Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава 1. Понятия интегральных уравнений

1.1 Интегральный оператор Фредгольма. Уравнение с симметрическим ядром

1.2 Теоремы Фредгольма. Случай вырожденных ядер

1.3 Уравнения первого рода

Глава 2. Практическая часть

Заключение

Список литературы



Введение

Эрик Ивар Фредгомльм - шведский математик, родился 7 апреля в 1866 году в Стокгольме. Окончил Стокгольмский университет (1893), с 1906 профессор там же. Известен работами по теории линейных интегральных уравнений и теории операторов. В 1900 изложил основные свойства и теоремы теории интегральных уравнений, разработал общие методы решения некоторых их видов. Фредгольм ввёл и затем анализировал целый класс интегральных уравнений, впоследствии названных уравнениями Фредгольма.

В работе изложены характерные особенности интегральных уравнений и их классификация. Она является одним из разделов математического анализа.

Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные понятия интегральных уравнений.

Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, т.е. пренебрегая второстепенным характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде интегральных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакциях, электрических и магнитных явлений, в электростатике, гидростатике и многих других разделов физики.

Целью моей работы является рассмотрение особенностей интегральных уравнений Фредгольма и изучение применения этого метода в механических и физических явлениях.

Задачей данной курсовой работы является исследование природных и механических явлений с помощью метода интегральных уравнений Фредгольма

Глава 1. Понятия интегральных уравнений

Интегральным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком интеграла.

Например, уравнение

,

называется интегральным. Здесь f и K - известные функции, а - искомое решение. Переменные s и t пробегают некоторый фиксированный отрезок [a, b]. Функция в данных соотношениях называется ядром интегрального уравнения.

Уравнение (1.1) и (1.2) является линейным интегральным уравнением . Также встречаются нелинейные интегральные уравнения, например

,

Если искомая функция содержится только под знаком интеграла, то уравнение является уравнением первого рода.

,

В соотношениях (1.1) и (1.2) искомая функция содержится и вне интегрального уравнения, поэтому такое уравнение называют уравнением второго рода.

Если пределы интегрального уравнения фиксированы, как в случаях (1.1) и (1.3), то интегральное уравнение называется уравнение Фредгольма. Если же пределы интегрирования перемены, как в случаях (1.2) и (1.4) то интегральное уравнение называется уравнение Вольтерра.

Уравнение Вольтерра можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма, полагая, например в (1.2) при .

Если в уравнениях (1.1) - (1.4) функция f равна нулю, то такое уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным.

1.1 Интегральный оператор Фредгольма. Уравнение с симметрическим ядром

В этом пункте мы будем рассматривать уравнения Фредгольма второго рода. То есть уравнения вида

,

Функция K(s,t) называется ядром этого уравнения, предположим , что ядро измеримо и принадлежит классу L2 на квадрате

,

Свободный член f уравнения (1) - это некоторая заданная функция из L2[a,b], а - неизвестная функция из L2[a,b]. Ядра класса L2 называются ядрами Гильберта - Шмидта.

Сопоставим уравнению (1) оператор А, определяемый равенством

,

Оператор вида (3) называется оператором Фредгольма. Если же ядро K(s,t) удовлетворяет условию (2), то он называется оператор Гильберта-Шмидта.

Исследование уравнения (1) сводится к изучению это оператора.

Теорема 1. Равенство (3), где K(s,t) функция с интегрируемым квадратом, определяет в пространстве L2[a,b] компактный линейный оператор А, норма которого удовлетворяет неравенству

,

Теорема 2. Пусть А - оператор Гильбера-Шмидта, определяемый ядром K(s,t). Тогда сопряженный ему оператор А* определяется «сопряженным» ядром

Уравнения второго рода (1) ядро которого удовлетворяет условиям

m

1) называются уравнениями с симметрическим ядром.

1.2 Теоремы Фредгольма. Случай вырожденных ядер

Рассмотрим уравнение Фредгольма второго рода

Дадим определение: ядро интегрального уравнения называется вырожденным , если его можно представить в виде конечной суммы произведений двух функций, из которых одна зависит только от t, а другая только от s:

,

Будем считать, что функции между собой линейно независимы.

