Построение графиков функции с использованием производной

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. В.П. АСТАФЬЕВА

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ФИЗИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра математического анализа и методики обучения математике в вузе

КУРСОВАЯ РАБОТА

Дидактический анализ темы "Построение графиков функции с использованием производной"

Студентка 11 группы: Яровая Е.О.

Руководитель: к.п.н. Журавлева Н.А.

Красноярск 2016

Введение

Для создания целостного представления о содержании школьного курса математики целесообразно рассматривать его как системы. Дидактический анализ различного учебного материала представляет собой один из вариантов системного анализа, которые отражает специфику систем применяемых к содержанию школьного курса математики в различных учебных пособиях.

Актуальность этой темы связана с тем, что для реализации учебных целей на этапе проектирования учебного занятия первостепенное значение имеет дидактический анализ.

С помощью дидактического анализа можно выяснить, какие знания и умения нужно формировать у учащихся, на какие пункты и смысловые части следует разбивать учебный материал, чтобы он был логически завершенным и последовательным. Также какие оптимальные формы и методы контроля следует применить, какие способы изложения материала будут более доступны для восприятия учащимися.

Целью данной работы является проведение дидактического анализа темы « построение графиков функции с использованием производной» с использованием различных учебных пособий.

Задачи:

формирование представления о дидактическом анализе;

описать компоненты связанные с понятие функции: функциональные понятия, свойства функций, теоремы и т.д;

описать понятие о производной функции в точке, ее физический и геометрический смысл, использование при исследовании функций, а также построение графиков и т.д;

развитие исследовательских навыков при выполнении данной работы;

Глава I. Понятие функции и ее компоненты

1.1 Различные подходы к определению понятия функции

Для того чтобы составить представление о понятие функции, сравним две наиболее резко различающиеся методические трактовки этого понятия.

Генетическая трактовка понятия. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, является переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, декартова система координат на плоскости и формулы выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных.

В генетическом развертывание понятия функции существует ряд достоинств. В нем подчеркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такая трактовка естественно «складывается» с остальным содержанием курса алгебры, т.к. большинство функций, используемых в нем, выражаются аналитически или таблично.

Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определенными на числовых промежутках). В обучении приходится, используя и развивая функциональные представления, постоянно выходить за пределы его первоначального описания.

Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия функции в рамках понятия алгебраической системы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения.

Реализовывать логический подход необходимо иллюстрируя понятие функции при помощи различных средств, также у учащихся обогащается школьный язык математики. Кроме формул и таблиц, здесь находится задание функции стрелками, перечислением пар, использование не только числового, но и геометрического материала; геометрическое преобразование при таком подходе оказывается возможным рассматривать как функцию. Основное достоинство это трактовки является обобщенность возникающего понятия и вытекающие отсюда возможности установления разнообразных связей в обучении математике. Но выбранное понятие в дальнейшем будет связанно с той областью, в которой гораздо проще формируется на генетической основе.

Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает определенную избыточность. Различия в трактовках функции проявляются с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем изучении функциональной линии различия постепенно стираются, поскольку изучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачах естествознания и общественного производства.

В современном школьном курсе математики в качестве ведущего был принят генетический подход к понятию функции. Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из логического подхода. Исходя из этого при формировании понятий и представлений, методов и приемов в составе функциональной линии система обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией, и, во-вторых, на установлении их взаимодействия при развертывании учебного материала. Иными словами, в обучении должна быть выделена система компонентов понятия функции и установлена связь между ними. В эту систему входят такие компоненты:

представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и в математике;

представление о функции как о соответствии;

построение и использование графиков функций, исследованные функций;

вычисление значений функций, определенных различными способами.

При любом подходе к понятию функции все выше перечисленные компоненты присутствуют в процессе обучения алгебре, но акцент может быть сделан на одном из них. Как только что мы отметили, функциональный компонент является основой введения и изучения понятия функции. На этой основе при организации работы над определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных способах задания функциональной зависимости и ее графического представления.

