Методы оптимальных решений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Финансовый Университет при Правительстве Российской Федерации

Липецкий филиал

Кафедра "Математика и информатика"

Контрольная работа

по дисциплине "Методы оптимальных решений"

Выполнила Катасонова Наталия Ивановна

Проверил: Уродовских В.Н.

Липецк 2015

Задание 1.

Наряду с другими экономико-математическими методами в экономическом анализе используется теория массового обслуживания. Она применяется, в частности, в розничной торговле при анализе количества обслуживаемых покупателей и продолжительности их обслуживания (при условии высокого качества их обслуживания). На эти показатели оказывают влияние различные факторы (переменные величины). Они взаимодействуют между собой в условиях процесса обслуживания покупателей, носящего стохастический характер. На основе теории массового обслуживания выбирается оптимальный вариант организации торгового обслуживания населения, обеспечивающий минимальное время обслуживания при минимизации затрат и высоком качестве обслуживания населения. Рассматриваемая теория находит применение и в других отраслях экономики. Теория массового обслуживания заключается в том, что на базе теории вероятностей выводятся математические методы анализа процессов массового обслуживания, а также методы оценки качества работы обслуживающих систем. При всем своём разнообразии процессы в системах массового обслуживания имеют общие черты: Требование на обслуживание не регулярно случайно поступает на канал обслуживания и в зависимости от его занятости, продолжительности обслуживания образуют очередь требований. Теория массового обслуживания изучает статистические закономерности поступления. И на этой основе вырабатывает решения, то есть такие характеристики системы обслуживания, при которых затраты времени на ожидание в очереди и на простой каналов обслуживания были бы наименьшими. (если мало каналов обслуживания - то образуются большие очереди, и наоборот, если много каналов обслуживания, то очередей нет, но при этом каналы обслуживания работают не рационально, так как часть из них простаивает без работы). Теория массового обслуживания - это прикладная область теории случайных процессов. Предметом исследования теории массового обслуживания являются вероятностные модели физических систем обслуживания, в которых случайные и не случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства на обработку данных заявок. Теория массового обслуживания целиком базируется на теории вероятности и на математической статистике. В определенной степени она связана с распределением Пуассона, которое описывает вероятность числа появлений в заданном интервале времени какого-либо события. Например, появление покупателя у прилавка, если известно, что появление события зависит от того давно ли оно появлялось в последний раз и сколько раз и когда именно случалось до этого.

Задание 2

Финансовый консультант фирмы "АВС" консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга "Дикси".

Анализируются акции "Дикси-Е" и "Дикси-В". Цены на акции: "Дикси-Е" - 5 долл. За акцию; "Дикси-В" - 3 долл. За акцию.

Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом одного из наименований должно быть не более 5000 штук. математический обслуживание статистический

По оценкам "АВС", прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: "Дикси-Е" - 1,1 долл.; "Дикси-В" - 0,9 долл.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Пусть х 1 - количество акций "Дикси-Е", а х 2 -количество акций "Дикси-В", которое требуется приобрестии. Тогда функция цели будет иметь вид:

Max F(x) = 1,1*x1 + 0,9*x2

Построим множество допустимых решений. Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат.

Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:

Построим графики линий-ограничений:

Пересечением указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой многоугольник ABCDE. Область ограничена сверху и справа.

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор градиент, соединив его вершину (1,1; 0,9) с началом координат.

Построим некоторую линию уровня, перпендикулярную вектор градиенту.

При минимизации целевой функции необходимо перемещать линию уровня в направлении противоположном вектору градиента до выхода из ОДР, а при максимизации в направлении вектора-градиента до выхода линии уровня из ОДР. Максимумом является точка D, являющаяся пересечением прямых

х 1 + х 2 =6000 и 5х 1 +3х 2 = 25000

Решив систему, находим:

Х 1=3500, Х 2 = 2500

f(x) = 3500*1,1 + 2500*0,9 = 6100

При решении задачи на минимум оптимальным решением будет:

Х 1 = 0, Х 2 = 0, и F(x)=0

Задание 3.

Рассчитайте параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий.

Предприятие пищевой промышленности ежемесячно использует около 25000 стеклянных банок объемом 1л для производства фруктового сока. Месячная стоимость хранения одной банки - 10коп. Компания работает в среднем 20 дней в месяц. Затраты на размещение заказа составляют 300 руб. Доставка заказа осуществляется в течение одного дня.

Определите:

а) оптимальный объем заказа;

б) годовые расходы на хранение запасов;

в) период поставок;

г) точку заказа.

Решение.

Примем за единицу времени месяц, тогда =25000 шт. банок в месяц, К = 300 руб., S = 0,1 руб/шт. в месяц. Поскольку стеклянные банки заказываются со склада поставщика, а не производятся самостоятельно, то будем использовать модель Уилсона.

штук.

Поскольку число банок должно быть целым, то будем заказывать по 12247 штук. При расчете других параметров задачи будем использовать не

Годовые расходы на хранение запасов равны

рублей в месяц.

