Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Тема: Фракталы - особые объекты живого и неживого мира

Хабаровск ТОГУ 2015



• Оглавление
• фрактал геометрический фрактальный графика
• История фракталов
• Классификация фракталов
• Геометрические фракталы
• Построение некоторых геометрических фракталов
• Алгебраические фракталы
• Применение фракталов
• Фракталы и мир вокруг нас
• Фрактальные структуры в природе
• Фрактальная графика
• Фрактальные картины в интерьере
• Применение фракталов
• Естественные науки
• Радиотехника
• Информатика
• Экономика и финансы


История фракталов

Очень часто мы встречаемся с особыми объектами, но мало кто знает, что это и есть фракталы. Фракталы - уникальные объекты, порожденные непредсказуемыми движениями хаотического мира. Они встречаются как в малых объектах, например, клеточная мембрана, и огромных, таких как Солнечная система и Галактика. В повседневной жизни мы можем увидеть фракталы на рисунке обоев, на ткани, заставке рабочего стола на компьютере, а в природе - это растения, морские животные, природные явления.

Учёные, с древних времен, зачарованы фракталами, программисты и специалисты в области компьютерной графики также любят эти объекты. Открытие фракталов стало революцией в человеческом восприятии мира и открытием новой эстетики искусства и науки.

Так что же такое фракталы? Фрактал - геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целом.

Термин фрактал был предложен в 1975г. Бенуа Мандельбротом для обозначения нерегулярных, самоподобных структур, которыми он занимался. Рождением фрактальной геометрии является выход его книги “The Fractal Geometry of Nature” в 1977г. Его работы базировались на трудах ученых Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантора и Хаусдорфа, работавших в 1875 ? 1925 годах в этой же области. Но удалось объединить их работы в единую систему только в наше время.

Понятие «фрактал» образовано от латинского «fractus» ? состоящий из фрагментов. Одно из определений звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые, в каком?то смысле подобны целому».

Бенуа Мандельброт в своих работах привел яркие примеры применения фракталов для объяснения некоторых природных явлений. Он уделил большое внимание интересному свойству, которым обладают многие фракталы. Дело в том, что часто фрактал можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая часть окажется просто уменьшенной копией целого. Иначе говоря, если мы будем смотреть на фрактал в микроскоп, то с удивлением увидим ту же самую картину, что и без микроскопа. Это свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии.

Для современных учёных изучение фракталов ? не просто новая область познания. Это открытие нового типа геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе, и в безграничной Вселенной. В настоящее время Мандельброт и другие учёные расширили область фрактальной геометрии так, что она может быть применима практически ко всему в мире, от предсказания цен на рынке ценных бумаг до совершения новых открытий в теоретической физике.

Классификация фракталов

Существуют различные классификации фракталов.

Основной классификацией фракталов является разделение на геометрические и алгебраические.

Геометрические фракталы обладают точным самоподобием, а алгебраические - приближённым самоподобием.

Существует также разделение на природные и рукотворные фракталы.

К рукотворным относятся фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования -- то есть максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

Самыми простыми фракталами являются геометрические фракталы.

Геометрические фракталы

Геометрические фракталы по-другому называют классическими, детерминированными или линейными. Они являются самыми наглядными, так как обладают так называемой жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Это значит, что, независимо от того, насколько вы приближаете фрактал, вы видите всё тот же узор.

В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков данной ломаной (инициатора) заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается фрактальная кривая. Несмотря на кажущуюся сложность этой кривой, её форма определяется лишь формой генератора.

Наиболее известные геометрические фракталы: кривая Коха, кривая Минковского, кривая Леви, кривая дракона, салфетка и ковер Серпинского, пятиугольник Дюрера.

	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ
Салфетка Серпинского	Кривая Коха	Кривая Гильберта
Решетка Серпинского	Снежинка Коха	Кривая дракона
Ковер Серпинского	Кривая Минковского	Пятиугольник Дюрера
Губка Серпинского	Кривая Леви	Фрактал коробка

Построение некоторых геометрических фракталов

1). Кривая Коха.

Она была изобретена в 1904 году немецким математиком по имени Хельге фон Кох. Для её построения берется единичный отрезок, делится на три равные части и среднее звено заменяется равносторонним треугольником без этого звена. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся отрезков. В результате бесконечного повторения данной процедуры получается фрактальная кривая.

2). Салфетка Серпинского.

В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект. Для его построения берётся сплошной равносторонний треугольник. На первом шаге из центра удаляется перевернутый равносторонний треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трёх оставшихся треугольников и т.д. По теории конца этому процессу не будет, и в треугольнике не останется живого места, но и на части он не распадется - получится объект, состоящий из одних только дырок.