Введение понятия «функция»

Простейший вариант понятия «функция» дается в средних классах школы. Это понятие в дальнейшем играет важную роль, оно является базовым понятием в изучение алгебры и начал анализа. Начиная с 7 класса средней школы идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейных функций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции обратной пропорциональности и дробно-линейные функции. В более старших классах вводится тригонометрические функции, показательные и логарифмические функции. Все эти функции рассматриваются только как функции одной переменной, причем сами переменные не входят за рамки множества вещественных чисел.

Введение понятия функции -- длительный процесс, завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс ведется по трем основным направлениям:

упорядочение имеющихся представлений о функции, развертывание системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значений, возрастания и т. д. на основе метода координат);

глубокое изучение отдельных функций и их классов;

расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и разветвленной системы действий с функцией.

В настоящее время в изучении понятия функции в школе преобладающими являются два основных подхода: индуктивный и дедуктивный. Сложившись исторически, они наиболее полно отвечают целям и задачам образования, и поэтом у им отдано предпочтение при изучении математики, в том числе функций в средних классах школ.

На практике реализуется индуктивный подход к изучению функций в школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя и применяется реже, но имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали причиной его применения в школе. Для этого подхода характерно первоначальное, полное и сжатое изложение учебного материала. Такой подход к изучению функций и не только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому запоминанию. Вот как выглядит изложение той же темы “Понятие функции” в соответствии с дедуктивным подходом:

Зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями.

Зависимость переменной y от переменной x называют функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y. При этом используют запись .

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y -- зависимой переменной. Говорят, что y является функцией от x.

Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции, т.е все значения, которые принимает зависимая переменная, образует множество значений функции.

Для функции f приняты обозначения: D ( f ) -- область определения функции, E ( f ) -- множество значений функции, -- значение функции в точке .

Элементы множества D ( f ) также называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E ( f ) -- значениями функции.

Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты -- соответствующим значениям функции.

Затем, на следующих уроках, происходит детальный разбор этого материала при активной работе учащихся. Тщательно рассматриваются все определения, прорешиваются примеры, с помощью которых идет усвоение нового материала.

Методические особенности изучения линейной, квадратной и кубических функций.

Типичный и одновременно важнейший для математики класс функций -- линейные функции, которые мы рассмотрим с точки зрения изучения характерных для этого класса свойств и представлений, формируемых в курсе алгебры.

Первоначальное представление о линейной функции выделяется из рассмотрения задачи, обычно связанной с равномерным и прямолинейным движением, а также при построении графика некоторой линейной функции. Рассмотрим построение графика некоторой линейной функции, где возьмем график отдельно взятой линейной функции не может привести к формированию представлений об основных свойствах графиков всех линейных функций.

Для этого мы рассмотрим два наиболее широко распространенных в начале изучения темы приема построения графиков линейной функции.

Первый способ это «загустения точек на графике. Предполагается следующая последовательность действий:

Нанесение нескольких точек;

Наблюдение -- все построенные точки расположены на одной прямой, поведение этой прямой;

Проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значение функций, наносим точку на координатную плоскость -- она принадлежит построенной прямой. Отсюда уже делаем вывод о графике данной линейной функции.

С помощью этого способа мы приводим к пониманию того, что график и любая линейная функция -- прямая, т.е. К выделению некоторого общего свойства класса линейных функций. Однако последовательное проведение этого приема требует большого времени и не может быть проделано более нескольких раз. Поэтому общее свойство будет при этом формироваться на основе определенных примеров.

Второй способ -- по двум точкам. Этот способ предполагает знание соответствующего свойства графиков линейных функций. Выявление новых свойств здесь не происходит, поскольку внимание, как и при первом способе, сосредоточивается на конкретной функции из класса.

В обучении происходит последовательная смена этих способов: когда общее свойство графиков усвоено ( при рассмотрение первого способа), начинают применять второй способ -- он экономнее и обоснован геометрически.

Для того чтобы изучить класс линейных функций в совокупности его общих свойств, необходимо поставить новую для учащихся познавательную задачу: исследовать класс функций у=kх+b в зависимости от параметров, установить геометрический смысл параметров. Эта задача возникает сразу же вслед за введением понятия функции. Наиболее естественный прием, который может быть применен, состоит в рассмотрении одновременно нескольких функций, у которых один из параметров изменяется, а другой остается постоянным. Простейшая система, реализующая этот прием, состоит из четырех заданий с их последующим анализом и установлением связей между ними.

