Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Основные понятия и формулы тригонометрии

2. Изучение основных типов тригонометрических уравнений и методы их решения

3. Изучение основных типов тригонометрических неравенств и методы их решения

3.1 Решение простейших тригонометрических неравенств

3.2 Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

3.3 Решение тригонометрических неравенств графическим методом

Литература



Введение

«Математика имеет своей задачей не обучение исчислению, - говорил Л.Н. Толстой, - но обучению приемам человеческой мысли при исчислении, а именно эти знания нужны человеку для того чтобы жить хорошей жизнью».

Специфика математики, ее роль в современных условиях позволяет через математику, через ее использование показать различные стороны многих современных процессов.

Значительную часть школьного курса математики составляет материал, связанный с уравнениями и неравенствами. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Данная работа посвящена методам решения тригонометрических уравнений и неравенств.

В первом параграфе приведены основные теоретические сведения:

определение и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; таблица значений тригонометрических функций для некоторых аргументов; выражение тригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что очень важно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащих обратные тригонометрические функции; кроме основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Во втором параграфе изложены основные методы решения тригонометрических уравнений. Рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим.

В третьем параграфе рассматриваются тригонометрические неравенства. Подробно рассмотрены методы решения элементарных тригонометрических неравенств, как на единичной окружности, так и графическим методом.



1. Основные понятия и формулы тригонометрии

В тригонометрии угол рассматривается как мера вращения, при котором один луч, вращаясь вокруг вершины угла, переходит в положение другого луча. При этом первый луч называют начальной стороной угла, а конечное положение второго (подвижного) луча называют конечной стороной угла. тригонометрический неравенство формула

Угол считается положительным, если переход от его начальной стороны к конечной совершается вращением подвижного луча против часовой стрелки, и отрицательным, если такой переход совершается вращением по часовой стрелке.

Единичный круг - круг с центром в начале координат и радиусом, равным по длине единице. Окружность этого круга называется единичной окружностью.

Координатные оси делят единичный круг и его окружность на четыре равные части, которые называются четвертями, или квадрантами.

Синус - отношение ординаты конца подвижного радиуса к длине этого радиуса.

Косинус - отношение абсциссы конца подвижного радиуса к длине этого радиуса.

Тангенс - отношение ординаты конца подвижного радиуса к его абсциссе.

Котангенс - отношение абсциссы конца подвижного радиуса к его ординате.

Секанс - отношение длины подвижного радиуса к абсциссе его конца.

Косеканс - отношение длины подвижного радиуса к ординате его конца.

Линия тангенсов - касательная к единичной окружности в конце горизонтального диаметра.

Линия котангенсов - касательная к единичной окружности в конце вертикального диаметра.

Синус и косинус угла равны соответственно ординате и абсциссе конца подвижного радиуса единичной окружности.

Если продолжить единичный радиус до пересечения с линией тангенсов, то тангенс угла равен ординате соответствующей точки на линии котангенсов.

Если продолжить единичный радиус до пересечения с линией котангенсов, то котангенс угла равен абсциссе соответствующей точки на линии котангенсов.

Основные тригонометрические тождества:

,

,

,

,

,

,

,

Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

Функция называется четной, если значение не изменяется при замене на , т.е. функция ) называется четной, если .

Функции , , - четные функции, а , , - нечетные.

Теоремы сложения позволяют, зная значения тригонометрических функций двух аргументов и , вычислять значения тригонометрических функций от суммы и разности этих аргументов.

Формулы сложения:

,

,

,

,

,

.

Формулы приведения.

Формулы, при помощи которых тригонометрические функции произвольного угла можно выразить через тригонометрические функции острого угла, называются формулами приведения.

Формулы удвоения и деления аргумента.

,

,

,

,

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

,

,

,



2. Изучение основных типов тригонометрических уравнений и методы их решения

Тригонометрические уравнения - обязательная тема любого экзамена по математике. Основные приемы их решения - замена переменной и разложение на множители. Для успешного решения тригонометрических уравнений нужно хорошо знать тригонометрические формулы, причем не только основные, но и дополнительные (преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму, формулы понижения степени и другие).

