Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Пермский государственный ГУМАНИТАРНО-педагогический университет»

Математический факультет

Кафедра высшей математики

Курсовая работа

Применение производной в решении геометрических задач

Направление 44.03.05«Педагогическое образование»

Профиль «Математика. Информатика»

Работу выполнила

студентка 121 группы

Ягафарова Эльвира Ильнуровна

Руководитель: ст.преп.кафедры высшей математики

Недре Лариса Георгиевна

Пермь

2016



Содержание

• Глава 1. Основные теоретические сведения о производной функции и её геометрическом приложении
• 1.1 Исторические сведения о производной
• 1.2 Понятие производной
• 1.3 Основные правила и формулы дифференцирования
• 1.4 Геометрический смысл производной
• 1.5 Уравнение касательной и нормали к графику функции, угол между ними
• Глава 2. Решение геометрических задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений с помощью производной
• 2.1 Планиметрические задачи
• 2.2 Стереометрические задачи
• Заключение
• Список литературы


Введение

Рассматриваемая тема является актуальной, потому что имеет широкое применение в таких областях как физика, геометрия, механика и т.д. Геометрические задачи решаются разными способами, одним из них является применение производной, суть которого заключается к сведению исследованию функции.

Производным занимались такие ученые как Г.Лейбниц, Ж.Лагранж, И.Ньютон, Г.Галилей, Р.Декарт. Термин «производная» является буквальным переводом на русский с французского слова derive , которое ввел в 1797 году Ж.Лагранж (1736-1812); он же ввел и современные обозначения. И.Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию - флюентой. Г.Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как [8].

Цель курсовой работы -разработка учебных материалов на применение производной при решении геометрических задач для проведения занятий со школьниками старших классов и студентами первого курса.

Объектом исследования являются геометрические задачи, предметом - применение производной в решении геометрических задач.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

· изучить теоретический материал по теме «Производная и её геометрические приложения»;

· проанализировать материал методической и математической литературы по теме исследования;

· составить набор планиметрических и стереометрических задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений.

В ходе работы были использованы следующие методы:

· анализ - метод познания при помощи расчленения или разложения предметов исследования на составные части;

· синтез - соединение проанализированных частей, элементов и постижение целого в его единстве;

· классификация - метод распределения объектов по классам на основе их общих признаков, сходств, различий, отражающих связи между классами объектов в единой системе;

· абстрагирование - мысленное отвлечение от несущественных свойств, связей и выделение нескольких сторон, интересующих исследователя;

· аналогия - метод, посредством которого достигается знание о предметах и явлениях на основании того, что они имеют сходство с другими.

Практическая значимость курсовой работы заключается в возможности применения разработанных материалов учителями математики в процессе обучения школьников.

Данная курсовая работа состоит из двух глав. Первая глава содержит понятия, которые необходимы для решения задач: определение производной, ее свойства и геометрический смысл. Во второй главе с помощью дифференциального исчисления решены задачи из курса геометрии.



Глава 1. Основные теоретические сведения о производной функции и её геометрическом приложении

1.1 Исторические сведения о производной

Ряд задач дифференциального счисления был решен еще в древности. Такие задачи можно найти у Евклида и у Архимеда, но само понятие производной функции возник только в 17 веке, которое ввел Ж.Лагранж, для решения задач по физике, механике и математике, в первую очередь: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой.

Первую задачу: о связи скорости и пути прямолинейно неравномерно движущейся точки впервые решил Ньютон. Он пришел к формуле

.

Свои результаты в этой области Ньютон изложил в трактате, названным им «Метод флюксий и бесконечных рядов», но его трактат был опубликован лишь посмертно в 1736 году.

В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. К своему изобретению он шел от анализа бесконечно малых величин и теории бесконечных рядов.

В 1675 году Лейбниц заканчивает свой вариант математического анализа, усердно продумывает символику и терминологию, отражающую существо дела.

В 1684 году опубликует первую печатную работу по дифференциальному исчислению, озаглавленную «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием дробные и рациональные количества, и особый для этого род исчисления» [8].

1.2 Понятие производной

Пусть функция определена в промежутке Х (рис.1). Исходя из некоторого значения независимой переменной, придадим ему приращение , не выводящее его из промежутка Х, так что и новое значениепринадлежит этому промежутку. Тогда значение функции заменится новым значением

, то есть получится приращение

Если существует предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению независимой переменной при стрeмлeнии к нулю, то есть

,

то он называется производной функции по независимой переменной при данном ее значении .