Пример: Постройте график функций:

у=0,5x; y=0,5x+0,5; y=1,5x; у=1,5x+0,5

Основная часть работы начнется после построения графиков. Их нужно сравнить, обращая внимание на особенности графиков в зависимости от числовых значений коэффициентов. Опишем, например, методику выяснения геометрического смысла коэффициентов при переменной.

Следует обратить внимание на то, что графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс одинаковые углы, это же имеет место и для графиков (в) и (г). Кроме того, графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс меньшие углы, чем (в) и (г). С другой стороны, коэффициенты при переменной в формуле для первой и второй функций одинаковы и меньше, чем соответствующие коэффициенты у третьей и четвертой функций. Можно после этого сформулировать вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента, ввести термин «угловой коэффициент» и привести несколько закрепляющих упражнений.

Значительные трудности представляет случай отрицательных значений углового коэффициента; для него требуется отдельная работа, построенная аналогичным образом.

Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и неравенствами.

Первой из этого класса функций, в значительной степени еще вне изучения собственного класса, рассматривается функция у=. Свойства этой функции во многом отличаются от рассмотренного ранее случая линейных функций. Прежде всего, эта функция немонотонна; только на этом этапе у учащихся появляется пример функции, отличной от линейных, которые монотонны на всей области определения. Чтобы подчеркнуть указанное отличие, полезно предложить учащимся следующее задание: функция задана формулой у= на промежутке -2?х?3. Найти множество значений этой функции. Перенося свойство монотонности с класса линейных функций на функцию у=, учащиеся часто делают ошибку, приводя ответ: промежуток 4?x?9. Эта ошибка для своего устранения требует рассмотрения графика функции у=.

Другое отличие состоит в том, что характер изменения значений функции у= неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других -- медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один -- в крупном масштабе на промежутке,. -1?x?1, другой--в мелком масштабе на промежутке, например, -3?х?3. Построение можно вести описанным выше методом загущения. Важно отметить свойство параболы - симметричность относительнооси абсцисс; в дальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций, причем именно функция у = будет ведущим примером функции этого класса.

Наиболее существенное применение, эта функция имеет при рассмотрении понятия иррационального числа. Первый пример иррационального числа (-v2) может быть введен различными способами, но независимо от этого необходимо объяснить его связь с графическим методом решения уравнения =2.

Изучение класса квадратичных функций начинается с изучения функций вида у=а; при этом выясняется геометрический смысл коэффициента а. Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид у=а+с. И здесь также коэффициент с получаетясную геометрическую интерпретацию, подойти к которой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль оси ординат, либо независимым рассуждением.

Пример 6. Задан график функции у=. Построить на этом чертеже график функции у=+1.

Заметим, что при заданном значении аргумента хо (рассматриваются, конечно, конкретные значения) значения функции у=+1 на одно и то же число, равное 1, больше значений функции у=. Поэтому для построения соответствующей точки на графике второй функции достаточно поднять на 1 точку графика первой функции с абсциссой Хо. Следовательно, чтобы построить весь график второй функции, нужно поднять на 1 график первой.

Это рассуждение хорошо усваивается учащимися, целесообразно применить его и при изучении класса линейных функций. В дальнейшем при обобщении свойств графиков его можно сформулировать так: «Чтобы построить график функции у=f(x)+с по известному графику функции у=f(х), можно произвести параллельный перенос второго графика на с единиц вдоль оси ординат».

После этой подготовки, казалось бы, можно приступить к изучению графиков произвольных квадратичных функций. Но здесь возникает трудность: коэффициент при первой степени неизвестного не имеет для квадратичной функции у=а+bх+с достаточно простого геометрического смысла. Именно поэтому приходится идтиобходным путем, следуя тем же преобразованиям, которые производились при выводе формулы решения квадратного уравнения, и вводить в рассмотрение новый подкласс квадратичных функций вида у=. Объяснения при построении графиков здесь в целом могут быть такими же, как при рассмотрении функций вида у=+с, однако усваивается предлагаемый способ здесь с большим трудом, поэтому требуется достаточное количество упражнений для закрепления. После таких приготовлений построение графика, а также изучение его свойств происходят без принципиальных затруднений.

