Проверка гипотезы о законе распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Кафедра «Системный анализ и управление»

Отчет по лабораторной работе №2

«Проверка гипотезы о законе распределения»

Нижний Новгород

2016

Цель работы: проверить гипотезу о нормальном законе распределения для функции времени наработки на отказ.

Исходными данными для проверки гипотезы нормального распределения является гистограмма лабораторной работы №1.

Исходные данные:

Параметры генерации случайных чисел:

Число переменных - 1;

Число случайных чисел - 1000;

Распределение нормальное;

Среднее значение - 94;

Стандартное отклонение - 28;

Число выборок - 130;

Рис. 1

Где x-правая граница интервалов, а ni- число элементов выборки, попавших в i -й интервал; i = 1,2, к.

Интервалы от 23,5 до 38,69 и от 38,69 до 53 пришлось изменить, объединив в один, т.к. число событий в них было меньше 4.

Порядок выполнения работы.

Проверка гипотезы о виде распределения

Проверка гипотезы о виде распределения строится на основе нулевой гипотезы о том, что случайная величина X имеет заданную функцию распределения F(x). Выборка х,, х2, хп разбивается на к интервалов. Пусть nt -- число элементов выборки, попавших в i -й интервал; i = 1,2, к. Используя предполагаемый закон распределения с учетом оценок параметров этого закона (среднее и среднеквадратичное отклонение), найденных по выборке, можно найти вероятность pi попадания случайной величины X в i-й интервал. Для проверки рассматриваемой гипотезы используется статистика

закон распределение величина интервал

которая распределена по закону хи-квадрат с числом степеней свободы (к -- l -- 1), где l -- число неизвестных параметров распределения, оцениваемых по выборке: например, для нормального распределения 1=2, так как оцениваются два параметра т и у. Нулевая гипотеза не противоречит опытным данным, если выборочное значение статистики не превышает квантили распределения хи-квадрат (к -- l -- 1). Рассмотренный метод проверки гипотезы о виде распределения называется критерием согласия хи-квадрат.

Расчет частоты Npi.

Вычисляются через вероятности попадания нормально распределенной величины в соответствующий интервал:

где функция стандартного нормального распределения Ф() вычисляется с помощью встроенной статистической функции НОРМРАСП.

Рис. 2

Аргументы этой функции х -- правая граница интервала, вводится адрес соответствующей ячейки; т (среднее) и стандартное отклонение вводятся абсолютные адреса характеристик, полученных с помощью Описательной статистики; значение интегральный = 1 (истина), в противном случае (ложь) вычисляется не функция распределения, а его плотность.

Определение величины критерия хи-квадрат.

В ячейке ХИ2РАСЧЕТ определена величина критерия хи-квадрат как сумма ячеек столбца Расчет.

Х - правые границы интервалов;

n - частоты;

F(x) - функция нормального распределения НОРМРАСП (х, среднее, ст. откл). Расчет F(x) производится для всех интервалов кроме последнего;

р - вероятность. В первом диапазоне р1 = F(x1). В диапазоне со 2 по 6 интервал вероятность определяется по формуле рi = F(xi) - F(xi-1). Для последнего интервала вероятность определяется по формуле р7 = 1 - F(x6). Правильность расчета частот проверяется суммирование данного столбца. Сумма должна равняться 1.

Np - расчетная частота определяется по формуле N*p, где N - объем выборки. Сумма столбца Np должна равняться N.

Расчет - по формуле . Сумма в столбце «Расчет» равна расчетное значение статистики хи-квадрат.

ХИ2ОБР - критическое значение статистики хи-квадрат.

Граница критической области -- квантиль распределения хи-квадрат может быть найдена с помощью встроенной функции ХИ20БР (вероятность, степени свободы). Аргумент вероятность -- это уровень значимости (а = 0,05), а степени свободы к -- l -- 1 определяются как количество интервалов за вычетом количества оцениваемых параметров (здесь -- два: т и у) минус единица. В данном примере степень равна 9-2-1=6/(k=6; l=2).

Рис. 3

Вывод

Гипотеза о нормальности распределения принимается, если выборочное значение статистики ХИ2РАСЧ окажется меньше критического ХИ20БР. В данном случае ХИ2РАСЧ=15,2266, а ХИ2ОБР=12,59159. ХИ2РАСЧ>ХИ2ОБР, следовательно, гипотеза о нормальности распределения не принимается.

Размещено на Allbest.ru