Предположим , что непрерывны на отрезке [a, b], тогда ядро будет непрерывным в прямоугольнике Q {a}.

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром :

,

где f(t)- непрерывная на отрезке [a, b] функция.

Пусть уравнение (2) имеет решение Положим

,

.

Тогда из (2) получим

,

Отсюда видно, что решение этого интегрального уравнения с вырожденным ядром сводится к определению постоянных . заменив в равенстве (4) индекс суммирования I на j, умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем по t в пределах a до b:

,

Вводя обозначения

,



получим систему алгебраических уравнений, которой должны удовлетворять коэффициенты :

,

Если эта система неразрешима, то, очевидно, интегральное уравнение (2) также неразрешимо.

Предположим что система (6) имеет решение подставив эти значения коэффициентов в формулу (4) получим функцию , которая является решением интегрального уравнения (2), в этом можно убедиться сделав проверку.

Таким образом, интегральное уравнение (2) и система линейных алгебраических уравнений (6) эквивалентны в том смысле, что разрешимость системы (6) влечет за собой разрешимость уравнения (2) и наоборот.

Определитель системы (6) D(л) равен

,

- многочлен относительно л степени не выше n , отличный от тождественного нуля, так как

,

Следовательно, имеет не более n различных корней.

называют определителем Фредгольма для интегрального уравнения (2), а его нули, т.е корни уравнения , называют характеристическими числами ядра или уравнение (2)

Рассмотрим некоторые Теоремы Фредгольма:

I. Если л не является характеристическим числом, то интегральное уравнение (2) имеет единственное решение , определяемое формулой (4), при любом свободном члене f(t).

В случае когда Соответствующее однородное интегральное уравнения

,

отвечающее условию , имеет только тривиальное решение . В самом деле если то все равны нулю и система (6) будет системой однородных линейных уравнений с определителем, отличных от нуля. Такая система имеет только нулевое решение . Поэтому первую теорему Фредгольма иногда формулируют так:

для того чтобы уравнение (2) имело единственное решение при любой функции f(t) , необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение имело только тривиальное решение .

II. Рассмотрим другой случай, пусть теперь совпадает с одним из нулей определителя Фредгольма , т.е является характеристическим числом ядра

Тогда определитель системы (6) будет равен нулю. Соответствующая однородная система

.

имеет при этом некоторое число p линейно независимых ненулевых вектор-решений

,

Функции

,

Будут нетривиальными решениями соответствующего однородного интегрального уравнения

,

Нетривиальные решения однородного уравнения называются собственными или фундаментальными функциями этого уравнения или ядра K(t,s). Число линейно независимых функций , соответствующее данному характеристическому числу, называется его рангом или кратностью.

Если же - собственные функции, отвечающие одному и тому же характеристическому числу л, то их сумма будет также собственной функцией , отвечающей этому же числу л. Точно так же, если - собственная функция, то - любая постоянная, будет собственной функцией ядра K(t,s).

Общим решением однородного уравнения (15), отвечающие данному характеристическому числу л, будет функция

,

Где произвольные постоянные.

Введем некоторые понятия. имеем интегральное уравнение Фредгольма



,

Дадим определение: ядро , получаемое из ядра заменой t на s и наоборот, называется сопряженным с ядром K(t,s): (21)

В случае, когда есть комплекснозначная функция действительных аргументов t,s полагаем по определению

,

где означает величину, комплексно сопряженную с .

уравнение

,

называется сопряженным с уравнением (20)

для интегрального уравнения (2) с вырожденным ядром сопряженное с ним уравнение имеет вид

,

для него

,

где

,



Если , т.е уравнение (23) однородное , то для определения получаем однородную систему

,

Сопряженную с системой (13).

В силу теоремы 1 обе эти системы имеют одинаковое число p линейно независимых вектор-решений.

Если ненулевые вектор-решения системы (26), то функции

,

будут собственными функциями однородного уравнения

,

сопряженного с уравнением (9).