3). Дракон Хартера-Хэйтуэя.

Дракон Хартера, также известный как дракон Хартера-Хейтуэя, впервые исследовали физикии NASA ? Джон Хейтуэй, Вильям Хартер и Брюс Бенкс. Он был описан в 1967 году Мартином Гарднером в колонке «Математические игры» журнала «Scientific American».

Каждый из отрезков прямой на следующем шаге заменяется на два отрезка, образующих боковые стороны равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого исходный отрезок являлся бы гипотенузой. В результате отрезок как бы прогибается под прямым углом. Направление прогиба чередуется. Первый отрезок прогибается вправо (по ходу движения слева направо), второй - влево, третий - опять вправо и т.д.



Примеры геометрических фракталов

Кривая Коха Салфетка Серпинского

Дракон Хартера-Хэйтуэя



Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул.

Алгебраические фракталы

Сложные (алгебраические) фракталы невозможно создать без помощи компьютера. Для получения красочных результатов этот компьютер должен обладать мощным математическим сопроцессором и монитором с высоким разрешением. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул. В результате математической обработки данной формулы на экран выводится точка определенного цвета. Результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются хотя и не без деформаций, эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. Практически каждая точка на экране компьютера как отдельный фрактал.

Наиболее известные алгебраические фракталы: множества Мандельброта и Жюлиа, бассейны Ньютона.

Алгебраические фракталы обладают приближенным самоподобием. Фактически, если вы увеличите маленькую область любого сложного фрактала, а затем проделаете то же самое с маленьким участком этой области, то эти два увеличения будут значительно отличаться друг от друга. Два изображения будут очень похожи в деталях, но они не будут полностью идентичными.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ



Приближения множества Мандельброта

Фракталы находят всё большее и большее применение в науке. Основная причина в том, что они описывают реальный мир лучше, чем традиционная физика и математика.

Применение фракталов

1). Теория хаоса: фракталы всегда ассоциируются со словом хаос. Теория хаоса определяется как учение о сложных нелинейных динамических системах. Хаос - это отсутствие предсказуемости. Он возникает в динамических системах, когда для двух очень близких начальных значений система ведет себя совершенно по-разному. Пример хаотичной динамической системы - погода. Примерами подобных систем являются турбулентные потоки, биологические популяции, общество и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы. Одной из центральных концепций в этой теории является невозможность точного предсказания состояния системы. Теория хаоса сосредотачивает внимание не на беспорядке системы (наследственной непредсказуемости системы), а на унаследованном ей порядке (общем в поведении похожих систем). Таким образом, наука о хаосе - это система представлений о различных формах порядка, где случайность становится организующим принципом.

2). Экономика: анализ рынка ценных бумаг.

3). Астрофизика: описание процессов кластеризации галактик во Вселенной.

4). Геология: изучение шероховатости минералов;

5). Картография: изучение форм береговых линий; изучение разветвленной сети речных русел.

6). Механика жидкостей и газов, физика поверхностей:

- динамика и турбулентность сложных потоков.

- моделирование языков пламени;

7). Биология и медицина:

- моделирование популяций животных и миграции птиц;

- моделирование эпидемий;

- анализ строения кровеносной системы;

- рассмотрение сложных поверхностей клеточных мембран;

- описание процессов внутри организма, например, биения сердца.

8). Фрактальные антенны: использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Он вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

9). Сжатие изображений: достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

10). Компьютерная графика: компьютерная графика переживает сегодня период интенсивного развития. Она оказалась способна воссоздать на экране монитора бесконечное разнообразие фрактальных форм и пейзажей, погружая зрителя в удивительное виртуальное пространство. В настоящие время при помощи сравнительно простых алгоритмов появилась возможность создавать трёхмерные изображения фантастических ландшафтов и форм, которые способны преобразовываться во времени в ещё более захватывающие картины. Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами (например, фрактальные облака из 3D studio MAX, фрактальные горы в World Builder). Фрактальные модели сегодня широко применяют в компьютерных играх, создавая в них обстановку, которую уже трудно отличить от реальности.

Конец ХХ века ознаменовался не только открытием поразительно красивых и бесконечно разнообразных структур, названных фракталами, но и осознанием фрактального характера природы. Окружающий нас мир очень разнообразен, и его объекты не укладываются в жёсткие рамки евклидовых линий и поверхностей.