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой в этом интервале; опeрация нахождения производной функции называется дифференцированием. Производная функциив произвольной точке обозначается

[1].

1.3 Основные правила и формулы дифференцирования

Введем правила дифференцирования арифметических действий.

Пусть - функции, дифференцируемые в точке .

1)

Доказательство. Обозначим . По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

2)

Доказательство. Обозначим . Тогда

3) , если

Доказательство. Обозначим . Тогда

1.4 Геометрический смысл производной

Пусть определена на некотором промежутке (рис.2). Тогда

- тангенс угла наклона секущей к графику функции.

Рис.2

,

где - угол наклона касательной к графику

функции в точке ( - угловой коэффициент.

Таким образом, производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна [1].

1.5 Уравнение касательной и нормали к графику функции, угол между ними

Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной через точку , где (рис.3).

Прямая , проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали

Уравнение касательной к графику функции в его точке имеет вид

Углом между кривыми

к их общей точке называется угол между касательными к этим кривым в точке . Его можно вычислить по формуле

[1].



Глава 2. Решение геометрических задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений с помощью производной

2.1 Планиметрические задачи

Задача 1.Написать уравнения касательной и нормали к графику функциив данной точке, если:

[3].

Решение. Уравнение касательной будем искать по формуле ; уравнение нормали - по формуле По условию, .

.

.

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

.

Теперь находим уравнение нормали:

.

Ответ: уравнение касательной:; уравнение нормали:

.

Задача 2.Написать уравнения касательной и нормали в точке

к кривой

, [3].

Решение:

Решим уравнение

.

Подставим полученные решения в равенство

:

.

Найдем производную функции, заданной параметрически .

;

.

;

.

Подставляем все найденные значение в уравнение касательной:

Теперь находим уравнение нормали:

.

Ответ: уравнение касательной: уравнение нормали: .

Задача 3. Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые:

[3].

Решение. Угол между кривыми находится по формуле

Найдем координаты точки пересечения заданных кривых. Решаем систему уравнений:

Таким образом, кривые пересекаются в точках .

Далее найдем значения производных заданных функций в точках пересечения.

производный дифференцирование уравнение планиметрический

Подставляем найденные значение в формулу нахождения угла:

.

Следовательно, .

.

Следовательно, .

Ответ: в точке угол равен 0 (т.е. касательные совпадают), в точке угол равен .

Задача 4. Задан прямоугольник с периметром 56 см. Каковы должны быть его стороны, чтобы площадь была наибольшей [7]?

Решение.

Обозначим одну из сторон за, тогда вторая сторона:

Площадь такого прямоугольника составит:

.

Требуется найти максимум функции .

Это квадратичная функция, ее график - парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем производную:

.

Определим критические точки: .

Так, - точка экстремума, слева от нее производная положительна, а справа - отрицательна.

Очевидно, что - точка максимума. В таком случае площадь прямоугольника максимальна, когда его стороны равны 14 см, то есть когда он является квадратом.

Ответ: площадь максимальна, когда стороны прямоугольника равны 14 см.

Задача 5. Площадь прямоугольника составляет . Каковы должны быть его размеры этого прямоугольника, чтобы периметр был минимальным?[7]

Решение.

Пусть стороны прямоугольника равны . Тогда:

Периметр такого прямоугольника составит:

Требуется найти минимум данной функции. Найдём производную:

Найдем точки экстремума:

Очевидно, что , поэтому нас интересует точка .Слева от нее производная отрицательна, а справа - положительна.

Так, - точка минимума.

Ответ: чтобы периметр прямоугольника был минимальным, его стороны должны составить 4 см.

Задача 6. Две стороны параллелограмма лежат на сторонах заданного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. Найти условия, при которых площадь параллелограмма является наибольшей [2].

Рис.4

Решение.

Пусть треугольник определяется двумя сторонами и углом между ними (рис.4). Построим параллелограмм в соответствии с условиями задачи. Обозначим стороны параллелограмма Площадь параллелограмма определяется формулой

.

Выразим через и стороны треугольника . Из подобия треугольников и следует, что

Тогда

В результате площадь записывается как функция:

Находим производную:

Отсюда видно, что экстремум функциисуществует в следующей точке:

При переходе через эту точку производная меняет свой знак с плюса на минус, то есть эта точка является точкой максимума. Другая сторона параллелограмма при этом равна

Итак, вписанный в треугольник параллелограмм со сторонами имеет наибольшую площадь при условии

где стороны треугольника. Интересно, что результат не зависит от угла между сторонами треугольника.

Ответ: площадь параллелограмма является наибольшей при условии

где стороны треугольника.