Итак, если есть характеристическое число ядра , то однородное интегральное уравнение (15) и сопряженное с ним уравнение (27) имеют одно и то же конечное число линейно независимых собственных функций. алгебраический уравнение интегральный колебание

Это - вторая теорема Фредгольма.

III. Рассмотрим, наконец, неоднородное уравнение (2) в случае, когда -характеристическое число.

Как мы отмечали , его разрешимость эквивалентна разрешимости неоднородной системы (6) линейных алгебраических уравнений



,

Воспользуемся теоремой: для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы вектор свободных членов этой системы был ортогонален ко всем вектор-решениям сопряженной однородной системы.

Согласно этой теореме, неоднородная система(6) будет разрешима тогда и только тогда, когда вектор будет ортогонален каждому из векторов , т.е когда

,

Но , и, следовательно, условие (28) можно записать так:

,

Таким образом, сформулируем третью теорему Фредгольма: неоднородное интегральное уравнение (2) с вырожденным ядром при характеристическом значении будет разрешимо тогда и только тогда, когда свободный член f(t) будет ортогонален ко всем решениям сопряженного однородного интегрального уравнения (27).

Подчеркнем, что вопрос о разрешимости уравнения (2) требует проверки конечного числа p условий

,

Если эти условия выполнены, то уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Все они описываются формулой

.

где - какое либо решение неоднородного уравнения (2), а - общее решение соответствующего однородногоуравнени.

Как следствие из предыдущих теорем вытекает важная теорема об альтернативе: если однородное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром имеет только тривиальное решение, то соответствующее неоднородное уравнение всегда имеет одно и только одно решение. Если же однородное уравнение имеет нетривиальное решение, то неоднородное интегральное уравнение в зависимости от свободного члена f(t) либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное число решений.

1.3 Уравнения первого рода

Интегральное уравнение Фредгольма1-го рода имеет вид

,

Где - известные функции, - искомая функция.

Пусть, например, ядро K(t,s) есть многочлен относительно t и s:

,

Где - многочлены относительно s (i=1,2,…,m).

Тогда левая часть (30) будет иметь вид для любой , а следовательно, такой же вид должна иметь и правая часть (30), т.е функция f(t).

Таким образом, для любой непрерывной функции f(t) решение уравнения (30) не существует при ядре K(t,s).

Рассмотрим простейшее интегральное уравнение 1-го рода

,

c ядром

Очевидно, что в классе интегрируемых функций это уравнение не имеет решений. Пусть ядро K(t,s) уравнение (30) симметричное.

В силу теоремы Гильберта- Шмидта для существования решения уравнения (30) необходимо, чтобы функция f(t) разлагалась по собственным функциям ядра K(t,s):

,

При выполнении этого условия решение уравнения (30) можно искать в виде

,

Подставляя (32) в (30) и сравнивая с (31), получим , откуда

Сформулируем теорему Пикара: интегральное уравнение 1-го рода с замкнутым симметричным ядром K(t,s)

,

где имеет, и притом единственное, решение в классе тогда и только тогда, когда ряд



,

сходится.

Здесь -характеристические числа ядра K(t,s), - коэффициенты Фурье функции f(t) относительно собственных функций этого ядра:

,

Симметричное ядро K(t,s) называется замкнутым в если каждая функция удовлетворяющая тождеству

,

равна нулю почти всюду на . Замкнутое ядро характеризуется тем, что собственные функции ядра образуют полную в ортогональную систему функций.

Для решения некоторых интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода можно применять метод последовательных приближений.

Теорема 2. Пусть K(t,s)- симметричное положительно определенное ,и пусть уравнение

,

Однозначно разрешимо. Тогда последовательность определяемая рекуррентным соотношением

,



где

,

и - наименьшее характеристическое число ядра K(t,s), сходится в среднем к решению уравнения (30).

