Основы математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Негосударственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Сибирский университет потребительской кооперации

Контрольная работа по математике

Выполнила: студентка 2 курса

Факультета: Торгово-технологического

Направление: Агроинженерия

Группа: ЗАГБ-51

Воронкова Оксана Викторовна

Новосибирск 2017

Задача 1

Партия мужских костюмов состоит из k костюмов производителя «А» и m костюмов производителя «В». Некто наугад выбирает из партии один за другим два костюма. Найти вероятность того, что

а) оба костюма изготовлены производителем «А»;

б) выбраны костюмы разных производителей;

в) хотя бы один из них изготовлен производителем «А».

Найти вероятности указанных событий, если костюмы выбираются по схеме выборки: 1) с возвращением; 2) без возвращения.

k = 6, m = 3

Решение.

1) Пусть изделия выбирают по схеме выборки с возвращением.

а) Пусть событие А - оба костюма изготовлены производителем А, тогда .

б) Пусть событие В -выбраны костюмы разных производителей, тогда .

в) Пусть событие С - хотя бы один костюм изготовлен производителем А, тогда - оба костюма изготовлены производителем В.

.

2) Пусть изделия выбирают по схеме выборки без возвращения.

а) Пусть событие А - оба костюма изготовлены производителем А, тогда .

б) Пусть событие В -выбраны костюмы разных производителей, тогда .

в) Пусть событие С - хотя бы один костюм изготовлен производителем А, тогда - оба костюма изготовлены производителем В.

.

Задача 2

Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: малый риск, средний и большой риск. Среди этих клиентов 50% - I класса риска, 30% - II класса риска, 20% - III. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для I класса риска равна 0,01, для II - 0,03, для III - 0,08. Какова вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования?

Решение.

Пусть событие А - застрахованный получит денежное вознаграждение, тогда это событие может произойти вместе с одним их событий -гипотез:

Н₁ - застрахованный принадлежит I классу риска;

Н₂ - застрахованный принадлежит II классу риска,

Н₃ - застрахованный принадлежит III классу риска.

Вероятности этих событий:

, , .

События Н₁ ,Н₂, Н₃ образуют полную группу событий.

Так как события А и Н₁, Н₂, Н₃ - зависимые, то по условию

, ,

Применим формулу полной вероятности:

.

Задача 3

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак «изделие высшего качества» равна p. На контроль поступило n изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно k изделиям;

б) более чем m изделиям;

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

n=6; p=0,2; k=3; m=4.

Решение.

1) Применим формулу Бернулли: .

.

.

в) Пусть событие С - «знак высшего качества будет присвоен хотя бы одному изделию», тогда

.

г) Наивероятнейшее число изделий, получивших знак высшего качества, определим по формуле:

.

Имеем: , .

Значит, .

.

Задача 4

В рекламных целях торговая фирма вкладывает в свой товар случайным образом некоторые призы. На каждые 100 единиц товара приходится m1 призов стоимостью a1 рублей, m2 призов стоимостью a2 рублей, m3 призов стоимостью a3 рублей и т. д. В остальных единицах товара призов нет.

Составить закон распределения величины стоимости приза для покупателя, купившего одну единицу товара этой фирмы и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл полученных результатов.

а1=6; а2=5; а3= 4; а4= 3;

m1=2; m2=4; m3=6; m4=10.

Решение.

Пусть Х (тысяч рублей) - величина выигрыша на один билет; тогда Х - дискретная случайная величина может принимать значения: 0,3,4,5,6.

Число выигрышных билетов: 22, значит число невыигрышных билетов

100-22=78.

; ; ;

; .

.

Закон распределения случайной величины Х

Математическое ожидание случайной величины Х:

,

значит, ожидаемый средний выигрыш на 1 билет составляет 0,86 тысячи рублей.

Дисперсия случайной величины Х:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х:

,

т.е. основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне тыс. рублей, что соответствует таблице данных.

Задача 5

Показать, что система имеет единственное решение и найти его матричным способом. Сделать проверку.

Решение.

Найдем , значит, система имеет единственное решение.

Решим систему с помощью обратной матрицы. Систему запишем в виде , тогда

Найдем . Так как , значит, существует.

.

Составим .

; ;

; ;

; ;

; ;

.

, значит,

.

Найдем решение системы:

Проверка:

Ответ:

Задача 6

Решить графически задачу линейного программирования:

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. математический дисперсия бернулли квадратический

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x₁+x₂ > max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x₁+x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации Z(X). Начало вектора - точка (0; 0), конец - точка (3; 1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая Z(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

2x₁-x₂=2

x₁+x₂=4

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 2, x₂ = 2

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

Z(X) = 3*2 + 1*2 = 8

Список литературы

1. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2006.

2. Кузнецов Б.Т. Математика: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления. - М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учеб. - 2-е изд. - М.: Дело, 2001.

4. Малыхин В.И. Математика в экономике: учебное пособие. - М.: ИНФРА-М, 2005.

5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. - М.: Айрис-пресс, 2006.

7. Кундышева Е.С. Математика: учебное пособие для экономистов. - М.: Наука, 2005.

Размещено на Allbest.ru