Об элементарном доказательстве Великой теоремы Ферма
Современная формулировка великой теоремы Ферма. Доказательство: для всех троек (z,x,y) пифагоровых чисел; для всех членов семейства любой тройки пифагоровых чисел; для всех троек чисел, не больших числа z; для всех троек чисел натурального ряда чисел.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.03.2017 |
| Размер файла | 78,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Об элементарном доказательстве ВТФ
Известна формулировка ВТФ:
уравнение
xn + yn = zn, (*)
теорема ферма доказательство число
где числа n > 2 и 0 < x < y < z - все натуральные, (x; y) = 1, (y; z) = 1, (z; x) = 1 - взаимно простые,
не имеет решения.
Расширим условие: n > 1.
Известно, что x + y > z и из x и y одно является четным, другое - нечетным.
Справедливо
xn + yn =
= xn-1x + yn-1y =
= xn-1x + yn-1y - kn-1(x + y - k) + kn-1(x + y - k) =
= (xn-1 - kn-1)x + (yn-1 - kn-1)y + kn + kn-1(x + y - k) =
= (xn-1 - kn-1)(x - z) + (yn-1 - kn-1)(y - z) + kn + kn-1z + xn-1z - kn-1z + yn-1z - kn-1z = - (xn-1 - kn-1)(z - x) - (yn-1 - kn-1)(z - y) + kn + z(xn-1 + yn-1 - kn-1)
при всяком натуральном k.
В силу произвольности k примем k = x + y - z, что допустимо, поскольку x + y > z.
Из k = x + y - z видно, что
2|k и 1 < k < x.
Допустим, имеется решение (*) при n > 1.
Тогда, так как xn-1 + yn-1 > zn-1, существует такое число ?, что
xn-1 + yn-1 - ? = zn-1
z(xn-1 + yn-1 - ?) = zzn-1 = zn.
Число ? = kn-1, что проверяется непосредственно1. Так, если
z(xn-1 + yn-1 - ?) = zn,
0 = z(xn-1 + yn-1 - kn-1) - zn =
= xn-1z + yn-1z - kn-1z - zn =
= xn-1z + yn-1z - kn-1z - zn + kn-1k - kn-1k =
= xn-1z - kn-1z + yn-1z + kn-1k - zn - kn =
= xn-1z - kn-1z + yn-1z + kn-1k - xn - yn - kn =
= xn-1z - kn-1z + yn-1z + kn-1(x + y - z) - xn - yn - kn =
= xn-1z - kn-1z + yn-1z + kn-1x + kn-1y - kn-1z - xn - yn - kn =
= (xn-1z - xn) - (kn-1z + kn-1x) + (yn-1z - yn) - (kn-1z + kn-1y) - kn =
= xn-1(z - x) - kn-1(z - x) + yn-1(z - y) - kn-1(z - y) - kn =
= (xn-1 - kn-1)(z - x) + (yn-1 - kn-1)(z - y) - kn,
или
0 = - (xn-1 - kn-1)(z - x) - (yn-1 - kn-1)(z - y) + kn (**)
в предположении о решении (*) при n > 1.
Тогда и ранее полученное соотношение
xn + yn = - (xn-1 - kn-1)(z - x) - (yn-1 - kn-1)(z - y) + kn + z(xn-1 + yn-1 - kn-1)
приводится к соотношениям
xn + yn = 0 + z(xn-1 + yn-1 - kn-1),
zzn-1 = z(xn-1 + yn-1 - kn-1),
zn-1 = xn-1 + yn-1 - kn-1,
определяющим выполнимость (*) при n > 1, если ? = kn-1 или, равно, справедливо (**).
Откуда видно, что
xn-1 + yn-1 - zn-1 = kn-1
и, соответственно,
xn-1 + yn-1 - zn-1 = (x + y - z)n-1.
Таким образом, предположение о решении (*) с n > 1 влечет выполнимость соотношения
xn-1 + yn-1 - zn-1 = (x + y - z)n-1,
которое, в свою очередь, определяет существование решения (*) в форме
(xn-1 - kn-1)z + (yn-1 - kn-1)z + kn-1z =
= xn-1z + yn-1z - kn-1z = zzn-1,
где k = x + y - z, 2|k и 1 < k < x.
Иные варианты исключаются произвольностью выбора k, чем допускается k = x + y - z без дополнительных условий или какого-либо расширения вариантов решения задачи. Так, при
(xn-1 - kn-1)z + (yn-1 - kn-1)z + kn-1z + дz = zzn-1,
где, возможно, д - целое, величина д = 0, поскольку (xn-1 - kn-1)z + (yn-1 - kn-1)z + kn-1z в точности равно xn + yn и, по допущению, zn.
