое множество измеримо. Оно является либо сегментом , либо получается удалением из него конечного или счетного множества интервалов, составляющих в совокупности открытое множество . А так как измеримо (см. предыдущий пример), то и измеримо.

Канторово множество как множество замкнутое измеримо.

Свойства множеств, измеримых по Лебегу

Критерий измеримости множеств по Лебегу.

Теорема 1. Для того чтобы множество было измеримо по Лебегу, необходимо и достаточно, чтобы для любого как угодно малого множество можно было бы представить в виде суммы

,

где есть система конечного числа попарно не пересекающихся интервалов, а и - множества, у каждого из которых внешняя мера меньше . При выполнении этого условия мера множества заключена между числами .

Теорема 2. Если множества и измеримы, то измеримы и множества .

Теорема 3. Если множества и измеримы и не пересекаются, то .

Следствие. Если множества и измеримы и , то

.

Теорема 4. Сумма счетного числа измеримых множеств есть множество измеримое; если при этом слагаемые множества попарно не пересекаются, то (полная аддитивность меры Лебега).

Следствие. Пересечение счетного числа измеримых множеств измеримо.

Приведенные примеры показывают, что класс множеств, измеримых по Лебегу, шире класса множеств, измеримых по Жордану.

Можно доказать, что любое множество, измеримое но Жордану, измеримо и по Лебегу (но не наоборот!) и меры Жордана и Лебега в этом случае совпадают.

Заметим, что введенное новое понятие меры по Лебегу, и более того, расширение понятия интеграла Римана, развитое самим же Лебегом, (названное интегралом Лебега), построенное на самом понятии меры Лебега, которое сама основана на относительно «зыбкой» аксиоматике теории множества, позволило дать новый сильный толчок развития теории множеств, теории функций и теории интеграла, что уже многие математические дисциплины уже мало обращают внимание на саму «зыбкость» аксиом теории множеств.

§ 4. Проблемы теории меры

Оказалось, что не все множества являются измеримыми по Лебегу. Более того, было доказано, что всякое измеримое по Лебегу множество положительной меры, содержит в себе, в качестве правильной части, некоторое неизмеримое подмножество, а т.к. дополнение такого множества так же неизмеримое, то получается, что всякое измеримое по Лебегу множество положительной меры, можно представить как объединение двух неизмеримых подмножеств. Такой пример был построен Дж. Витали в 1905 году. Этот отрицательный результат наводит на мысль, что самое определение меры Лебега плохо, и приводит к естественному вопросу, нельзя ли как либо улучшить его.

Для ответа на этот вопрос прежде всего нужно точно сформулировать

проблему, которую желательно разрешить.

Задачу измерения точечных множеств можно ставить двумя способами (И.П. Натансон):

1.Трудная задача теории измерения.

Требуетсякаждому ограниченному множеству приписать неотрицательное число - его меру так чтобы, были удовлетворены следующие требования:

1.Если , то .

2.Если множества и конгруэнтны, то .

3. Если множество есть сумма конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих множеств , то

 (полная аддитивность меры).

Мы сформулировали задачу для случая множеств линейных т.е. для одномерного пространства . Ее можно было бы поставить и для плоскости и вообще для -мерного пространства , только в требовании 1нужно было бы говорить не о сегменте ,а о квадрате или об -мерном единичном кубе.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Трудная задача теории меры неразрешима даже в пространстве .

В связи с этим ставится легкая задача теории измерения, которая формулируется почти так же, как и трудная задача, с тем единственным отличием, что требование 3 ставится только для случая конечного числа слагаемых множеств, т. е. вместо полной аддитивности меры требуется лишь конечная ее аддитивность.

Относительно этой задачи мы приведем без доказательства следующие

результаты.

Теорема 2 (С. Банах). Легкая задача теории измерения разрешима для

пространств и , но не единственным образом.

Теорема 3 (Ф. Хаусдорф). Для пространства , где , легкая

задача теории измерения неразрешима.

Различие между этими результатами объясняется тем, что понятие конгруэнтности, входящее в формулировку задачи, существенно связано с понятием движения. Так как в пространстве с большим числом измерений группа движений гораздо обширнее, то вполне естественно, что создать инвариант такой группы труднее.

Заключение

В современной математике в качестве меры множества принято понимать меру множества по Лебегу. Так как состоятельность этой меры доказано многими общепринятыми успехами по различным ветвям математики, и даже, поэтому, многими математиками как основы самой математики приняты аксиомы теории множеств (несмотря на некоторые «сомнительные» вещи: аксиома выбора, теорема Цермело, теорема Хаусдорфа, лемма Цорна).

Еще одним фактором в пользу меры Лебега можно считать то, что мера Лебега полностью не противоречит мере Жордана, и при этом дает дальнейшее развитие этой меры.

Вопрос: В чем преимущество меры Лебега над мерой Жордана? Или вопрос по другому: до чего «не дотянула» мера Жордана до меры Лебега:

Ответ: При построении составляющих «кирпичиков» (отрезок, прямоугольник, параллелепипед) Жордан ограничивается всего лишь конечным числом составляющих, а Лебег допускает использования бесконечного (точнее. счетного) множества составляющих «кирпичиков»!

Список использованных источников и литературы

1. Н. Лебег. Интегрирование и отыскание примитивных функций. ОНТИ, 1934.

2. 4. Ш.Ж. Валле Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. ОНТИ, 1933.

3. Архипов, Г.И, Садовничий, В.А., Чубариков, В.Н. [Текст] / Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. -- лекции по математическому анализу: Учебник для вузов; Дрофа, 2004.-- 640 с.

4. Богачев, В.И. [Текст] / В.И. Богачев. -- Основы теории меры, Том 1. -- 2003.-- 543 с.

5. Виленкин, Н.Я., Петров, В.А. [Текст] - Математический анализ. 1980. -- 142 с.

6. Дьяченко, М.И. Ульянов, П.Л. [Текст] Мера и интеграл / М.И. Дьяченко, П.Л. Ульянов. -- М.: Факториал, 1998. -- 159 с.

7. Колмогоров, А.Н., Фомин, С.В., Теории функций и функционального анализа. [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. -- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. --572 с.

8. Лебег, А., [Текст] Об измерении величин / А. Лебег. -- М.: Государственное учебно-педагогическое издательство, 1960. -- 204 с.

9. Макаров, А.П. Мера и интеграл Лебега [Текст] / А.П. Макаров. -- 2002, 26 с.

10. Математический сборник, [Текст] Том 25(67). -- выпуск 1. -- М.: Издательство Академии наук СССР, 1949, -- 44 c.

11. Мухин, В.В., Ющенко, Д.П. Мера и интеграл Лебега [Текст] / В.В. Мухин, Д.П. Ющенко. -- 1988. -- 40с.

Размещено на Allbest.ru