Подачу каждого нового заказа должна производиться через

месяца.

Поскольку известно, что компания работает в среднем 20 дней в месяц, то

9,7910 рабочих дней.

Заказ следует подавать при уровне запаса, равном

банок,

Т.е. эти 1250 банок будут проданы в течение 1 дня, пока будет доставляться заказ.

Задание 4.

В бухгалтерии организации в определенные дни непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.) в тот момент, когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся коллег, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно , а среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, - Тср мин. Оцените основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать непроизводительных потерь рабочего времени!). Определите, сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%.

Решение.

Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:

Интенсивность потока обслуживания:

1. Интенсивность нагрузки.

с = л * tобс = 12 * 10 = 120

Интенсивность нагрузки с=120 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

2. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 0.01% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0 мин.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p1 = с1/1! p0 = 1201/1! * 0.000137 = 0.0164

заняты 2 канала:

p2 = с2/2! p0 = 1202/2! * 0.000137 = 0.98

3. Доля заявок, получивших отказ.

Значит, 98% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

4. Вероятность обслуживания поступающих заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

pотк + pобс = 1

Относительная пропускная способность: Q = pобс.

pобс = 1 - pотк = 1 - 0.98 = 0.0166

Следовательно, 2% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 85%.

5. Среднее число каналов, занятых обслуживанием.

nз = с * pобс = 120 * 0.0166 = 1.99 канала.

Среднее число простаивающих каналов.

nпр = n - nз = 2 - 1.99 = 0 канала.

6. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 100% занята обслуживанием.

7. Абсолютная пропускная способность.

A = pобс * л = 0.0166 * 12 = 0.2 заявок/мин.

8. Среднее время простоя СМО.

tпр = pотк * tобс = 0.98 * 10 = 9.83 мин.

9. Среднее число обслуживаемых заявок.

Lобс = с * Q = 120 * 0.0166 = 1.99 ед.

Число заявок, получивших отказ в течение часа: л * p1 = 11.76 заявок в мин.

Номинальная производительность СМО: 2 / 10 = 0.2 заявок в мин.

Фактическая производительность СМО: 0.2 / 0.2 = 99% от номинальной производительности.

При n=3 (3 бухгалтера)

Следовательно, 0% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0 мин.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p1 = с1/1! p0 = 1201/1! * 3.0E-6 = 0.000406

заняты 2 канала:

p2 = с2/2! p0 = 1202/2! * 3.0E-6 = 0.0243

заняты 3 канала:

p3 = с3/3! p0 = 1203/3! * 3.0E-6 = 0.97

Доля заявок, получивших отказ.

Значит, 97% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

Вероятность обслуживания поступающих заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

pотк + pобс = 1

Относительная пропускная способность: Q = pобс.

pобс = 1 - pотк = 1 - 0.97 = 0.0266

Следовательно, 3% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 85%.

При n=4 (4 бухгалтера)

Следовательно, 0% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0 мин.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p1 = с1/1! p0 = 1201/1! * 0 = 1.3E-5

заняты 2 канала:

p2 = с2/2! p0 = 1202/2! * 0 = 0.000792

заняты 3 канала:

p3 = с3/3! p0 = 1203/3! * 0 = 0.0317

заняты 4 канала:

p4 = с4/4! p0 = 1204/4! * 0 = 0.95

Доля заявок, получивших отказ.

Значит, 95% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

Вероятность обслуживания поступающих заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

pотк + pобс = 1

Относительная пропускная способность: Q = pобс.

pобс = 1 - pотк = 1 - 0.95 = 0.0496

Следовательно, 5% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 85%.

При n=5 (5 бухгалтеров)

Следовательно, 0% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0 мин.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p1 = с1/1! p0 = 1201/1! * 0 = 0

заняты 2 канала:

p2 = с2/2! p0 = 1202/2! * 0 = 0

заняты 3 канала:

p3 = с3/3! p0 = 1203/3! * 0 = 0

заняты 4 канала:

p4 = с4/4! p0 = 1204/4! * 0 = 0

заняты 5 канала:

p5 = с5/5! p0 = 1205/5! * 0 = 0

Доля заявок, получивших отказ.

Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки.

Вероятность обслуживания поступающих заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

pотк + pобс = 1

Относительная пропускная способность: Q = pобс.

pобс = 1 - pотк = 1 - 0 = 1

Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 85%, что выполняется.

Ответ: Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 85%, необходимо не менее пяти бухгалтеров.

РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL

1. Оценим основные характеристики работы бухгалтерии как СМО с отказами (рис.1).



Рис.1. Вычисления по формулам Эрланга

Опишем шаги решения задачи.

Вводим значения параметров

= 12 и = в ячейки С 2 и СЗ.

Вычисляем значение нагрузки на систему по формуле

в ячейке С 4.

Вводим в ячейки В 7:В 16 возможные значения числа каналов п от 1 до 10.

Вычисления в Excel по формулам Эрланга организуем следующим образом. В ячейку С 7 вводим формулу: =1+С 4.