Отметим здесь один частный, но полезный прием, который состоит в использовании системы заданий, имеющих цель -- дать представление о тех или иных чертах данной функции или целого класса без указания точного значения величин, связанных с рассматриваемым вопросом. Этот прием можно назвать качественным или оценочным исследованием функции.

Методические особенности изучения степенной и показательной

Изучение темы «Показательная функция» в курсе алгебры и начала анализа предусматривает знакомство учащихся с вопросами:

Обобщение понятия о степени; понятие о степени с иррациональным показателем; решение иррациональных уравнений и их систем; показательная функция, ее свойства и график; основные показательные тождества:

тождественные преобразования показательных выражений; решение показательных уравнений, неравенств и систем; понятие об обратной функции; функция, ее свойства и график;

Рассматриваются свойства и график показательной функции. Систематизация свойств указанной функции осуществляется в соответствии с принятой схемой исследования функций. Приведен краткий обзор свойств степенной функции в зависимости от различных значений показателя.

Особое внимание уделяется показательной функции как той математической модели, которая находит наиболее широкое применение при изучении процессов и явлений окружающей действительности. Рассматриваются примеры различных процессов (например, радиоактивный распад, изменение температуры тела); показывается, что решение дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы, является показательная функция. В связи с этим для показательной функции дается формула производной, вывод которой проводится с привлечением интуитивных представлений учащихся.

В ходе изучения свойств показательной функцией учащиеся систематически решают простейшие показательные уравнения и неравенства, а также иррациональные уравнения. По мере закрепления соответствующих умений целесообразно также предлагать им уравнения и неравенства, сводящиеся к простейшим в результате несложных тождественных преобразований.

Появление вычислительной техники в школе открыло возможности, которые связаны с интеграцией новых информационных технологий в учебный процесс по различным школьным предметам. В настоящее время применение различных видов прикладного программного обеспечения носит преимущественно эпизодический характер.

Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени . Можно построить функцию: область определения которой - множество действительных чисел, необходимо ввести определение, степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа б: r1< б< r2. Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех ar1 и наименьшим среди всех ar2, которое можно считать значением aб.

Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=ax, называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(ax)=R; E(ax)=RТ , ax возрастает при a>1 и axубывает при 0<a<1; напоминаются основные свойства степеней. Таким образом показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени.

В качестве приложения свойств показательной функции рассматриваются решения простейших показательных уравнений и неравенств.

Основным мотивом введения показателей является выполнение свойств степеней.

Такое рассмотрение приводит к ограничениям. Подход достаточно естественный и мотивированный, но только до момента рассмотрения степени с рациональным показателем.

Введению степени с рациональным показателем в школьном курсе математики предшествует рассмотрение действий с корнями. Уже на этом этапе проявляются разногласия автором различных учебников и учебных пособий по математике. Большинство из них определяют корень n - ой степени из положительного числа для всех (например, «Математика в понятиях, определениях и терминах» из серии «библиотека учителя математики», учебники по математике К.О.Ананченко и др.). Авторы же учебного пособия по алгебре для 11 класса дают следующее определение.

Пусть k - целое число, n - натуральное число, не равное 1. Степенью положительного числа с рациональным показателем называется положительный корень n - ой степени из числа .

Такие разногласия вряд ли желательны, поэтому учителю приходится объяснять, что при n=1 получаем равенство.

Возникает также правомерный вопрос: почему степень с рациональным нецелым показателем определяется только для положительного числа. Возникает мысль, что можно было бы разделить рациональные не целые показатели на две группы: p - целое число, q - натуральное нечетное число и вторая группа - p - целое число, q - натуральное нечетное число, и получить различные ограничения на переменную , например, , где , но , где не понятно, почему .

Учащимся можно пояснить, что без ограничения невозможно бы провести цепочку преобразований, например, следующих: .

