Первичная обработка выборочных данных

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт кадастра, экономики и инженерных систем в строительстве

Кафедра геодезии

Курсовой проект

по предмету «Обработка экспериментальных данных»

Первичная обработка выборочных данных

Проверил: Лазарев В.М.

1. Выборка, ее графическое представление

В результате измерений было получено 280 значений (n = 280) (Приложение 1). Нужно выполнить статистический анализ этих измерений, выяснить, какому закону распределения подчиняется данная выборка.

Интервалы и значения хц, nэ, Wэ, Hэ, F(x)э, nт, Wт ,Hт ,F(x)т, о которых идет речь в данном разделе, представлены в Таблице 1.

1.1 Гистограмма относительных частот. Эмпирический полигон относительных частот

Разобьем выборку на 10 равных интервалов (k = 10): хmin = -3,386; хmax = 3,786; размах выборки: Д = хmax - хmin = 7,172; длина интервала: h = Д / k = 0,7172.

Посчитаем число результатов измерений, попадающих в каждый интервал (nэ) - абсолютные частоты (Уnэ = n); найдем центры интервалов (хц).

Относительная частота: Wэ = nэ / n; УWэ = 1;

плотность относительных частот: Hэ = Wэ / h;

Представим выборку графически: по горизонтали отметим центры интервалов, по вертикали - плотности относительных частот; построим гистограмму (рис.1) и эмпирический полигон относительных частот (рис.2). По виду полученных графиков можно предположить, что выборка подчиняется нормальному закону распределения.

1.2 Теоретический полигон относительных частот

Найдем теоретические частоты (nт) для нормального закона распределения, воспользовавшись Таблицей значений нормированной функции Лапласа:

Значения функции Лапласа: Ф(x*), где x* - край интервала;

теоретическая вероятность попадания значений в каждый интервал: P = Ф(х*i+1) - Ф(х*i);

теоретическая частота: nт = n • P.

По формулам, аналогичным приведенным в пункте 1.1, вычислим Wт и Hэ и построим теоретический полигон относительных частот (рис.2).

Эмпирический и теоретический графики подобны, что подтверждает теорию о нормальном распределении.

Рис.1

Рис.2

1.3 Эмпирическая функция распределения

квадратичный отклонение дисперсия распределение

Запишем выборочную функцию распределения F(x)э. Каждый последующий член функции равен сумме предыдущего и относительной частоты (например, F(x)э 8 = F(x)э 7 +Wэ 8), причем F(x)э 0 = 0, а значения, которые больше хmax, равны 1. Построим график (рис.3), отметив по горизонтали центры интервалов, а по вертикали - относительные частоты.

1.4 Теоретическая функция распределения. Критерий Колмогорова

Аналогично построим график теоретической функции распределения F(x)т (рис.3). Видно, что наибольшее отклонение эмпирического графика от теоретического происходит в границах интервала №3 (xц = -1,051).

Оценим характеристики рассеяния выборки с помощью Критерия Колмогорова: лэ = D* • vn, где D* = max (F(x)э - F(x)т); D* = 0,257-0,208 = 0,049; лэ = 0,820.

По таблице Критических чисел Колмогорова лт = 0,886.

При нормальном распределении лэ ? лт, что справедливо в нашем случае. Таким образом, вновь подтверждается теория о нормальном распределении.

Рис.3

Таблица 1

2. Характеристики выборки

Выборка, отсортированная в порядке возрастания, значения V, VІ, Vі, V?, t, V?І, используемые в данном разделе, представлены в Приложении 2.

2.1 Выборочное среднее. Допустимый интервал

Начальный момент: бк = У(x??) / n; б1 = (Уx?) / n; выборочное среднее: x? = б1;

x? = 0,921;

математическое ожидание: , где V = x? - x?; [VІ] = 491,710; m = 1,342.

Допустимый интервал для V: (-4,026; 4,026), т.к. 3M = 4,026.

В данной выборке нет значений, выходящих за границы допустимого интервала.

2.2 Дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Асимметрия и эксцесс

Дисперсия генеральной совокупности: Dг = [VІ] / (n -- 1);

491,710/273=1,801

выборочная дисперсия: Dв = [VІ] / n; среднее квадратичное отклонение: у = ?D;

491,710/274=1,795

для больших по объему выборок считают, что дисперсия D = Dг = Dв, следовательно, m = у.

Центральный момент: мк = [V?] / n.

Из формулы следует, что м2 = у = m; м3 = [Vі] / n; м4 = [V?] / n;

м1=0; м2=1,801; м3=-0,620; м4=9,326

Асимметрия: A = м3 / уі; A = -0,256;

асимметрии нет, если |A| ? 3 • vDA, где ;

DA = 0,022; выражение -0,256 ?0,445 верно, а значит асимметрии нет.

Эксцесс: E = (м4 / у?) - 3; E = -0,125;

эксцесса нет, если |E| ? 3 • vDE, где ;

DE = 0,083; выражение -0,125 ? 0,864 верно, а значит эксцесса нет.

2.3 Исправленное среднее квадратичное отклонение

Составим теоретическую выборку, используя вместо значений x значения t, вычисляемые по формуле: t = V / m. Уt = 0, значит t? = 0. В нашем случае V? = t - t? = t - 0 = t;

исправленное среднее квадратичное отклонение: ; [V?І] = 273; уt = 1.

Расчеты были выполнены верно, т.к. для теоретической выборки t? = 0, уt = 1.

3. Проверка выдвинутой гипотезы о законе распределения

Интервалы и значения nэ, nт, г, чІ, о которых идет речь в данном разделе, представлены в Таблице 2.

3.1 Распределение Пирсона

Объединим интервалы, значений в которых меньше 5.

После объединения интервалов №9 и №10 остается 9 интервалов (k*=9).

Число степеней свободы: f = k* - 3 = 6; по таблице распределения Пирсона находим критическую точку для данной выборки: чІ? = 12,6.

Мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями по критерию Пирсона: чІ = Уч?; где ч? = гІ / nт; г = nэ - nт; чІ = 10,705.

Для нормального распределения: чІ < чІ?, такое неравенство справедливо для данной выборки, что окончательно подтверждает выдвинутую ранее гипотезу:

выборка подчиняется нормальному закону распределения.

Таблица 2

Вывод

Все 280 значений, входящие в полученную в результате измерений выборку, являются величинами случайными, а сама выборка подчиняется нормальному закону распределения.

Приложение 1. Выборка из непрерывной генеральной совокупности

Размещено на Allbest.ru