Разумеется, должны четко знать стандартные формулы корней простейших тригонометрических уравнений (полезно помнить или уметь получать с помощью тригонометрической окружности упрощенные формулы для корней уравнений

,

Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Определение. Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида

,

В таких уравнениях переменная находится под знаком тригонометрической функции, -- данное число.

При решении тригонометрических уравнений все задачи сводятся к тому, чтобы привести к такому виду, чтобы слева стояла элементарная тригонометрическая функция, а справа - число. После того, как это будет достигнуто, следует найти значение аргумента функции, используя одну из основных формул выражения аргумента через обратные тригонометрические функции.

Методы решения тригонометрических уравнений.

1) Алгебраический метод.

Этот метод нам хорошо известен из алгебры (метод замены переменной и подстановки).

Пример. Решить уравнение

Решение. Используя формулы приведения, имеем

,

делаем замену

,

Тогда

,

находим корни:

,

откуда следует два случая:

,

,

,

,

,

2) Разложение на множители.

Приводим уравнение к виду и представляем левую часть уравнения в виде произведения ). Тогда данное уравнение приводится к совокупности уравнений: . Следует помнить, что эта совокупность не всегда равносильна исходному уравнению и что здесь надо руководствоваться правилом: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а все остальные при этом имеют смысл.

Этот метод рассмотрим на примере.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Перенесём все члены уравнения влево

,

преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

,

,

,

,

,

,

,

,

3) Приведение к однородному уравнению.

Уравнение называется однородным относительно и , если все его члены одной и той же степени относительно и одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на ( или ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно .

Пример. Решить уравнение: .

Решение.

,

,

,

Отсюда

,

корни этого уравнения: , отсюда

,

,



3. Изучение основных типов тригонометрических неравенств и методы их решения

3.1 Решение простейших тригонометрических неравенств

Большинство авторов современных учебников по математике предлагают начать рассмотрение данной темы с решения простейших тригонометрических неравенств. Принцип решения простейших тригонометрических неравенств основан на знаниях и умениях определять на тригонометрической окружности значения не только основных тригонометрических углов, но и других значений.

Между тем, решение неравенств вида можно осуществлять следующим образом: сначала находим какой-нибудь промежуток , на котором выполняется данное неравенство, а затем записываем окончательный ответ, добавив к концам найденного промежутка число кратное периоду синуса или косинуса: . При этом значение находится легко, т.к. или . Поиск же значения опирается на интуицию учащихся, их умение заметить равенство дуг или отрезков, воспользовавшись симметрией отдельных частей графика синуса или косинуса. А это довольно большому числу учащихся иногда оказывается не под силу. В целях преодоления отмеченных трудностей в учебниках в последние годы применялся разный подход к решению простейших тригонометрических неравенств, но улучшения в результатах обучения это не давало.

Мы на протяжении ряда лет для нахождения решения тригонометрических неравенств довольно успешно применяем формулы корней соответствующих уравнений.

Изучение данной темы осуществляем таким образом:

1. Строим графики и , считая, что .

Затем записываем уравнение и его решение . Придавая , находим три корня составленного уравнения: . Значения являются абсциссами трёх последовательных точек пересечения графиков и . Очевидно, что всегда на интервале () выполняется неравенство , а на интервале - неравенство .

Добавив к концам этих промежутков число, кратное периоду синуса, в первом случае получим решение неравенства в виде: ; а во втором случае - решение неравенства в виде: .

2. Далее проводим аналогичные рассуждения для косинуса

Только в отличие от синуса из формулы , являющейся решением уравнения , при получаем два корня , а третий корень при в виде . И опять являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков и . В интервале выполняется неравенство , в интервале - неравенство .

Теперь нетрудно записать решения неравенств и . В первом случае получим: ; а во втором: .