Такие пояснения делают для учащихся более понятным, почему при рассмотрении степени с рациональным нецелым показателем основание должно быть положительным, и при каком показателе основание может быть равным нулю. Хорошо бы также привести и графическую иллюстрацию, показать, что область определения функции - вся числовая прямая, область определения функции - множество неотрицательных чисел.

Таким образом, подводя итоги можно отметить, что изучение степенной функции - одна из наиболее сложных проблем в дидактике математики.

При построении методики изучения вопросов, связанных со степенной функцией целесообразно направлять учебную деятельность на освоение общих способов действий. Необходимо выявлять происхождение вводимых понятий с точки зрения теоретического познания основ математики. Изучение учебного материала полезно выстроить по принципу содержательного обобщения, при этом с самого начала формировать учебную деятельность как научно-теоретическую.

Глава II. Производная функция

2.1 Определение производной функции в точке

Пусть функция f (x) определена на промежутке (a; b), и - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .

Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то ипроизводная функции в этой точке не существует.

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

2.2 Использование производной при исследовании функций, построение графиков

Изучение темы «Применение производной к исследованию функций» требует знания некоторых определений и теорем, которые изучались ранее. Эти сведения следует повторить до изучения темы: понятия возрастания и убывания функции на множестве, определение производной, ее геометрический смысл, в связи с этим - понятия касательной, углового коэффициента прямой, условие параллельных прямых.

В ходе решения задач ученикам понадобится находить производные функций, пользоваться известными графиками для построения графиков других функций. Повторить нужно и метод интервалов. Наконец, для усвоения понятия экстремума функции и доказательства соответствующих теорем надо вспомнить определение предела функции. Поскольку в дальнейшем обучении будет идти речь о необходимых и достаточных условиях, и эти понятия должны быть усвоены учащимися.

Одно из основных применений производной в школьном курсе алгебры и начал анализа ? это исследование функций, в частности нахождение промежутков возрастания и убывания. Программой по математике сформулированы требования к усвоению этого материала ? учащиеся должны уметь находить промежутки возрастания (убывания) функций.

Для подготовки к сознательному усвоению формулируемого в теме достаточного признака возрастания (убывания) функции (до его введения) полезно рассмотреть учащимися геометрические иллюстрации, на которых показаны графики функции, имеющих разный характер изменения, а также касательные в точках, принадлежащих к промежуткам возрастания и промежуткам убывания функций. Анализируя расположение касательных по отношению к оси абсцисс (угол наклона) и определяя тем самым знаки значений производной, учащиеся подводятся к самостоятельному формулированию требуемых признаков.

Достаточный признак возрастания функции. Если в каждой точке интервала f, то функция f возрастает на t.

Достаточный признак убывания функции.Если в каждой точке интервала f, то функция f убывает на t.

Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа. график функция производная

Учащимся необходимо разъяснить наглядный смысл признаков, который приводится из физических рассуждений.

Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату . Тогда скорость этой точки в момент времени t равна . Если в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. Если , то . Это означает, что функция f возрастает на промежутке t.

Теоретический материал этой темы составляет основу получения общего метода решения большого класса задач ? задач на нахождение экстремумов функций. На этапе, где рассматривается общая схема исследования функции, у учащихся еще не было метода нахождения точек экстремума. В данной теме рассматривается необходимый признак экстремума (Теорема Ферма) и достаточный признак максимума и минимума. После изучения темы каждый учащийся должен уметь находить экстремумы функций.

Для активного восприятия учащимися нового материала целесообразно повторить понятие точек экстремума и понятия экстремума.

Используя таблицу с рисунками (графиками функций), с помощью системы наводящих вопросов можно подвести учащихся к самостоятельному формированию признаков максимума и минимума функций:

Укажите точки максимума и минимума функций.

Определите знак значений производной функции в промежутке слева от точки максимума (минимума).

Определите знак значения производной функции в промежутке справа от точки максимума (минимума).

Как меняется знак производной при прохождении через точку максимума (минимума)?

Рассмотрим определение критической точки:

Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых она равна нулю или не существует, называют критическими точками этой функции.

Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции. Рассмотрим соответствующее утверждение, его называют теоремой Ферма.

