Вероятность случайного события

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тихоокеанский государственный университет».

Кафедра прикладной математики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Дисциплина «Математика»

Вариант № 8

Выполнил: студент группы ФК(б)з - 51

Специальность: экономика

№ зачетной книги: 150000578

ФИО: Филимонова Валентина Александровна

Хабаровск 2016



Задание №1

Найти вероятность случайного события, используя формулу классической вероятности.

8. В гостинице 12 одноместных номеров. В холле ожидают 22 человека, 4 из которых женщины. Найти вероятность, что все женщины получат одноместные номера.

Решение:

Обозначим через событие А, что все женщины получат одноместные номера. Всего случаев n=4, благоприятных событию А. M=12, следовательно по формуле

Р(А) = m/n,

вероятность равна Р(А) = 12/4 = 3

Ответ: Р(А) = 3

Задание №2

Используя формулу полной вероятности, найти вероятность события.

8. В первой коробке 20 деталей, 3 из них с браком. Во второй коробке 15 деталей, 2 из них с браком. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика -- без брака.

Решение:

Рассмотрим следующие события:

А -- деталь окажется стандартной;

Н₁ -- деталь из первой коробки;

Н₂ -- деталь из второй коробки.

Вероятность события А вычисляем по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(А/Н₁) Р (Н₁) + Р(А/Н₂) Р (Н₂)

Р(А) = 20/3 х 3 + 15/2 х 2 = 19,8 + 15 = 34,8

Ответ: Р(А) = 34,8

Задание №3

Найти вероятность события, используя формулы схемы Пуассона.

8. Вероятность отказа элемента -- 0.2. Какова вероятность, то из 100 независимых элементов откажет не более 10?

Решение:

Обозначим через событие А, что из 100 независимых элементов откажет не более 10.

Всего случаев n = 100

? = p х n

? = 0.2 х 100 == 20

Вероятность события А вычисляем по формуле схемы Пуассона:

Р(А) = = е^-20 (++++++++++= е^-20 (1+20+200+6800+115555+ 88888 + 4232804= 2,06 (10^-9 х 5244268) = = 0,00423

Ответ: 0,004



Задание №4

Составить закон распределения случайной дискретной величины Х. Построить функцию распределения F(x). Найти М(х), D(x), ?(Х), р(Х?М(Х))

8. Среди 20 деталей имеются 5 нестандартных. Наугад отобраны 3 детали. Найти закон распределения величины Х - числа нестандартных деталей среди отобранных.

Решение:

Всего стандартных деталей: 20-5 = 15

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей нет нестандартных.

1. Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей одна нестандартная.

Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 20:

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию:

а) одну деталь среди 5 нестандартных можно выбрать способами, количество которых равно:

б) Остальные 2 стандартные детали можно выбрать из 15 стандартных:



Аналогично:

2. Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей 2 нестандартных.

3. Найдем вероятность того, что все выбранные детали нестандартныее.

Математическое ожидание находим по формуле m = ?x_ip_i.

Математическое ожидание M[X].

M[x] = 0*0.399 + 1*0.461 + 2*0.132 + 3*0.008 = 0.749

Дисперсию находим по формуле d = ?x²_ip_i - M[x]².

Дисперсия D[X].

D[X] = 0²*0.399 + 1²*0.461 + 2²*0.132 + 3²*0.008 - 0.749² = 0.5

Среднее квадратическое отклонение у(x).

Функция распределения:

Найдем вероятность : р (х ? М(Х)) , т.к M(x)= 0,75

р (х ? 0,75))=1- p(x=0) = 1 - 0.399 = 0.601

Задание №5

Используя нормальный закон, найти вероятность события.

8. Рост мужчины - случайная величина, распределённая по нормальному закону с M(X) = 170 см и s(X) = 5 см. Определить вероятность того, что из 5 обследуемых мужчин рост 3 из них будет в пределах от 172 до 176 см.