Подведём итог. Чтобы решить неравенство или , надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни и , и записать ответ неравенства в виде: .

При решении неравенств , из формулы корней соответствующего уравнения находим корни и , и записываем ответ неравенства в виде: .

Данный приём позволяет научить решать тригонометрические неравенства всех учащихся, т.к. этот приём полностью опирается на умения, которыми учащиеся владеют прочно. Это умения решать простейшие и находить значение переменной по формуле. Кроме того, становится совершенно необязательным тщательное прорешивание под руководством учителя большого количества упражнений для того, чтобы продемонстрировать всевозможные приёмы рассуждений в зависимости от знака неравенства, значения модуля числа a и его знака. Да и сам процесс решения неравенства становится кратким и, что очень важно, единообразным.

Ещё одним из преимуществ данного способа является то, что он позволяет легко решать неравенства даже в том случае, когда правая часть не является табличным значением синуса или косинуса.

Продемонстрируем это на конкретном примере. Пусть требуется решить неравенство . Составим соответствующее уравнение и решим его: .

.

Найдём значения и .

При .

При .

Записываем окончательный ответ данного неравенства:

,

.

В рассмотренном примере решения простейших тригонометрических неравенств недостаток может быть только один - наличие определенной доли формализма. Но если всё оценивать только с этих позиций, то тогда можно будет обвинить в формализме и формулы корней квадратного уравнения, и всех формул решения тригонометрических уравнений, и многое другое.

Предложенный метод хоть и занимает достойное место в формировании умений и навыков решения тригонометрических неравенств, но нельзя и преуменьшать важность и особенности других методов решения тригонометрических неравенств.

3.2 Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

При решении тригонометрических неравенств вида , где - одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа . Разберём на примере, как решать такие неравенства.

Пример. Решите неравенство .

Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит .

Для решением данного неравенства будут . Ясно также, что если некоторое число будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на , то также будет не меньше . Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить . Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все .

Ответ. .

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые и

соответственно, касающиеся тригонометрической окружности.

Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.

3.3 Решение тригонометрических неравенств графическим методом

Заметим, что если - периодическая функция, то для решения неравенства необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции . Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений , а также всех , отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции .

Пример. Рассмотрим решение неравенства .

Решение. Рассмотрим график функции .

и выберем из промежутка на оси значения аргумента , которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси . Таким промежутком является интервал . Учитывая периодичность функции все решения неравенства можно записать так:

,

Ответ: ,

Отбор корней.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведем решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления посторонних корней и методы <<борьбы>> с ними.

Пример. Найти корни уравнения: .

Решение этого уравнения распадается на два этапа: 1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей; 2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию . При этом заботится об условии нет необходимости. Все значения , удовлетворяющие возведенному в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.

Первый шаг нас приводит к уравнению , откуда .

Теперь надо определить, при каких будет . Для этого достаточно для рассмотреть значения т. е. <<обойти один раз круг>>, поскольку дальше значения косинуса начнут повторяться, получившиеся углы будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную .

Ответ: .

Итак, основная схема отбора корней состоит в следующем. Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций входящих в уравнение. На этом периоде отбираются корни, а затем оставшиеся корни периодически продолжаются.



Литература

1. Аджиева А. Тригонометрические уравнения // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 33, 2001г.

2. Токарева А. Тригонометрические неравенства. // Математика. // Приложение к газете «Первое сентября» № 44, 2002 г.

3. Шабашова О.В. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях //Математика в школе. 2004. №1. С.20-24.

4. Адрова И.А., Ромашко И.В. Модульный урок в X классе по теме «Решение тригонометрических уравнений» //Математика в школе. 2001. №4. С. 28-32.

5. Мирошин В . Отбор корней в тригонометрических уравнениях.// Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 17, 2006г.

6. Мордкович А.Г . Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2000. - 336с.:ил.

7. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. №6.

Размещено на Allbest.ru