Задача 7.Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, найти треугольник с наибольшим периметром [2].

Рис.5

Решение.

Пусть треугольник вписан в окружность данного радиуса ,

(независимая переменная) (рис.5). Выразим периметр треугольника как функцию . По теореме синусов:

, отсюда

. Найдем, при каком значении функция принимает наибольшее значение на данном интервале

.

следовательно, точка максимума, в которой функция принимает наибольшее значение на заданном промежутке. Таким образом, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

Ответ: среди всех равнобедренных треугольник, вписанных в данную окружность, с наибольшим периметром является равносторонний треугольник.

Рис.6

Задача 8.Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом.

Периметр окна равен . Определить радиус полукруга , при котором площадь окна является наибольшей (рис.6) [2].

Решение.

Очевидно, что одна сторона прямоугольника равна . Другую сторону обозначим через . Периметр всего окна выражается формулой

Отсюда находим :

Площадь окна составляет:

Полученное выражение представляет собой функцию . Исследуем ее на экстремум. Находим производную:

Определяем стационарные точки:

Поскольку вторая производная отрицательна:

,

то найденная точка является точкой максимума, т.е. при этом значении площадь окна будет наибольшей.

Само максимальное значение площади составляет

.

Ответ: радиус полукруга , при котором площадь является наибольшей.



2.2 Стереометрические задачи

Рис.7

Задача 1.Определить наибольший объем цилиндра, вписанного в конус с радиусом основания и высотой [4].

Решение.

Обозначим радиус основания вписанного цилиндра через , а его высоту - через (рис. 7).

Из подобия треугольников и следует, что

или .

Выразим через :

.

Объем вписанного цилиндра выражается формулой:

.

Тогда

.

Найдем наибольшее значение функции :

.

При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому является точкой максимума функции . Для данного основания высота цилиндра будет составлять

.

Следовательно, наибольший объем вписанного в конус цилиндра равен

.

Это составляет от объема конуса.

Ответ: наибольший объем цилиндра, вписанного в конус равен

.

Рис.8

Задача 2.Конус имеет объем. При каком радиусе основания и

высоте площадь боковой поверхности конуса является наименьшей (рис.8)[4]?

Решение.

Обозначим образующую конуса через .

Площадь боковой поверхности конуса выражается формулой

.

Учитывая, что объем конуса равен, выразим высоту через :

.

По теореме Пифагора находим:

.

Тогда площадь боковой поверхности записывается как функция радиуса основания :

Вычисляем производную:

Производная равна нулю при условии

.

Видно, что при увеличении и переходе через найденную стационарную точку производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, здесь функцияимеет минимум.

Определим высоту конуса:

Чтобы лучше представить форму оптимального конуса, вычислим

отношение :

Таким образом, высота конуса с наименьшей площадью боковой поверхности должны быть примерно 1,4 раза больше радиуса основания.

Ответ: при радиусе, равном , площадь боковой поверхности конуса является наименьшей.

Задача 3.Найти конус наибольшего объема, вписанный в шар радиуса [4].

Решение.

Рис.9

Рассмотрим осевое сечение вписанного в шар конуса (рис.9).

Введем следующие обозначение: высота конуса, радиус основания конуса, угол между радиусом и основанием конуса. Радиус основания и высота конуса связаны с радиусом шара следующими соотношениями:

В таком случае объем конуса можно представить в виде

где угол изменяется в интервале . Продифференцируем объем по переменной :

;

=0.

1. ;

2.

Как видно, решением является . Можно убедиться, что при возрастании угла и переходе через данную точку производная меняет свой знак с плюса на минус, т.е. здесь достигается максимальное значение объема конуса.

Вычислим косинус угла :

Тогда радиус основания и высота конуса наибольшего объема имеют такие значение:

Объем такого конуса равен

что составляет от объема шара.

Ответ: наибольший объем конуса, вписанный в шар радиуса , равен

Задача 4. Бревно длиной имеет форму усеченного конуса с радиусами оснований (Рис.10) Из данного бревна требуется вырезать балку в форме параллелепипеда с квадратным сечением наибольшего объема [4].

Решение.

Будем считать, что оси бревна и балки совпадают. Усеченный конус и вписанный в него параллелепипед схематически показаны в разрезе на рисунке 10.

Объем параллелепипеда определяется формулой

,

где сторона квадрата в основании параллелепипеда, а его высота.