В ячейку С 8 вводим формулу:

=C7+CTEIIEHb(SCS4;B8)/(ФAKTP(B8)).

Копируем эту формулу в ячейки С 9:С 16.

Функции СТЕПЕНЬ (число; степень) и ФАКТР (число) можно ввести с клавиатуры или вызвать с помощью Мастера функций, вызвав категорию математические.

Для каждого значения п от 1 до 10 вычисляем вероятность Ро по формуле:

В ячейку D7 вводим формулу: = 1/С 7. Копируем эту формулу в ячейки D9:D16.

Для каждого значения п от 1 до 10 вычисляем вероятность Pотк по формуле:

Ротк= Рn=

В ячейку Е 7 вводим формулу: =D7*СТЕПЕНЬ($С$4;В 7)/(ФАКТР(В 7)). Копируем эту формулу в ячейки Е 9:Е 16.

Вычислим также некоторые основные характеристики данной мастерской как СМО с отказами при п = 2 (рис.2).

Относительная пропускная способность B. т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена, вычисляется по формуле: а"

В=1- Ротк = 1-Р 0 (в ячейку В 20 вводим =1-В 19).

Абсолютную пропускную способность А получим, умножая интенсивность потока заявок на В:

(в ячейку В 22 вводим =С 2*В 20).

Среднее число занятых каналов М вычисляется по формуле:

Рис. 2. Вычисление некоторых характеристик СМО с отказами

2. Определим, сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%.

Сделаем копию листа 1. Посчитаем данные для 110 работников. Анализируя полученные значения вероятностей Ротк в ячейках Е 7:Е 116 получаем вывод: если в бухгалтерии будут работать 107 бухгалтеров, то вероятность обслуживания клиентов будет выше 85%, так как вероятность отказа в обслуживании в этом случае Ротк14%.

Задание 5.

Статистический анализ показал, что случайная величина Х (длительность обслуживания клиента в парикмахерской) следует показательному закону распределения с параметром , а число клиентов, поступающих в единицу времени (случайная величина Y), закону Пуассона с параметром .

Организуйте датчики псевдослучайных чисел для целей статистического моделирования (использования метода Монте-Карло).

Получите средствами MS Excel 15 реализаций случайной величины Х и 15 реализаций случайной величины Y.

Решение.

1. Имитационный эксперимент проведем с использованием Excel:

Рис. 1. 15 реализаций случайных величин X и Y

Вводим значения параметра даннях законов распределения

в ячейки В 1 и В 5.

Получим 15 реализаций случайной величины Х (длительность обслуживания клиента в парикмахерской, мин.) Для этого:

В ячейку В 3 вводим формулу:

=60*(-1/$B1)*LN(СЛЧИС()).

Копируем эту формулу в ячейки С 3:Р 3.

Функции LN(число) и СЛЧИС (число) можно ввести с клавиатуры или вызвать с помощью Мастера функций, вызвав категорию Математические.

Получим 15 реализаций случайной величины V (время между приходом в парикмахерскую двух клиентов, мни.). Для этого:

В ячейку В 7 вводим формулу:

=60*(-1/$В 5)*LN(СЛЧИС()).

Копируем эту формулу в ячейки С 7:Р 7.

Введем учет времени прихода в парикмахерскую клиентов (мин.) Для этого: В ячейку В 9 вводим формулу: =В 7 (время прихода 1-го клиента). В ячейку С 9 вводим формулу-: =В 9-С 7 (время прихода 2-го клиента). Копируем последнюю формулу в ячейки D9:Р 9 (время прихода следующих клиентов).

Для контроля генерации псевдослучайных чисел вводим:

в ячейку Q1 формулу: =60/В 1;

в ячейку Q3 формулу: =СРЗНАЧ(ВЗ:РЗ);

в ячейку Q5 формулу: =60/В 5;

в ячейку Q7 формулу: =СРЗНАЧ(В 7:Р 7)

Функцию СРЗНАЧ (число 1; чнсло 2;...) можно ввести с клавиатуры или вызвать с помощью Мастера функций, вызвав категорию Статистическое.

Примечание. При организации датчиков псевдослучайных чисел использованы следующие факты:

функция СЛЧИСЛО возвращает равномерно распределенное случайное число Р, из промежутка от 0 до 1 [2, с. 158];

формула х = -(1/)Р

возвращает случайное число с показательным законом распределения с параметром [2, с. 159];

если поток клиентов (требований) является простейшим потоком с параметром , то случайная величина - длительность интервала между очередными поступлениями требований (клиентов) - имеет показательный закон распределения с параметром [2, с. 160].

Список литературы

Федосеев В.В., Гармаш АН.. Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебник для бакалавров. 3-е изд., перераб. н доп.- М.: Издательство Юрайт, 2014.

Гармаш АН.. Орлова И.В. Математические методы в управлении: учебное пособие. - М.: Вузовский учебник, 2013.

Орлова И.В.. Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование Учебное пособие. - М.: ВЗФЭН. Вузовский учебник, 2011.

Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012.

Размещено на Allbest.ru