Необходимое условие экстремума. Если точка является точкой экстремума функции f, то она равна нулю: .

Важно отметить, что теорема Ферма лишь необходимое условие экстремума: из того, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке не имеет.

Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремумов функции требуется в первую очередь найти ее критические точки. Но как видно из рассмотренных примеров, вопрос о том, действительно ли данная критическая точка есть точка экстремума, требует дополнительного исследования. При этом часто помогают такие достаточные условия существования экстремума в точке.

Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке , а на интервале и на интервале , то точка является точкой максимума функции f.

Учащимся удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума.

Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке , на интервале и на интервале , то точка является точкой минимума функции f.

Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке производная меняет знак с минуса на плюс, то есть точка минимума.

С учащимися необходимо рассмотреть тему на наибольшее и наименьшее значение функции, обращая особое внимание на тот факт, что наибольшее (наименьшее) значение функции не является максимумом (минимумом) функции.

Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрезке функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение, т. е. существуют точки отрезка , в которых f принимает наибольшее и наименьшее на значения. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

3. Применение общей схемы к исследованию функций.

Теоретический материал, который требуется для изучения исследований функций с помощью производной уже известен учащимся. В данной теме фактически систематизируются знания учащихся, относящиеся к вопросам нахождения промежутков возрастания (убывания) и экстремумов, показывается общий метод получения результатов. Таким образом, изучение этой темы завершает рассмотрение теоретических вопросов, связанных с исследованием функций. Все положения, которые нужно отразить в решении задания на исследование, имеют теоретические обоснования, общие методы решения.

В ходе изучения этой темы учащиеся должны научиться проводить исследование функций по общей схеме и строить их графики. Построения графика функции необходимо начинать с исследования функции, которое состоит в том, что для данной функции:

Находят ее область определения.

Выясняют, является ли функция f четной или нечетной, является ли периодической.

Точки пересечения графика с осями координат.

Промежутки знакопостоянства.

Промежутки возрастания и убывания.

Точки экстремума и значения f в этих точках.

Исследуют поведение функции в окрестности «особых» точек при больших по модулю x.

На основании такого исследования строится график функции. Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции f и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума.

Пример. Исследуем функцию и построим ее график.

Проведем исследование по ранее указанной схеме.

D ( f )= R, так как f -- многочлен.

Функция f не является ни четной, ни нечетной.

График f пересекается с осью ординат в точке чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение , один из корней легко найти . Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Промежутки знакопостоянства не находим.

Найдем производную функции f.

поэтому критических точек, для которых не существует, нет.

Заметим, что , если , т.е. при значениях аргумента, равных 0,-1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки.

Составим таблицу:

x	(-?;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;?)
	+	0	-	0	-	0	+
		4		2		0
max	min

В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции. Критическая точка равная 0 функциине является точкой экстремума

Строим график функции. Строить его удобно по промежуткам, которые указаны в таблице.

Заключение

При любом подходе к понятию функции все выше перечисленные компоненты присутствуют в процессе обучения алгебре, но акцент может быть сделан на одном из них. Как только что мы отметили, функциональный компонент является основой введения и изучения понятия функции. На этой основе при организации работы над определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных способах задания функциональной зависимости и ее графического представления. Рассматриваются свойства функций , характеризуйются различные подходы и основные аспекты в изучении функций. Тщательно рассматриваются все определения, прорешиваются примеры, с помощью которых идет усвоение нового материала. Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени . подводя итоги можно отметить, что изучение степенной функции - одна из наиболее сложных проблем в дидактике математики.

При построении методики изучения вопросов, связанных со степенной функцией целесообразно направлять учебную деятельность на освоение общих способов действий. Необходимо выявлять происхождение вводимых понятий с точки зрения теоретического познания основ математики. Изучение учебного материала полезно выстроить по принципу содержательного обобщения, при этом с самого начала формировать учебную деятельность как научно-теоретическую.

Также рассмотрена методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной. Нами выполнен анализ содержания стандарта среднего (полного) общего образования по математике, учебника Алгебра и начала анализа. В работе показано применение общей схемы к исследованию функций.

Размещено на Allbest.ru