Физический смысл производной
Понятие производной по аналогии с мгновенной скоростью. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Скорость изменения функции в заданной точке. Прямолинейное движение материальной точки.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.02.2017 |
| Размер файла | 73,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Физический смысл производной
Чтобы понять, что такое производная, проведем аналогию с мгновенной скоростью. Рассмотрим материальную точку, которая движется по прямой с переменной скоростью. Поскольку скорость точки все время меняется, мы можем говорить о ее скорости только в данный момент времени. Чтобы найти скорость точки в момент времени , рассмотрим маленький промежуток времени ?t . За этот промежуток времени точка пройдет расстояние ?S .
Тогда скорость точки будет примерно равна . Чем меньше промежуток времени ?t мы будем брать, тем точнее значение скорости мы получим. В пределе, при ?t 0, мы получим точное значение мгновенной скорости в момент времени
Аналогичным образом введем понятие производной.
Рассмотрим произвольную функцию f (x) и зафиксируем точку. Значение функции в этой точке равно f.
Возьмем приращение аргумента ?x.
Значение функции в этой точке равно f?(+.Получим приращение функции
)
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Физический смысл производной. Итак, мы видим, что по аналогии с мгновенной скоростью, производная функции в точке . показывает скорость изменения функции в этой точке.
Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию S(x), то, чтобы найти скорость тела в момент времени , нужно найти значение производной функции S(x) в точке
Пример 1 мгновенный скорость приращение аргумент
Материальная точка движется прямолинейно по закону, где x(t)-- расстояние от точки отсчета в метрах, t -- время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9c .
Решение.
1. Найдем производную функции
2. Найдем значение производной в точке t=9:
Ответ: 60 м/с.
Пример 2.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
,
где x(t) -- расстояние от точки отсчета в метрах, t-- время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Решение.
Если нам известна скорость точки в некий момент времени , следовательно нам известно значение производной в точке .
Найдем производную функции
По условию, скорость точки равна 3 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 3.
Получаем уравнение:
Отсюда
Ответ: 8
Пример 3.
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x(t)-- расстояние от точки отсчета в метрах, t-- время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Решение.
Найдем производную функции
По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 2.
Получаем уравнение:
Решим его:
- не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным.
Ответ :7
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.
презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014Сущность конформного отображения 1 и 2 рода, аналитической функции в заданной области. Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции. Величина коэффициента растяжения в точке. Сохранение функции отличной от нуля по величине и напряжению.
презентация [83,3 K], добавлен 17.09.2013Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Геометрический и механический смысл приращения функции. Правило дифференцирования, критические точки, экстремум; интегрирование.
презентация [575,4 K], добавлен 11.09.2011Понятие производной, правила её применения, геометрический и физический смысл производной. Применение производной в науке и технике и о решении задач в этой области. Актуальность дифференциального исчисления в связи с научно-техническим прогрессом.
реферат [458,8 K], добавлен 17.05.2009Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
презентация [282,0 K], добавлен 14.11.2014Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014Задача на нахождение модуля и аргумента заданных чисел, пример решения. Область дифференцируемости заданной функции, действительная часть производной. Правило для определения уравнения образа кривой. Нахождение действительной и мнимой части функции.
методичка [693,0 K], добавлен 21.12.2011Понятие предела функции и основные требования, предъявляемые к нему, геометрический смысл. Методика определения данной геометрической категории в заданной точке при различных условиях. Вычисление ординат графиков. Возрастание по абсолютной величине.
презентация [902,2 K], добавлен 21.09.2013