Фракталы и мир вокруг нас

«Красота всегда относительна... Не следует полагать, что берега океана и впрямь бесформенны только потому, что их форма отлична от правильной формы построенных нами причалов; форму гор нельзя считать неправильной на основании того, что они не являются правильными конусами или пирамидами; из того, что расстояния между звёздами неодинаковы, ещё не следует, что их разбросала по небу неумелая рука. Эти неправильности существуют только в нашем воображении, на самом деле они таковыми не являются и никак не мешают истинным проявлениям жизни на Земле, ни в царстве растений и животных, ни среди людей». Эти слова английского учёного XVII в. Ричарда Бентли свидетельствуют о том, что идея объединить формы берегов, гор и небесных объектов и противопоставить их евклидовым построениям возникла в умах людей уже очень давно.

Галилео Галилей сказал, что «великая книга Природы написана на языке геометрии». Сейчас с уверенностью можно утверждать, что она написана на языке фрактальной геометрии.

То, что мы наблюдаем в природе, часто интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Причудливые формы береговых линий и замысловатые изгибы рек, изломанные поверхности горных хребтов и очертания облаков, раскидистые ветви деревьев и коралловые рифы, робкое мерцание свечи и вспененные потоки горных рек - все это фракталы. Одни из них, типа облаков или бурных потоков, постоянно меняют свои очертания, другие, подобно деревьям или горным массивам, сохраняют свою структуру неизменной. Общим для всех типов фрактальных структур является их самоподобие - основное свойство, обеспечивающее выполнение во фракталах основного закона - закона единства в многообразии мироздания.

Фрактальными структурами также являются системы и органы человека. Так, например, кровеносные сосуды многократно разветвляются, т.е. имеют фрактальную природу. Электрическая активность сердца - фрактальный процесс. Кардиологи обнаружили, что спектральные характеристики сердечных сокращений подчиняются фрактальным законам, как землетрясения и экономические феномены. В тканях пищеварительного тракта одна волнистая поверхность встроена в другую. Легкие также представляют пример того, как большая площадь «втиснута» в маленькое пространство. В действительности, вся структура человеческого тела имеет фрактальную природу; это уже признано учеными. Принцип единого простого, задающего разнообразное сложное, заложен в геноме человека, когда одна клетка живого организма содержит информацию обо всем организме в целом.



Фрактальные структуры в природе

Приведем несколько образцов фото:

Как сказал биолог Джон Холдейн, “мир устроен не только причудливей, чем мы думаем, но и причудливей, чем мы можем предполагать”. Фракталы - не изобретения Мандельброта. Они существуют объективно. В природных формах и процессах, в науке и искусстве, которые этот мир отображают и познают. Именно “за изменение нашего взгляда на мир благодаря идеям фрактальной геометрии” Бенуа Мандельброту в 1993 году была присуждена почётная премия Вольфа в области физики.

В настоящее время большой популярностью пользуются фрактальные картины. Они производят совершенно фантастическое впечатление. Множество тонких линий, образующих одно целое, или же необычные элементы, сплетающиеся в единую картину. Вспышки яркого света и умеренные сглаженные линии. Фрактал кажется живым. Он горит, пылает, он завлекает, и Вы не можете отвести от него глаз, изучая даже самые крохотные и незначительные детали.

Фрактальная графика

Фрактальные картины в интерьере

Применение фракталов

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Информатика

Сжатие изображений

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений.

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku (эта сеть является проектом создания распределённой самоорганизующейся одноранговой сети, способной обеспечить взаимодействие огромного количества узлов при минимальной нагрузке на центральный процессор и память) использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Экономика и финансы

А. А. Алмазов в своей книге «Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки» предложил способ использования фракталов при анализе биржевых котировок, в частности -- на рынке Форекс.

Всякий раз, рассматривая фракталы, задумываешься, как прекрасен реальный мир и мир математики, и о том, что математика действительно является языком, который способен описать практически всё, что существует во Вселенной.



Библиографический список

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: “Институт компьютерных исследований”, 2002. 656 с.

2. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 1999 г. 140 с.

3. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. М.: “Мир”, 1993. - 176 с.

4. Тихоплав В.Ю., Тихоплав Т.С. Гармония хаоса, или фрактальная реальность. С.-Петербург: ИД “Весь”, 2003. 340 с.

5. Федер Е. Фракталы. М: “Мир”, 1991. 254 с.

6. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: “РХД”, 2001. 528 с.

Список сайтов о фракталах

1. http://www.fractals.nsu.ru.

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.

3. http://www.multifractal.narod.ru.

4. http://algolist.manual.ru.

Размещено на Allbest.ru