Проверка гипотез о виде распределения

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Дан статистический ряд

	-3	-1	1	3	5
	10	16	21	15	8

Выдвинуть гипотезу о виде распределения изучаемого признака Х.

Используя критерий согласия Пирсона, выяснить, не противоречит ли принятая гипотеза о виде распределения опытным данным с уровнем значимости

статистический ряд граница критический критерий согласие

Решение

По внешнему виду полигона можно предположить, что данные выборки будут распределены по нормальному закону распределения.

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Средняя взвешенная



Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 0.86 в среднем на 2.42

Оценка среднеквадратического отклонения.



Проверка гипотез о виде распределения

1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.

где n*_i - теоретические частоты:

Вычислим теоретические частоты, учитывая, что:

n = 70, h=2 (ширина интервала), у = 2.42, x_ср = 0.86

i	xi	ui	цi	n*i
1	-3	-1.59	0,1109	6.41
2	-1	-0.77	0,2966	17.15
3	1	0.059	0,3982	23.02
4	3	0.88	0,2685	15.52
5	5	1.71	0,0909	5.25

Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия:



i	ni	n*i	ni-n*i	(ni-n*i)2	(ni-n*i)2/n*i
1	10	6.41	-3.59	12.88	2.01
2	16	17.15	1.15	1.31	0.0766
3	21	23.02	2.02	4.08	0.18
4	15	15.52	0.52	0.27	0.0175
5	8	5.25	-2.75	7.54	1.43
?	70	70			3.71

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+?).

Её границу K_kp = ч²(k-r-1;б) находим по таблицам распределения ч² и заданным значениям у, k = 5, r=2 (параметры x_cp и у оценены по выборке).

Kkp(0;2) = 7.37776; Kнабл = 3.71

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.

2. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по закону Пуассона.

где p_i -- вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону.

а) Находим по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю (x_В = 0.857).

б) Принимаем в качестве оценки параметра л распределения Пуассона выборочную среднюю x_ср = 0.857. Следовательно, предполагаемый закон Пуассона имеет вид:

в) Найдем по формуле Пуассона вероятности P_i, появления ровно i событий в n испытаниях. Находим теоретические частоты по формуле np_i

i = 0: p₀ = 0.42, np₀ = 29.71

i = 1: p₁ = 0.36, np₁ = 25.46

i = 2: p₂ = 0.16, np₂ = 10.91

i = 3: p₃ = 0.0445, np₃ = 3.12

i = 4: p₄ = 0.00954, np₄ = 0.67

в) Вычисляем слагаемые статистики Пирсона по формуле (5 столбец таблицы):

i	Наблюдаемая частота ni	pi	Ожидаемая частота npi	Слагаемые статистики Пирсона Ki
0	10	0.42	29.71	13.07
1	16	0.36	25.46	3.52
2	21	0.16	10.91	9.33
3	15	0.0445	3.12	45.28
4	8	0.00954	0.67	80.46
	70			151.66



Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+?).

Её границу K_kp = ч²(k-r-1;б) находим по таблицам распределения г² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=1 (параметр л).

Kkp(0;3) = 9.34840; Kнабл = 151.66

Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по закону Пуассона.

4. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении X,т.е. по закону: f(x) = 1/(b-a) в интервале (a,b) надо:

1. Оценить параметры a и b - концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через знак * обозначены оценки параметров):

2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения f(x) = 1/(b^* - a^*)

3. Найти теоретические частоты:

n₁ = nP₁ = n[f(x)*(x₁ - a^*)] = n*1/(b^* - a^*)*(x₁ - a^*)

n₂ = n₃ = ... = n_s-1 = n*1/(b^* - a^*)*(x_i - x_i-1)

n_s = n*1/(b^* - a^*)*(b^* - x_s-1)

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-3, где s - число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s - число интервалов, оставшихся после объединения.

Решение:

1. Найдем оценки параметров a^* и b^* равномерного распределения по формулам:

2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:

f(x) = 1/(b^* - a^*) = 1/(5.05 - (-3.34)) = 0.119

3. Найдем теоретические частоты:

n₁ = n*f(x)(x₁ - a^*) = 70 * 0.119(-3-(-3.34)) = 2.82

n₅ = n*f(x)(b^* - x₄) = 70 * 0.119(5.05-5) = 0.43

Остальные n_s будут равны:

n_s = n*f(x)(x_i - x_i-1)



i	ni	n*i	ni - n*i	(ni - n*i)2	(ni - n*i)2/n*i
1	10	2.82	7.18	51.6	18.32
2	16	16.69	-0.69	0.47	0.0283
3	21	16.69	4.31	18.6	1.11
4	15	16.69	-1.69	2.85	0.17
5	8	0.43	7.57	57.26	132.25
Итого	70				151.88

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+?).

Её границу K_kp = ч²(k-r-1;б) находим по таблицам распределения ч² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры a и b).

K_kp(2,0) = 7.37776; Kнабл = 151.88

Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по равномерному закону.

2. Дан интервальный ряд. Здесь - частота попадания в промежуток .

i
1	[12,16)	7
2	[16,20)	15
3	[20,24)	23
4	[24,28)	9
5	[28,32)	6

Построить гистограмму нормированных относительных частот и выдвинуть гипотезу о виде распределения изучаемого признака Х.