Рассматривая подобные треугольники можно записать следующую пропорцию:

Отсюда находим высоту :

Запишем объем как функцию :

Производная имеет вид:

Находим стационарную точку:

Слева от данной точки производная положительна, а справа - отрицательна. Следовательно, найденная точка является точкой максимума функции. В таком случае высота параллелепипеда составляет

Ответ: параллелепипед, вписанный в усеченный конус, имеет наибольший объем, если его стороны равны

Рис.10

Задача 5.Даны прямоугольные параллелепипеды, основания которых квадраты, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найти среди них параллелепипед с наибольшим объемом и вычислить его объем [8].

Рис.11

Решение.

Так как в основании лежит квадрат, то его стороны обозначим через , третье измерение параллелепипеда обозначим через (рис.11).

Объем любого прямоугольного параллелепипеда - это произведение трех его измерений. Надо найти такой параллелепипед, чтобы его объем был максимальным, то есть . Между есть связь. Сказано, что .

.

Отсюда . Подставим полученное выражение в функцию:

Найдем производную

Точка - точка максимума.

.Найдем объем

Ответ: параллелепипед имеет измерения А наибольший объем

Задача 6. Даны прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен , а основаниями являются квадраты. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислить

этот периметр [8].

Решение.



Рис.12

Так как в основании параллелепипеда - квадрат, то одна его сторона равна и вторая , боковое ребро (рис.12). Известно, что объем этих параллелепипедов . Надо найти параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани. Периметр боковой грани равен . Этот периметр должен быть наименьшим:

.

Итак, нужно минимизировать данную функцию, которая зависит от двух переменных . Эти переменные связаны геометрической зависимостью . Выразим , тогда

.

Найдем производную:

отсюда критические точки.

точка минимума. На всем промежутке значение функции в точке является наименьшим, так как на промежутке функция убывает, а на промежутке - возрастает. Точка экстремума на промежутке - единственная.

Найдем . И, наконец, найдем .

Ответ: требовалось найти такой параллелепипед, у которого наименьший периметр боковой грани и вычислить этот периметр. Параллелепипед имеет измерения . Наименьшее значение периметра боковой грани равно 6.



Заключение

В данной работе рассмотрено решение геометрических задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений с помощью производной.

В процессе выполнения работы была достигнута цель - исследован материал, который используется для решения задач с помощью производной, для проведения занятий со школьниками старших классов и студентами первого курса.

Были решены представленные в начале задачи исследования:

· рассмотрен теоретический материал по данной теме;

· изучена литература по математике по теме «Производная и ее геометрические приложения»;

· решены более 10 планиметрических и стереометрических задач с помощью применения производной для школьников старших классов и студентов первого курса.

Работа по данной теме интересна, и поэтому будет продолжено ее исследование в методическом аспекте. А также будут рассмотрены геометрические задачи, которые решаются без применения производной.



Список литературы

1. Гольдберг А.Г. Функции и их исследование. Производная: из опыта учителя: книга для учащихся/ А.Г. Гольдберг.- Л.: Учпедгиз, 1957. - 68с.

2. Ефимов А.В. Сборник задач по математике для втузов. Ч.1 Линейная алгебра и основы математического анализа: учеб.пособие для втузов/А.В. Ефимов, Б.П. Демидович. - М.: Наука, 1993.- 480 с.

3. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость: учеб.пособие/ Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин.- 2-е изд, перераб - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 496с.

4. Мацкин М.С. Функции и пределы. Производная: пособие для учителей/ М.С. Мацкин, Р.Ю. Мацкина. - М.: Просвещение, 1968. - 182с.

5. Медведев Ф.А. Очерки истории теории функций действительного переменного: книга для учащихся/ Ф.А. Медведев. - М.: Наука, 1975. - 422с.

6. Мордкович А.Г.Алгебра и начало математического анализа: учебник/А.Г. Мордкович. - 10-е изд. - М.: Мнемозина,2009. - 399 с.

7. Нестеренко Ю.В. Задачи вступительных экзаменов по математике: учебное пособие для поступающих в вузы и старшеклассников/ Ю.В. Нестеренко, М.К. Потапов, С.Н. Олехник. - М.: Наука, 1996. - 632с.

8. Парно И.К.. Производная и ее применение к исследованию функций: пособие для учителей/ И.К. Парно. - М.: Просвещение, 1968. - 120с.

9. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. I: учебник/ Г.М. Фихтенгольц. - 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ,2002. - 416 с.

10. Сборник задач по математике для поступающих втузы: учеб. пособие для втузов/ под ред. М.И. Сканави. - М.:Оникс: Мир и образование: Астрель, 2013 - 608с.

Размещено на Allbest.ru