В самом деле, полагая в равенстве (36)

,

Приведем его к виду

,

Умножим обе части (36') на собственную функцию ядра и проинтегрируем по t от a до b. Получим

,

Где

,

Используя симметричность ядра K(t,s) и то, что

,

Находим



,

Таким образом, из (38)

,

Рассмотрим интеграл

,

В силу полноты системы функций имеем

,

На основании неравенства (37)

,

И потому для любого можно указать такой номер что при

,

Таким образом, мы приходим к неравенству

,



Которое означает, что последовательность сходится в среднем к решению уравнения (30).

Рассмотрим опять уравнение (30)

,

не предполагая теперь ядро симметричным. Применим к его решению общий метод неопределенных коэффициентов. Суть этого метода - разложение искомой функции по некоторой полной системе функций. Он оказывается, вообще, хорошо приспособленным к решению интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода.

Будем искать решение уравнения (30) в виде

,

Где функции образуют некоторую полную систему на интервале (a,b); - некоторая весовая функция, которую следует выбирать близкой к и тем самым улучшить сходимость ряда (39). Если о решении мало что известно, то можно положить

Подставляя в форме (39) в уравнение (30), будем иметь

,

Или

,

Где известные функции:



,

Таким образом, решение интегрального уравнения сводится уравнения сводится к нахождению коэффициентов по известным функциям f(t) и .

Это особенно просто делается в двух случаях:

1. Если функция то правая часть (40) оказывается степенным рядом, так что неизвестные коэффициенты

Можно определить путем сравнения коэффициентов этого ряда с соответствующими коэффициентами в разложении f(t) по степеням t.

2. Если функция образуют ортогональное с весом p(t) семейство на интервале (a,b):

,

То коэффициенты легко определяются из (40) по формулам

,

,

К сожалению, чаще функции не являются ни степенями t, ни элементами ортогональной системы и определение коэффициентов бывает сопряжено порой с большими техническими трудностями.



Глава 2. Практическая часть

1. Рассмотрим интегральное уравнение

,

Запишем его в виде

,

Здесь . Положим

,

Тогда

Умножим обе части (1)последовательно на и проинтегрируем по t от 0 до 1. Получим

,

,

,

Определитель этой системы

,

Отличен от нуля при любых действительных .

По формулам Крамера находим

,

,

В силу (1) имеем

,

2. Рассмотрим другой пример

,

Где f(t) непрерывна на [-1;1].

Запишем уравнение в виде

,

И положим

,

Тогда

Для определения коэффициентов получаем систему



,

Определитель D( системы (4) равен Если то система (4) имеет единственное решение при любых правых частях.

Пусть теперь тогда однородная система

,

Отвечающая системе (4), будет иметь ненулевое решение , где С - любое.

Следовательно, однородное интегральное уравнение

,

Отвечающее данному, при имеет ненулевое решение

.

Ядро интегрального уравнения симметрично, поэтому сопряженное однородное интегральное уравнение совпадает с уравнением (5), и, значит решение сопряженного уравнения есть



,

Неоднородная система алгебраических уравнений (4) при примет вид

,

Откуда сразу видно, что она будет разрешима, только если

,

,

Так, если то условие (8) не выполнено и уравнение (2) неразрешимо.

Если , то уравнение (2) имеет бесчисленное и множество решений

,

Аналогично исследуется случай .



Заключение

В результате проведенной работы, цель которой была рассмотрение особенностей интегральных уравнений Фредгольма и изучение применения этого метода в механических и физических явлениях можно сделать выводы.

С помощью интегральных уравнений Фредгольма второго рода можно решить задачи о собственных колебаниях систем, то есть, колебания при которых отсутствуют внешние силы, а к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода приводят задачи восстановления размытого изображения.

Таким образом, интегральные уравнения в настоящее время представляют собой исключительно богатый содержанием, развивающийся раздел математического анализа.



Список литературы

1. А.Н.Колмогоров, С.В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа», Москва-1976г.

2. Ф.Трикоми «Интегральные уравнения», под редакцией И.Н.Векуа, Москва-1960г.

3. М.Л.Краснов «Интегральные уравнения. Введения в теорию», изд-во, Москва-1975г.

4. С.Г.Михлин «Лекции по интегральным уравнениям», 1945г

5. Васильева А.В., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. «Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах», 2003г

Размещено на Allbest.ru