Решение:

Пусть случайная величина X - рост мужчины - имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Тогда вероятность того, что её значение попадёт в интервал , находится по формуле:

,



где - функция Лапласа (нечётная функция, значения которой берутся из таблицы).

В данной задаче:

см, см.

Найдём вероятность того, что рост случайно выбранного мужчины будет в пределах от 172 до 176 см:

Тогда вероятность того, что рост случайно выбранного мужчины будет меньше 172 см или больше 176 см:

Вероятность того, что при обследовании -и мужчин ровно у из них рост будет в пределах от 172 до 176 см, вычислим по формуле Бернулли:

;

.

Ответ: вероятность того, что из 5 обследуемых мужчин рост 3 из них будет в пределах от 172 до 176 см, равна 0,07177



Задание №6

Выдвинуть гипотезу о виде закона распределения и проверить её с помощью критерия хи-квадрата Пирсона.

8. Для исследования потока заявок на производимую продукцию на предприятии измерили интервалы между 100 последовательно поступившими заявками. Результаты сведены в таблицу.

Длительность интервала	От 0 до 1	От 1 до 2	От 2 до 3	От 3 до 4	От 4 до 5
Число интервалов данной длительности	70	19	6	1	4

Решение:

По заданному распределению выборки построим гисторграмму частот.

По виду гистограммы делаем предположение о показательном распределении случайной величины X.

Если случайная величина X имеет показательное распределение, то её плотность вероятности имеет вид:

Составим функцию правдоподобия для случайной величины X:

где - наблюдаемые значения случайной величины 0058ч;

- параметр показательного распределения;

- объём выборки.

Для удобства дальнейших вычислений прологарифмируем функцию правдоподобия: вероятность пирсон дискретный гипотеза

.

Найдём значение параметра , при котором функция правдоподобия принимает максимальное значение:

;

;

;

.(1)



Найдём оценку параметра по выборочным данным, используя формулу (1). Поскольку выборочные данные представлены в виде сгруппированного интервального ряда, то в вычислениях будем использовать середины интервалов . При этом формула (1) примет вид:

,

где - середина i-го интервала;

- частота i-го интервала;

- число интервалов.

В данном случае имеем:

;

;

;

.

Запишем предполагаемую плотность распределения случайной величины X:

Проверим гипотезу о законе распределения выборочных данных с помощью критерия Пирсона.

Уровень значимости выберем .

Теоретические частоты известны (из условия задачи).

Экспериментальные частоты определим по формуле:

,

где ;

- нижняя граница -го интервала;

- верхняя граница -го интервала (для последнего интервала примем ).

Расчёт экспериментальных частот представим в таблице 1:

Таблица 1

1	0	1	1,0000	0,3679	0,6321	63,21
2	1	2	0,3679	0,1353	0,2325	23,25
3	2	3	0,1353	0,0495	0,0853	8,53
4	3	4	0,0495	0,0183	0,0318	3,18
5	4	+ ?	0,0183	0,0000	0,0183	1,83
?	?	?	?	?	1,0000	100,00

Теперь вычислим по экспериментальным данным статистику :

.

Расчёт представим в таблице 2 (интервалы 4 и 5 объединим, чтобы выполнялось условие ):



Таблица 2

№ интервала
1	70	63,21	6,79	0,729
2	19	23,25	-4,25	0,777
3	6	8,53	-2,53	0,750
4	5	5,01	-0,01	0,000
?	100	100,00	0,00	= 2,257

Найдём по таблице распределения Пирсона критическое значение статистики при уровне значимости и числе степеней свободы ( ? число интервалов; ? число параметров, вычисленных по опытным данным):

;

.

Поскольку , то гипотезу о показательном распределении случайной величины X принимаем на уровне значимости .

Таким образом, с вероятностью 0,95 случайная величина X - интервал времени между двумя последовательно поступившими заявками - имеет плотность распределения:

Размещено на Allbest.ru