Застосування диференціального числення функцій однієї змінної

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Вінницький державний педагогічний університет

імені Михайла Коцюбинського

Інститут математики, фізики і технологічної освіти

Кафедра математики та інформатики

Творче завдання на тему:

«Застосування диференціального числення функцій однієї змінної»

Виконала студентка 1 АМ групи

Ігнатко Віта Василівна

Вінниця 2016



Завдання №1. Геометрична задача

З корабля, який стоїть на якорі в 9 км від берега, треба послати гінця в табір, розміщений в 15 км від найближчої до корабля точки берега. Швидкість посильного при русі пішки - 5 км/год, а на човні - 4 км/год. В якому місці він повинен пристати до берега, щоби попасти в табір у найкоротший час?

Розв'язання:

К - корабель,

Б - берег,

Т - табір,

Припустимо, що береговою лінією є пряма. Відстань від корабля до найближчої точки берега - це перпендикуляр, опущений на берегову лінію - КБ. Точка М - місце, в яке повинен пристати гінець, щоб попасти в табір у найкоротший час. БТ=15 км, КБ= 9 км, БМ= х, МТ= (15-х) км.

Весь час (від корабля до табору ) обчислюється за формулою:

Так як КМ - це гіпотенуза прямокутного трикутника КБМ, то КМ= , тоді

Час повинен бути найменшим, найменше значення цієї функції буде в точці, де її похідна рівна нулю. Знайдемо ).

;

5x=;

x=12.

На відрізку при x=12 функція набуває найменшого значення.

БМ=12 км, МТ=3км.

Отже, гінець повинен пристати до берега в 3 км від табора.

Відповідь: 3 км від табора.

Завдання №2. Фізична задача

Колода довжиною 10 м має форму зрізаного конуса, діаметри основ якого дорівнюють 50 і 30 см. Потрібно вирізати з колоди балку з прямокутним перерізом, вісь якої співпадала б з віссю колоди і об'єм якої був би найбільшим. Якими мають бути розміри поперечного перерізу балки?

Розв'язання:

Розглянемо переріз колоди.

Об'єм колоди

Розглянемо трикутник АВС, з якого знайдемо АВ



Із трикутника АМК

Із трикутника АВС

Знайдемо похідну об'єму

;

Знайдемо другу похідну

а це означає, що при об'єм буде максимальним. При цьому .

Отже, довжина колоди

Відповідь:

Завдання № 3. Розкласти за формулою Маклорена функцію f x

Розв'язання

Функція розкладається за формулою:

Отже,

Завдання №4. Знайти границю, використовуючи правила Лопіталя

Розв'язання:

Відповідь: 0

Завдання №5. Знайти найменше і найбільше значення функції на заданому проміжку

функція розмір маклорен лопіталь

, .

Розв'язання:

Або

Розглянемо перший випадок:

Знайдемо критичні точки.

;

;

;

;

Розглянувши другий випадок, коли , то одержимо ті ж самі критичні точки:

Обчислимо значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка

y(-2)=-58;

Серед знайдених значень на відрізку

.

Відповідь:

Завдання №6. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік:

Розв'язання:

1) Знайдемо область визначення функції:

.

2) Дослідимо функцію на неперервність та парність та періодичність.

Дана функція неперервна на всій області визначення, ні парна, ні непарна, періодична

, для Т=2р

3) Знайдемо асимптоти кривої:

а)Похилі асимптоти

- дві горизонтальні асимптоти

б) Вертикальних асимптот немає, бо функція неперервна на всій числовій прямій.

4) Точки перетину кривої з осями координат.

Oy: y=.

Точка(0;)є точкою перетину з віссю Oy

Ox: y=0

Розв'язавши це рівняння отримаємо,що

x=,n.

5)Дослідимо функцію на монотонність та екстремуми.

Знайдемо похідну функції

Розв'язавши це рівнняння, знайдемо його корені

- екстремуми функції.

Знайдемо інтервали, де функція зростає і спадає, а також мінімуми і максимуми функції, для цього дивимось як веде себе функція в екстремумах при найменшому відхилені від екстремума:

Мінімуми функції в точках:

Максимуми функції в точках:

+ - +

x

Отже,

на - функція спадає

на( - функція зростає

6) Дослідимо функцію на опуклість і знайдемо точки перегину

Знайдемо другу похідну

Розв'язавши це рівнняння, знайдемо його корені

- точки перегину.

- + -

x

- точки перегину.

Отже,

на - функція опукла вгору

на( - функція опукла вниз

7) Дослідивши функцію, побудуємо її графік.

Размещено на Allbest.ru