Из соотношения
kn-1(x + y) = xy( xn-2 + yn-2) - kzn-1,
полученного преобразованием (**), следует условие делимости k|xy.
Таким образом, утверждение ВТФ (с её условиями для x, y и z при n > 1) необходимо и достаточно эквивалентно утверждению о выполнимости соотношения
xn-1 + yn-1 - zn-1 = (x + y - z)n-1 (***)
при x + y - z = k, 1 < k ? x, где для k с необходимостью устанавливается делимость:
2|k, k|xy, (k; z) = 1.
Следствие (Ферма).
Утверждение ВТФ справедливо, поскольку любое допущение о решении (*) при условиях ВТФ сразу же влечет противоречие с известным утверждением о единственности решения (*) в силу того, что при тех же условиях и x, y, z решение (*) определено, очевидно, выполнимостью соотношения (***) при n = 2.
1 - Справедливость соотношения (**) можно показать на примере представления чисел xn, yn, zn графами древесной структуры:
На рисунке показано совмещение деревьев, представляющих числа 33 (красный и черный цвета) и 43 (зеленый и черный цвета). Деревья совмещены на первом (здесь верхнем) уровне по k = 2 ребрам (или ветвям, черного цвета) в каждом дереве. На последующих уровнях совмещение осуществляется автоматически по k2 = 4 ребрам на втором уровне, по k3 = 8 ребрам на третьем уровне (и так далее, если бы рассматривалось совмещение деревьев, соответствующих числам 3n и 4n в степени, большей 3). Очевидно, что ребра (ветви) дерева, представляющего kn (черный цвет), являются двукратными. Отсюда ясно, если на некотором n-м уровне совмещенных таким образом деревьев 3n и 4n имеется всего 3n + 4n ребер (ветвей), то kn из этих 3n + 4n ребер является двукратными. Тогда, если оказывается, что 3n + 4n = zn, то число kn должно быть равно (3n-1 - kn-1)(z - 3) + (4n-1 - kn-1)(z - 4). Так, на рисунке показано, что второй уровень соответствует известному соотношению: 32 + 42 = 52. Для этого соотношения имеем k2 = (32-1 - 22-1)(5 - 3) + (42-1 - 22-1)(5 - 4) = (3 - 2)2 + (4 - 2)1 = 4 и k = 2, то есть k = 3 + 4 - 5 = 2. Стрелки указывают, какие группы (или кусты) ребер второго уровня дополняются простыми ветвями из числа двукратных ветвей для того, чтобы второй уровень имел в точности z = 5 кустов по z = 5 ветвей, то есть - соответствовал решению 32 + 42 = 52 уравнения 3n + 4n = 5n (или 32 + 42 = z2, или 3n + 4n = zn). Отметим, что представление числовых соотношений графами (здесь в форме деревьев) - математически определенное представление, которое исследуется в комбинаторной топологии.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Идея элементарного доказательства великой теоремы Ферма исключительно проста: разложение чисел a, b, c на пары слагаемых, группировка из них двух сумм U' и U'' и умножение равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 1
статья [12,9 K], добавлен 07.07.2005Проблема универсального генератора простых чисел. Попытки создания формул для нахождения простых чисел. Сущность теоремы сравнений. Доказательство "Малой теоремы Ферма". "Золотая теорема" о квадратичном законе взаимности. Генераторы простых чисел Эйлера.
реферат [22,8 K], добавлен 22.03.2016Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
творческая работа [17,4 K], добавлен 25.06.2009Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа распределения простых чисел.
монография [575,3 K], добавлен 28.03.2012Доказательство великой теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений и методов замены переменных. Теорема о единственности разложения на простые множители целых составных чисел.
статья [29,4 K], добавлен 21.05.2009Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
статья [35,2 K], добавлен 21.05.2009Свойства чисел натурального ряда. Периодическая зависимость от порядковых номеров чисел. Шестеричная периодизация чисел. Область отрицательных чисел. Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.
научная работа [20,2 K], добавлен 29.12.2006Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
научная работа [22,6 K], добавлен 12.06.2009Алгоритма решения диофантовых уравнений. Системный анализ свойств пифагоровых троек. Разработка способов и алгоритмов вычисления пифагоровых троек вида х2=у2+z2. Графические модели, отображающие каждый член пифагоровой тройки в виде составных квадратов.
статья [793,0 K], добавлен 31.12.2015Сумма n первых чисел натурального ряда. Вычисление площади параболического сегмента. Доказательство формулы Штерна. Выражение суммы k-х степеней натуральных чисел через детерминант и с помощью бернуллиевых чисел. Сумма степеней и нечетных чисел.
курсовая работа [8,2 M], добавлен 14.09.2015