Застосування диференціального числення функцій однієї змінної

Визначення розмірів поперечного перерізу балки при заданій її формі та розмірах. Розкладення функції за формулою Маклорена. Знаходження границі з використанням правила Лопіталя. Знаходження найменшого і найбільшого значення функції на заданому проміжку.

Рубрика Математика
Вид творческая работа
Язык украинский
Дата добавления 28.02.2017
Размер файла 363,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Вінницький державний педагогічний університет

імені Михайла Коцюбинського

Інститут математики, фізики і технологічної освіти

Кафедра математики та інформатики

Творче завдання на тему:

«Застосування диференціального числення функцій однієї змінної»

Виконала студентка 1 АМ групи

Ігнатко Віта Василівна

Вінниця 2016

Завдання №1. Геометрична задача

З корабля, який стоїть на якорі в 9 км від берега, треба послати гінця в табір, розміщений в 15 км від найближчої до корабля точки берега. Швидкість посильного при русі пішки - 5 км/год, а на човні - 4 км/год. В якому місці він повинен пристати до берега, щоби попасти в табір у найкоротший час?

Розв'язання:

К - корабель,

Б - берег,

Т - табір,

Припустимо, що береговою лінією є пряма. Відстань від корабля до найближчої точки берега - це перпендикуляр, опущений на берегову лінію - КБ. Точка М - місце, в яке повинен пристати гінець, щоб попасти в табір у найкоротший час. БТ=15 км, КБ= 9 км, БМ= х, МТ= (15-х) км.

Весь час (від корабля до табору ) обчислюється за формулою:

Так як КМ - це гіпотенуза прямокутного трикутника КБМ, то КМ= , тоді

Час повинен бути найменшим, найменше значення цієї функції буде в точці, де її похідна рівна нулю. Знайдемо ).

;

5x=;

x=12.

На відрізку при x=12 функція набуває найменшого значення.

БМ=12 км, МТ=3км.

Отже, гінець повинен пристати до берега в 3 км від табора.

Відповідь: 3 км від табора.

Завдання №2. Фізична задача

Колода довжиною 10 м має форму зрізаного конуса, діаметри основ якого дорівнюють 50 і 30 см. Потрібно вирізати з колоди балку з прямокутним перерізом, вісь якої співпадала б з віссю колоди і об'єм якої був би найбільшим. Якими мають бути розміри поперечного перерізу балки?

Розв'язання:

Розглянемо переріз колоди.

Об'єм колоди

Розглянемо трикутник АВС, з якого знайдемо АВ

Із трикутника АМК

Із трикутника АВС

Знайдемо похідну об'єму

;

Знайдемо другу похідну

а це означає, що при об'єм буде максимальним. При цьому .

Отже, довжина колоди

Відповідь:

Завдання № 3. Розкласти за формулою Маклорена функцію f x

Розв'язання

Функція розкладається за формулою:

Отже,

Завдання №4. Знайти границю, використовуючи правила Лопіталя

Розв'язання:

Відповідь: 0

Завдання №5. Знайти найменше і найбільше значення функції на заданому проміжку

функція розмір маклорен лопіталь

, .

Розв'язання:

Або

Розглянемо перший випадок:

Знайдемо критичні точки.

;

;

;

;

Розглянувши другий випадок, коли , то одержимо ті ж самі критичні точки:

Обчислимо значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка

y(-2)=-58;

Серед знайдених значень на відрізку

.

Відповідь:

Завдання №6. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік:

Розв'язання:

1) Знайдемо область визначення функції:

.

2) Дослідимо функцію на неперервність та парність та періодичність.

Дана функція неперервна на всій області визначення, ні парна, ні непарна, періодична

, для Т=2р

3) Знайдемо асимптоти кривої:

а)Похилі асимптоти

- дві горизонтальні асимптоти

б) Вертикальних асимптот немає, бо функція неперервна на всій числовій прямій.

4) Точки перетину кривої з осями координат.

Oy: y=.

Точка(0;)є точкою перетину з віссю Oy

Ox: y=0

Розв'язавши це рівняння отримаємо,що

x=,n.

5)Дослідимо функцію на монотонність та екстремуми.

Знайдемо похідну функції

Розв'язавши це рівнняння, знайдемо його корені

- екстремуми функції.

Знайдемо інтервали, де функція зростає і спадає, а також мінімуми і максимуми функції, для цього дивимось як веде себе функція в екстремумах при найменшому відхилені від екстремума:

Мінімуми функції в точках:

Максимуми функції в точках:

+ - +

x

Отже,

на - функція спадає

на( - функція зростає

6) Дослідимо функцію на опуклість і знайдемо точки перегину

Знайдемо другу похідну

Розв'язавши це рівнняння, знайдемо його корені

- точки перегину.

- + -

x

- точки перегину.

Отже,

на - функція опукла вгору

на( - функція опукла вниз

7) Дослідивши функцію, побудуємо її графік.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Сутність фізичного та геометричного змісту похідної, особливості його використовування у математичних задачах. Означення диференціалу, формула його обчислення. Екстремуми функцій двох змінних. Правила знаходження найбільшого і найменшого значення функції.

    презентация [262,6 K], добавлен 20.05.2015

  • Коротка біографія видатного математика Б. Тейлора. Тейлорова формула із залишковим членом у формі Пеано та у Лагранжовій формі. Розвинення деяких елементарних функцій за формулою Тейлора. Формула Тейлора для многочлена та для функції однієї змінної.

    курсовая работа [547,0 K], добавлен 20.05.2015

  • Похідна як основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції, границя відношення приросту функції до приросту аргументу. Приклади знаходження похідної за визначенням. Похідні вищих порядків, геометричний зміст похідної.

    презентация [49,6 K], добавлен 16.02.2011

  • Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя. Правило Лопіталя. Наслідок. Приклад. Розкриття невизначеностей виду. Правило Лопіталя - правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0.

    реферат [53,0 K], добавлен 11.04.2006

  • Поняття диференційованості функції в даній точці, основні формули. Диференціал функції однієї змінної, його застосування. Основні означення, які відносяться до функції кількох змінних. Похідна алгебраїчної суми скінченного числа диференційованих функцій.

    реферат [101,8 K], добавлен 02.11.2015

  • Означення та приклади застосування гармонічних функцій. Субгармонічні функції та їх деякі властивості. Розв’язок задачі Діріхле з використанням функції Гріна. Теореми зростання та спадання функції регулярної в нескінченній області (Фрагмена-Ліндельофа).

    курсовая работа [349,0 K], добавлен 10.09.2013

  • Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.

    контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012

  • Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Перетворення і передавання інформації. Булеві функції змінних, їх мінімізація. Реалізація функцій алгебри логіки на дешифраторах. Синтез комбінаційних схем на базі мультиплексорів.

    курсовая работа [3,2 M], добавлен 02.09.2011

  • Таблиця основних інтегралів та знаходження невизначених інтегралів від елементарних функцій. Розкладання підінтегральної функції в лінійну комбінацію більш простих функцій. Метод підстановки або заміни змінної інтегрування. Метод інтегрування частинами.

    реферат [150,2 K], добавлен 29.06.2011

  • Теоретичні відомості з курсу числення функцій однієї та багатьох змінних, наглядні приклади та вправи з розв’язанням. Тренувальні вправи для розв’язання на практичних заняттях і самостійної роботи. Зразки контрольних робіт з кожної розглянутої теми.

    учебное пособие [487,6 K], добавлен 10.04.2009

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.