Используя критерий согласия Пирсона, выяснить, не противоречит ли принятая гипотеза о виде распределения опытным данным с уровнем значимости

Решение

Теперь построим нормированну гистограмму относительных частот:

Объем выборки:

n=7+15+23+9+6=60



Длина промежутков равна 4

Относительные частоты:

Проверим нормированность, сумма относительных частот должна равняться 1:

0,12 + 0,25 + 0,38 + 0,15 + 0,1 = 1

По внешнему виду гистограмм можно предположить, что данные выборки будут распределены по нормальному закону распределения.

Полигон эмпирических частот.

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации.

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X_max - X_min

R = 32 - 12 = 20

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 21.47 в среднем на 4.47

Оценка среднеквадратического отклонения.

Проверка гипотез о виде распределения.

1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.

где p_i -- вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону

Для вычисления вероятностей p_i применим формулу и таблицу функции Лапласа

где

s = 4.47, x_ср = 21.47



Теоретическая (ожидаемая) частота равна n_i = np_i, где n = 60

Интервалы группировки	Наблюдаемая частота ni	x1 = (xi - xср)/s	x2 = (xi+1 - xср)/s	Ф(x1)	Ф(x2)	Вероятность попадания в i-й интервал, pi = Ф(x2) - Ф(x1)	Ожидаемая частота, 60pi	Слагаемые статистики Пирсона, Ki
12 - 16	7	-2.1	-1.21	-0.48	-0.39	0.0947	5.68	0.31
16 - 20	15	-1.21	-0.33	-0.39	-0.13	0.26	15.54	0.0187
20 - 24	23	-0.33	0.56	-0.13	0.22	0.35	20.7	0.26
24 - 28	9	0.56	1.45	0.22	0.43	0.21	12.65	1.05
28 - 32	6	1.45	2.34	0.43	0.49	0.0639	3.83	1.22
	60							2.86

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+?).

Её границу K_kp = ч²(k-r-1;б) находим по таблицам распределения ч² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры x_cp и s оценены по выборке).

K_kp = ч²(5-2-1;0) = 7.37776; Kнабл = 2.86

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.

2. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по закону Пуассона.

где p_i -- вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону.

а) Находим по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю (x_В = 21.467).

б) Принимаем в качестве оценки параметра л распределения Пуассона выборочную среднюю x_ср = 21.467. Следовательно, предполагаемый закон Пуассона имеет вид:

в) Найдем по формуле Пуассона вероятности P_i, появления ровно i событий в n испытаниях. Находим теоретические частоты по формуле np_i

i = 0: p₀ = 0, np₀ = 0

i = 1: p₁ = 0, np₁ = 1.0E-6

i = 2: p₂ = 0, np₂ = 6.0E-6

i = 3: p₃ = 1.0E-6, np₃ = 4.7E-5

i = 4: p₄ = 4.0E-6, np₄ = 0.000252

в) Вычисляем слагаемые статистики Пирсона по формуле (5 столбец таблицы):



i	Наблюдаемая частота ni	pi	Ожидаемая частота npi	Слагаемые статистики Пирсона Ki
0	7	0	0	0
1	15	0	1.0E-6	374999970
2	23	0	6.0E-6	88166620.67
3	9	1.0E-6	4.7E-5	1730751.23
4	6	4.0E-6	0.000252	142845.14
	60			465040187.04

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+?).

Её границу K_kp = ч²(k-r-1;б) находим по таблицам распределения г² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=1 (параметр л).

Kkp(0;3) = 9.34840; Kнабл = 465040187.04

Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по закону Пуассона.

3. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы при уровне значимости а проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю х_cp. Для этого находят середину i-го интервала x_cpi = (x_i+x_i+1)/2, составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2. Принять в качестве оценки параметра Х показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

3. Найти вероятности попадания X в частичные интервалы (x_i,x_i+1) по формуле:

P_i = P(x_i < X < x_i+1) = e^-лx_i - e^-лx_i+1

4. Вычислить теоретические частоты:

n_i = n * P_i

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-2, где s - число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s - число интервалов, оставшихся после объединения.

Среднее значение равно 21.47. Следовательно, параметр л = 1 / 21.47 = 0.0466

Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид:

f(x) = 0.0466e^-0.0466x, x > 0

Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

P_i = P(x_i < X < x_i+1) = e^-лx_i - e^-лx_i+1

P₁ = (12 < X < 16) = 0.5718 - 0.4746 = 0.0972, n_i = 60 * 0.0972 = 5.83

P₂ = (16 < X < 20) = 0.4746 - 0.3939 = 0.08068, n_i = 60 * 0.08068 = 4.84

P₃ = (20 < X < 24) = 0.3939 - 0.3269 = 0.06696, n_i = 60 * 0.06696 = 4.02

P₄ = (24 < X < 28) = 0.3269 - 0.2713 = 0.05558, n_i = 60 * 0.05558 = 3.33

P₅ = (28 < X < 32) = 0.2713 - 0.2252 = 0.04613, n_i = 60 * 0.04613 = 2.77

i	ni	n*i	ni - n*i	(ni - n*i)2	(ni - n*i)2/n*i
1	7	5.83	1.17	1.36	0.23
2	15	4.84	10.16	103.21	21.32
3	23	4.02	18.98	360.32	89.68
4	9	3.33	5.67	32.09	9.62
5	6	2.77	3.23	10.45	3.77
Итого	0				124.63

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+?).

Её границу K_kp = ч²(k-r-1;б) находим по таблицам распределения ч² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=1 (параметр л).

Kkp(3,0) = 9.34840; Kнабл = 124.63

Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по показательному закону.

Размещено на Allbest.ru