Функции: обратные отношения и композиции отношений

Размещено на http://www.allbest.ru/

• Содержание
• Введение
• Функция
• Бинарные отношения
• Обратные отношения и композиции отношений
• Заключение
• Список литературы
• Введение

Тема моего реферата - Функции: обратные отношения и композиции отношений. Мое знакомство с функциями началось еще в начальной школе на уроках математики. Уже в средней школе были изучены свойства, действия над функциями, область определения функции и т.д.

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2 . Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости. функция бинарный симметричный соотношение

В данной работе мы еще ознакомимся с такими понятиями как обратные отношения и композиции отношений.

Функция

Не существует формального определения функции. Понятие функция относится к базовым понятиям математики, и его можно лишь попробовать назвать другим синонимом, например отражение, соответствие, закон или подмножество декартового произведения.

Функцией (отражением, трансформацией) f множества X во множество Y (обозначается f : X >Y) называется такое соответствие между множествами X и Y, которая удовлетворяет следующим условиям:

1. Соответствие f везде определено, то есть, для любого x из X существует такой y из Y, что x f y (y является образом x для функции f), то есть, для любого x из X существует хотя бы один образ y из Y.

2. Соответствие f является соответствием или функциональностью, то есть, если x f y и x f z, то y = z, то есть, y может быть образом сразу нескольких элементов из X, но один элемент x не может порождать больше одного образа из Y.

Элемент y из Y, который отвечает элементу x из X, обозначается как f (x).

Также можно сказать, что отражением (функцией) из X в Y является такое соответствие f ?AЧB, в которой каждому элементу a? Pr₁f отвечает только один элемент из Pr₂f (здесь Ч - Декартовое произведение множеств, Pr₁f и Pr₂f - соответствующие проекции отражения).

Соответствие между X и Y, которая удовлетворяет только условию (1) называется многозначной функцией. Любая функция является многозначной функцией, но не каждая многозначная функция является функцией. Соответствие, которое удовлетворяет только условию (2) есть частичная функция. Любая функция является частичной, но не каждая частичная функция является функцией. Здесь функцией является такое соответствие между множествами, которое удовлетворяет одновременно условиям (1) и (2), если другое не указывается дополнительно.

Примеры:

Бинарные отношения

Наиболее популярными в математике являются двухместные или бинарные отношения, на изучении свойств которых мы остановимся детальнее. Дальше везде под словом "отношение" будем понимать бинарное отношение. Если элементы a, b (M находятся в отношении R (то есть (a, b)(R))), то это часто записывают в виде aRb. Заметим, что бинарные отношения иногда рассматривают, как отдельный случай соответствий, а именно - как соответствия между одинаковыми множествами.

Для задания отношений можно пользоваться теми же способами, что и при задание множеств. Например, если множество M конечно, то произвольное отношение R на M можно задать списком пар элементов, которые находятся в отношении R.

Удобным способом задання бинарного отношения R на конечном множестве M= {a1, a2,...,an} есть задання с помощью так называемой матрицы бинарного отношение. Это квадратная матрица C порядка n, в которой элемент cij, что стоит на пересечении i- го строки и j- го столбца.

Свойства отношения. Пусть R - некоторое отношение на множестве M. Отношение R называется:

1) рефлексивным, если для всех aєM имеет место aRa.

2) антирефлексивным (иррефлексивным), если ни для одного aєM не выполняется aRa.

3) симметричным, если для всех a, bєM таких, что aRb имеем bRa.

4) асимметричным, если для всех a, bєM таких, что aRb не выполняется bRa.

5) антисимметричным, если для всех a, bєM таких, что aRb и bRa имеем a = b.

6) транзитивным, если из соотношений aRb и bRc выплывает aRc.

7) полным, если для любых a, bєM выплывает, что aRb или bRa.

Обратное отношение и композиция отношений

Отношение называется обратным к отношению R, если ba тогда и только тогда, когда aRb. Очевидно, что = R. Например, для отношения "больше или равняется" обратным есть отношение "меньше или равняется". Для отношения "делится на" - отношение "является делителем".

Взаимообратное отношение - отношения, которые являются обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого - областью значений другого.

Обратное отношение имеет такие свойства:

1) Отношение равно своему обратному являются симметричными.

2) Если отношение R имеет такие свойства: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность, то и обратное отношение имеет такие же свойства.

3) Если отношение R инъективное, сюръективное или функциональное, то ,не обязательно будет таким же.

Композицией (произведением, суперпозицией) отношений S и R, где R A B, S BC, называется отношение T AC , которое определяется следующим образом T S R a,c: a A cC и существует bB:a,bR b,cS

Пример. Пусть А = {1,2,3}, В = {х, у}, а C={s,t,c,z} и пусть отношения R на A x B и S на B x C заданы в виде: R= (1,x),(1,y),(3,x) S={(x,s),(x,t),(y,c),(y,z)} Тогда S R 1,s,1,t,1,c,1,z,3,s,3,t

Заключение

В процессе работы мы узнали, что такое функция, некоторые свойства функций. Так же ознакомились с понятиями: бинарное отношение, обратное отношение, композиция отношений. Наглядные примеры помогли нам лучше усвоить эти понятия.

И напоследок, понятие функции является одним из основных понятий математики вообще. Оно не воз никло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития.

Список используемой литературы

1. Евстафьева В.Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Москва: "Дрофа", 2000 года.

2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Москва: "Проспект", 2003 года.

3.Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Москва: "Просвещение", 1990 года.

4. Максименко В.Н. Математический анализ в примерах и задачах: Часть. 2. Москва: "НГТУ", 2002 года.

5. Никольский С.Н. Курс математического анализа, учебник. Москва: "Физматлит", 2002 года.

Размещено на Allbest.ru