Канонические уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Канонические уравнения

2. Окружность

3. Эллипс

4. Гипербола

5. Парабола

1. Канонические уравнения

Алгебраическая кривая второго порядка - кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

Аx2 + 2Вxy + Сy2 + 2Dx + 2Еy + F = 0, где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.

Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих четырёх видов (каноническое уравнение):

(x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 - окружность,

+ = 1 - эллипс,

- = 1 - гипербола,

= px - парабола.

2. Окружность

Окружность - множество, состоящее из всех точек плоскости, находящихся на равном расстоянии R от фиксированной точки С.

Число R называется радиусом окружности, точка С - центром.

Воспользуемся определением окружности для вывода ее уравнения.

Пусть точка C(x0;y0) - центр окружности. Точка M(x;y) - произвольная точка окружности, а радиус этой окружности равен R. По определению = R, тогда, используя формулу вычисления длины вектора , имеем

= , тогда = R.

Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда уравнение окружности с центром в точке C и радиусом R имеет вид:

(x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 - каноническое уравнение окружности.

В частности, уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид:

x2 + y2 = R2.

3. Эллипс

Эллипс - множество, состоящее из всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

В случае, когда фокусы эллипса F1(-c;0) и F2(c;0) расположены на оси Ox (или на оси Oy) симметрично относительно начала координат, его уравнение называется каноническим и имеет вид:

+ = 1.

Обозначим через 2с расстояние между фокусами эллипса. Если a >b (a <b), то фокусы эллипса расположены на оси Ox(Oy) и

с 2 = a2 - b2 (c2 = b2 - a2).

Фокусы эллипса всегда лежат на большей оси. Отрезки ОА и ОВ называются полуосями эллипса. Точки пересечения линии эллипса с осями координат А,В,А 1,В 1называются вершинами эллипса. Эллипс имеет две оси симметрии (в случае, если эллипс задается каноническим уравнением, оси симметрии совпадают с осями координат) и центр симметрии (в случае, если эллипс задается каноническим уравнением, центр симметрии совпадает с началом координат).

Для количественной оценки формы эллипса введена величина, называемая эксцентриситетом эллипса.

Эксцентриситет эллипса - величина, равная отношению расстояния между фокусами к длине его большей оси.

Обозначим эксцентриситет эллипса через ? . Пусть a >b (a <b). Тогда

? = (? = ).

Так как 0< с < a (0< с < b), то 0 < ? < 1. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем эллипс более вытянут вдоль большей оси.

4. Гипербола

Гипербола - множество, состоящее из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами, и отличная от нуля.

Каноническое уравнение гиперболы: - = 1 (1)

(в случае, если фокусы F1(-c;0) и F2(c;0) расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат) или-

+ = 1 (2)

(в случае, если фокусы F1(-c;0) и F2(c;0) расположены на оси Оу симметрично относительно начала координат).

Гиперболы, заданные уравнениями (1) и (2), называются сопряженными относительно друг друга.

Обозначим через 2с расстояние между фокусами гиперболы. Тогда

с 2 = a2 + b2.

Точки А, А 1, В, В 1 -вершины гиперболы.

Прямоугольник, составленный прямыми - основной прямоугольник гиперболы. Его диагонали совпадают с прямыми x=±a y=±b, которые являются асимптотами гиперболы. Отрезки ОА = a и OB = b - полуоси гиперболы. Ось координат, на которой расположены фокусы гиперболы (и которую пересекает гипербола) называется действительной, другая ось координат (с которой у гиперболы нет общих точек) - мнимой.

Для количественной оценки формы гиперболы, как и в случае эллипса, вводится понятие эксцентриситета. Эксцентриситета гиперболы - величина, равная отношению половины расстояния между фокусами к длине действительной полуоси. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем основной прямоугольник гиперболы более вытянут вдоль ее оси, соединяющей вершины. алгебраический окружность эллипс

5. Парабола

Парабола - множество, состоящее из всех точек на плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы - буквой р. Число р называется параметром параболы.

 = px - каноническое уравнение.

Размещено на Allbest.ru